(新课改地区)2021版高考数学第八章立体几何初步8.3空间中的平行关系练习新人教B版2263.pdf

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1、8.3 空间中的平行关系 核心考点精准研析 考点一 直线、平面平行的基本问题 1.如图,P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点,Q 为 PA 的中点,O 为 AC 与 BD 的交点,下面说法错误的是()A.OQ平面 PCD B.PC平面 BDQ C.AQ平面 PCD D.CD平面 PAB 2.已知 a,b 表示直线,表示平面,则下列推理正确的是()A.=a,b ab B.=a,abb且 b C.a,b,a,b D.,=a,=bab 3.如图是正方体的平面展开图.关于这个正方体,有以下判断:EC平面 AFN;CN平面 AFB;BMDE;平面 BDE平面 NCF.其中正确判断的序号是()A.B

2、.C.D.4.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形 EFGH 为截面,则四边形 EFGH 的形状为_.【解析】1.选 C.因为 O 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,所以 AO=OC,又 Q 为 PA 的中点,所以 QOPC.由线面平行的判定定理,可知 A、B 正确,又四边形 ABCD 为平行四边形,所以 ABCD,故 CD平面 PAB,故 D 正确.2.选 D.选项 A 中,=a,b,则 a,b 可能平行也可能相交,故 A 不正确;选项 B 中,=a,ab,则可能 b且 b,也可能 b 在平面或内,故 B 不正确;选项C中,a,b,a,b,根据面面平行的判定定理,再加上条件ab=A

3、,才能得出,故 C 不正确;选项 D 为面面平行性质定理的符号语言.3.选 C.由已知中正方体的平面展开图,得到正方体的直观图如图所示:由FN平面 EMC,故 FNEC;同理 AFEC,故 EC平面 AFN,故正确;由CNBE,则 CN平面 AFB,故正确;由图可知 BMDE 显然错误,故不正确;由 BDNF 得 BD平面 NCF,DECF 得 DE平面 NCF,由面面平行判定定理可知平面 BDE平面 NCF,故正确.4.因为平面 ABFE平面 CDHG,又平面 EFGH平面 ABFE=EF,平面 EFGH平面 CDHG=HG,所以 EFHG.同理 EHFG,所以四边形 EFGH 是平行四边形

4、.答案:平行四边形 直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理,并注意定理中易忽视的条件.(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.(3)利用实物进行空间想象,比较判断.(4)熟记一些常见结论,如垂直于同一条直线的两个平面平行等.【秒杀绝招】直接法解 T1,因为 Q 是 AP 的中点,故 AQ平面 PCD=P,所以 AQ平面 PCD 是错误的.考点二 直线、平面平行的判定与性质 【典例】1.在三棱锥 S-ABC 中,ABC 是边长为 6 的正三角形,SA=SB=SC=15,平面 DEFH 分别与 AB,BC,SC,SA 交于 D,E,F,H.D,E 分别是 AB,BC

5、 的中点,如果直线 SB平面 DEFH,那么四边形 DEFH 的面积为_.2.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,ABC 为正三角形,点 D 在棱 BC 上,且 CD=3BD,点 E,F 分别为棱AB,BB1的中点.求证:A1C平面 DEF.【解题导思】序号 联想解题 1 由直线 SB平面 DEFH,联想到利用线面平行的性质,判定四边形 DEFH 的形状,进而得到其面积.2 求证 A1C平面 DEF,只要设法在平面 DEF 上找到与 A1C 平行的直线即可,因为CD=3BD,故联想到连接 A1B,在BA1C 中由比例关系证明平行关系.【解析】1.取 AC 的中点 G,连接 SG,BG.易知 S

6、GAC,BGAC,SGBG=G,故 AC平面 SGB,所以 ACSB.因为 SB平面 DEFH,SB 平面 SAB,平面 SAB平面 DEFH=HD,则 SBHD.同理 SBFE.又 D,E 分别为 AB,BC 的中点,则 H,F 也为 AS,SC 的中点,从而得 HF ACDE,且 HF=AC=DE,所以四边形 DEFH 为平行四边形.又 ACSB,SBHD,DEAC,所以 DEHD,所以四边形 DEFH 为矩形,其面积 S=HFHD=.答案:2.如图,连接 AB1,A1B,交于点 H,A1B 交 EF 于点 K,连接 DK,因为 ABB1A1为矩形,所以 H 为线段 A1B 的中点,因为点

7、 E,F 分别为棱 AB,BB1的中点,所以点 K为线段 BH 的中点,所以 A1K=3BK,又因为 CD=3BD,所以 A1CDK,又 A1C平面 DEF,DK 平面 DEF,所以 A1C平面 DEF.1.利用判定定理判定直线与平面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.2.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点).(2)利用线面平行的判定定理(a,b,aba).(3)利用面面平行的性质(,a a;,a,aa).1.如图所示,在正方体ABCD-A1

8、B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF平面AB1C,则线段 EF 的长度为_.【解析】在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,所以 AC=2.又 E 为 AD 中点,EF平面 AB1C,EF 平面 ADC,平面 ADC平面 AB1C=AC,所以 EFAC,所以 F 为 DC 中点,所以 EF=AC=.答案:2.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为梯形,ABCD,BAD=60,AB=2,CD=4,E 为 PC 的中点.求证:BE平面 PAD.【证明】设 F 为 PD 的中点,连接 EF,FA.因为 EF 为PDC 的中位线,所以 EFCD,且

