2021_2022学年高中数学第3章三角恒等变换3.1.1两角和与差的余弦讲义苏教版必修42777.pdf

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1、.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。3.1.1 两角和与差的余弦 学 习 目 标 核 心 素 养(教师独具)1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用(难点)2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式(重点)3.能用两角和与差的余弦公式化简、求值(重点)通过学习本节内容提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养.两角和与差的余弦公式(1)两角差的余弦公式 C()：cos()cos_cos_sin_sin_.(2)两角和的余弦公式 C()：cos()cos_cos_sin_sin_.思考：cos(9030)cos 90cos 30成立吗？提示 不成立 1思

2、考辨析(1)，R 时，cos()cos cos sin sin.()(2)cos 105cos 45 cos 60sin 45sin 60.()(3)cos 30cos 120sin 30sin 1200.()(4)cos4cos4sin4sin4cos 2.()解析 正确运用公式(1)中加减号错误(2)(3)(4)正确 答案(1)(2)(3)(4)2cos 75_；cos 15_.6 24 6 24 cos 75cos(3045)cos 30cos 45sin 30sin 456 24.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 30

3、sin 456 24.3cos 45cos 15sin 15sin 45的值为_ 32 cos 45cos 15sin 15sin 45cos(4515)cos 3032.两角和与差余弦公式的简单应用 【例 1】求以下各式的值：(1)cos 40cos 70cos 20cos 50；(2)cos 7sin 15sin 8cos 8；(3)12cos 1532sin 15；(4)cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)思路点拨：从所求式子的形式、角的特点入手，化简求值 解(1)原式cos 40cos 70sin 70sin 40cos(7040)cos 3032.(2)原式cos

4、158sin 15sin 8cos 8cos 15cos 8cos 8cos 15cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 452 64.(3)cos 6012，sin 6032，12cos 1532sin 15cos 60cos 15sin 60sin 15cos(6015)cos 4522.(4)原式cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)cos(35)(25)cos(60)cos 6012.1两角和与差的余弦公式中，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。公式时常将两角的和或差视为一个整体 2在运用公式化简

5、求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦构造形式，然后逆用公式求值 提醒：要重视诱导公式在角的差异、函数名称的差异中的转化作用 1求下各式的值(1)cos 75cos 15sin 75sin 195；(2)cos 24cos 36sin 24cos 54.解(1)cos 75cos 15sin 75sin 195 cos 75cos 15sin 75sin 15 cos(7515)cos 6012.(2)原式cos 24cos 36sin 24sin 36 cos(2436)cos 6012.三角函数值求角 【例 2】锐角，满足 sin 55，cos 3 1010，求的值 思路点拨：先求

6、出 cos，sin，再利用两角和的余弦公式求出 cos()，最后由的范围确定的值 解 因为，为锐角，且 sin 55，cos 3 1010，所以 cos 1sin21152 55，sin 1cos219101010，故 cos()cos cos sin sin 2 553 101055101022.由 02，02，得 00，所以为锐角，所以4.三角函数值求角，一般分三步：第一步：求角的某一三角函数值该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数；.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。第二步：确定角的范围，由题意进一步缩小角的范围；第三步：根据角的范围写出所求的角.2cos 17，cos()131

7、4，且 02，求的值 解 由 cos 17，02，得 sin 1cos211724 37.由 02，得 02.又cos()1314，sin()1cos21131423 314.由()，得 cos cos()cos cos()sin sin()1713144 373 31412，3.给值求值问题 探究问题 1角“及“间存在怎样的等量关系？提示：；()；().2cos()和 sin 的值，如何求 cos 的值？提示：由()可知，cos cos()cos()cos sin()sin，故可先求出 sin()及 cos 的值，代入上式求得 cos 的值【例 3】sin 45，sin 513，且 32，2

8、，求 cos()思路点拨：由 sin 求 cos；由 sin 求 cos 后套用公式求值 解 sin 45，32，cos 1sin235.又sin 513，2，.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。cos 1sin21213，cos()cos cos sin sin 351213455131665.1(变条件)假设将此题改为 sin 45，sin 513，且 2，02，求 cos()解 sin 513，02，cos 1sin21213.又 sin 45，且 2，当 32时，cos 1sin235，cos()cos cos sin sin 351213455135665；当322 时，cos

9、 1sin235，cos()cos cos sin sin 351213455131665.综上所述，cos()5665或1665.2(变条件)假设将本例改为 sin 45，32，cos()1665，2.求 sin.解 sin 45，且 32，cos 1sin235.又2，.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。2，0.又 cos()1665，sin()1cos21166526365，cos cos()cos cos()sin sin()3516654563651213，sin 1cos2513.1利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从外表去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求

10、的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是的或可求的，再代入公式即可求解 2在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：()，()，(2)()，2()()，2()()等 提醒：注意角的范围对三角函数值符号的限制 教师独具 1本节课的重点是两角和与差的余弦公式，难点是公式的推导及应用 2要掌握两角和与差的余弦公式的三个应用(1)解决给角求值问题(2)解决给值(式)求值问题(3)解决给值求角问题 3本节课的易错点是：利用两角和与差的余弦公式解决给值求角问题时，易无视角的范围而导致解题错误 1cos 15()Acos 45cos 30sin 45sin 30 Bcos 45

11、cos 30sin 45sin 30 Ccos 45sin 30sin 45cos 30 Dcos 45sin 30sin 45cos 30 B cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。2cos 105sin 195_.2 62 cos 105sin 195cos 105sin(10590)cos 105cos 105 2cos(13530)2(cos 135cos 30sin 135sin 30)2223222122 62.3假设 sin 35，2，那么 cos 4的值为_ 210 2，sin 35，cos 45.cos4cos4cos sin4sin 22452235 210.4化简：2cos 10sin 20cos 20.解 原式2cos3020sin 20cos 20 2cos 30cos 202sin 30sin 20sin 20cos 20 3cos 20sin 20sin 20cos 20 3cos 20cos 20 3.