9、EF=CD=2.又 ABCD,AB=2,所以 ABEF,故四边形 ABEF 为平行四边形,所以 BEAF.又 AF 平面 PAD,BE平面 PAD,所以 BE平面 PAD.考点三 面面平行的判定与性质及平行的综合问题 命 题 精 解 读 考什么:(1)考查面面平行的判定与性质定理的应用.(2)考查直线、平面平行的综合问题.(3)考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.怎么考:以柱、锥等几何体为载体,考查证明线线、线面、面面平行.新趋势:考查作已知几何体的截面或求截面面积问题.学 霸 好 方 法 1.证明面面平行的方法(1)面面平行的定义.(2)面面平行的判定定理.(3)垂直于同一条直线的两

10、个平面平行.(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行.(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的性质相互转化.2.交汇问题:常联系柱、锥等几何体命题,考查平行、垂直或空间角.面面平行的判定与性质【典例】如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G 四点共面.(2)平面 EFA1平面 BCHG.【证明】(1)因为 G,H 分别是 A1B1,A1C1的中点,所以 GH 是A1B1C1的中位线,所以 GHB1C1.又因为 B1C1BC,所以 GHBC,所以 B,C,H,G 四点共面.(2)因为

11、 E,F 分别是 AB,AC 的中点,所以 EFBC.因为 EF平面 BCHG,BC 平面 BCHG,所以 EF平面 BCHG.又 G,E 分别为 A1B1,AB 的中点,A1B1AB 且 A1B1=AB,所以 A1GEB,A1G=EB,所以四边形 A1EBG 是平行四边形,所以 A1EGB.又因为 A1E平面 BCHG,GB 平面 BCHG,所以 A1E平面 BCHG.又因为 A1EEF=E,A1E,EF 平面 EFA1,所以平面 EFA1平面 BCHG.平行关系的综合应用【典例】如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,侧棱 PA底面 ABCD,在侧面PBC 内,有 B

12、EPC 于 E,且 BE=a,试在 AB 上找一点 F,使 EF平面 PAD.【解析】在平面 PCD 内,过 E 作 EGCD 交 PD 于 G,连接 AG,在 AB 上取点 F,使 AF=EG,因为 EGCDAF,EG=AF,所以四边形 FEGA 为平行四边形,所以 FEAG.又 AG 平面 PAD,FE平面 PAD,所以 EF平面 PAD.所以 F 即为所求的点.又 PA平面 ABCD,所以 PABC,又 BCAB,所以 BC平面 PAB.所以 PBBC.所以 PC2=BC2+PB2=BC2+AB2+PA2.设 PA=x 则 PC=,由 PB BC=BE PC 得:a=a,所以 x=a,即

13、 PA=a,所以 PC=a.又 CE=a,所以=,所以=,即 GE=CD=a,所以 AF=a.故点 F 是 AB 上靠近 B 点的一个三等分点.1.如图,平面平面平面,两条直线 a,b 分别与平面,相交于点 A,B,C 和点D,E,F.已知 AB=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm,则 AC 的长为_ cm.【解析】因为平面平面平面,两条直线 a,b 分别与平面,相交于点 A,B,C和点 D,E,F,过 D 作直线平行于 a 交于 M,交于 N.连接 AD,BM,CN,ME,NF,所以 ADBMCN,MENF,所以=,因为 AB=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm,所以=,解得 B

14、C=cm,所以 AC=AB+BC=2+=(cm).答案:2.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,S 是 B1D1的中点,E,F,G 分别是 BC,DC,SC 的中点,求证:(1)直线 EG平面 BDD1B1.(2)平面 EFG平面 BDD1B1.【证明】(1)如图,连接 SB,因为 E,G 分别是 BC,SC 的中点,所以 EGSB.又因为 SB 平面 BDD1B1,EG平面 BDD1B1,所以直线 EG平面 BDD1B1.(2)连接 SD,因为 F,G 分别是 DC,SC 的中点,所以 FGSD.又因为 SD 平面 BDD1B1,FG平面 BDD1B1,所以 FG平面 BDD1B1

15、,又 EG 平面 EFG,FG 平面 EFG,EGFG=G,所以平面 EFG平面 BDD1B1.1.在四面体 ABCD 中,M,N 分别是面ACD、BCD 的重心,则四面体的四个面中与 MN 平行的是_.【解析】如图,连接 AM 并延长交 CD 于 E,连接 BN 并延长交 CD 于 F,由重心性质可知,E,F 重合为一点,且该点为 CD 的中点 E,由=,得 MNAB,因此,MN平面 ABC 且 MN平面ABD.答案:平面 ABC、平面 ABD 2.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1的中点,设 Q 是 CC1上的点,问:当点 Q 在什么位置时,平面 D1BQ平面 PAO?【解析】当 Q 为 CC1的中点时,平面 D1BQ平面 PAO.证明如下:因为 Q 为 CC1的中点,P 为 DD1的中点,所以 QBPA.因为 P,O 分别为 DD1、DB 的中点,所以 D1BPO.又因为 D1B平面 PAO,PO 平面PAO,QB平面 PAO,PA 平面 PAO,所以 D1B平面 PAO,QB平面 PAO,又 D1BQB=B,D1B、QB 平面 D1BQ,所以平面 D1BQ平面 PAO.