2019_2020学年高中数学第7章三角函数7.3三角函数的性质与图像7.3.5已知三角函数值求角学案2348.pdf

《2019_2020学年高中数学第7章三角函数7.3三角函数的性质与图像7.3.5已知三角函数值求角学案2348.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019_2020学年高中数学第7章三角函数7.3三角函数的性质与图像7.3.5已知三角函数值求角学案2348.pdf（15页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 7.3.5 已知三角函数值求角 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握利用三角函数线求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号 arcsin x，arccos x，arctan x表示角(重点、难点)2.熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间2，2上对应的角(重点)通过已知三角函数值求角的学习，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.1.已知正弦值，求角 对于正弦函数ysin x，如果已知函数值y(y1,1)，那么在2，2上有唯一的x值和它对应，记为xarcsin_y其中1y1，2x2.2.已知余弦值，求角 对于余弦函数ycos x，如果已知函数值y(y1,1)，那么在0，上有唯一的x

2、值和它对应，记为xarccos_y(其中1y1,0 x)3.已知正切值，求角 一般地，如果ytan x(yR)且x2，2，那么对每一个正切值y，在开区间2，2内，有且只有一个角x，使 tan xy，记为xarctan_y2x2.思考：符号 arcsin a(a1,1)arccos a(a1,1)，arctan a(aR)分别表示什么？提示 arcsin a表示在区间2，2上，正弦值为a的角；arccos a表示在区间0，上，余弦值为a的角；arctan a表示在区间2，2上，正切值为a的角 1.下列说法中错误的是()Aarcsin224 Barcsin 00 Carcsin(1)32 Darc

3、sin 12 C 根据已知正弦值求角的定义知 arcsin(1)2，故 C 项错误 2.已知是三角形的内角，且 sin 32，则()A6 B3 C6或56 D3或23 D 因为是三角形的内角，所以(0，)，当 sin 32时，3或23，故选 D 3.已知 tan 2x33且x0，则x_.512或1112 x0，2x0,2 tan 2x33，2x56或 2x116，x512或1112.已知正弦值求角【例 1】已知 sin x32.(1)当x2，2时，求x的取值集合；(2)当x0,2时，求x的取值集合；(3)当xR 时，求x的取值集合 思路探究 尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解 解(1)ysin

4、 x在2，2上是增函数，且 sin 332，x3，3是所求集合(2)sin x320，x为第一或第二象限角，且 sin 3sin332，在0,2上符合条件的角有x3或x23，x的取值集合为3，23.(3)当xR 时，x的取值集合为 x x2k3，或x2k23，kZ.1.给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用 2.对于已知正弦值求角有如下规律：sin xa(|a|1)x2，2 x0,2 xarcsin a 0a1 1a0 x1arcsin a x2arcsin a x1arcsin a x22arcsin a 1.已知 sin 35，根据所给范围求角.(1)为

5、锐角；(2)R.解(1)由于 sin 35，且为锐角，即0，2，所以arcsin 35.(2)由于 sin 35，且R，所以符合条件的所有角为12karcsin 35(kZ)，22karcsin 35(kZ)，即n(1)narcsin 35(nZ).已知余弦值求角 【例 2】已知 cos x13.(1)当x0，时，求值x；(2)当xR 时，求x的取值集合 思路探究 解答本题可先求出定义 arccos a的范围的角x，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x的集合 解(1)cos x13且x0，xarccos13.(2)当xR 时，先求出x在0,2上的解 cos x13，故x是第二或第三象

6、限角 由(1)知xarccos13是第二象限角，又 cos2arccos13 cosarccos1313，且 2arccos13，32，所以，由余弦函数的周期性知，当xarccos132k 或 x2arccos132k(kZ)时，cos x13，即所求x值的集合是 x x2karccos13，kZ.cos xa1a1，当x0，时，则xarccos a，当xR 时，可先求得0，2内的所有解，再利用周期性可求得：x|x2karccos a，kZ.2.已知 cos x22且x0,2)，求x的取值集合 解 由于余弦函数值是负值且不为1，所以x是第二或第三象限角，由 cos4cos 422，所以在区间0

7、,2)内符合条件的第二象限的角是x434.又cos4 cos 422，所以在区间0,2)内符合条件的第三象限的角是x454.故所求角的集合为34，54.已知正切值求角【例 3】已知 tan 3.(1)若2，2，求角；(2)若R，求角.思路探究 尝试由 arctan 的范围及给值求角的步骤求解 解(1)由正切函数在开区间2，2上是增函数可知，符合条件 tan 3 的角只有一个，即arctan(3)(2)karctan(3)(kZ)1.已知角的正切值求角，可先求出2，2内的角，再由ytan x的周期性表示所给范围内的角 2.tan a，aR 的解集为|karctan a，kZ 3.已知 tan x

8、1，写出在区间2，0内满足条件的x.解 tan x10，x是第二或第四象限角 由 tan4tan 41 可知，所求符合条件的第四象限角为x4.又由 tan54 tan 41，得所求符合条件的第二象限角为x54，在2，0内满足条件的角是4与54.三角方程的求解 探究问题 1.已知角x的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么？提示 不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个 2.怎样求解三角方程？提示 明确所求角的范围和个数，结合诱导公式先用 arcsin a或 arccos a或 arctan a表示一个或两

9、个特殊角，然后再根据函数的周期性表示出所有的角【例 4】若 cos xcos7，求x的值 思路探究 先求出一个周期内的角，然后利用周期性找出所有的角 解 在同一个周期，内，满足 cos xcos7的角有两个：7和7.又ycos x的周期为 2，所以满足 cos xcos7的x为 2k7(kZ)已知三角函数值求角的步骤：1由三角函数值的符号确定角的象限；2求出0，2上的角；3根据终边相同的角写出所有的角.4已知 sin x22，且x0,2，则x的取值集合为_ 4，34 x0,2，且 sin x220，x(0，)，当x0，2时，ysin x递增且 sin422，x4，又 sin4sin3422，x

10、34也符合题意 x的取值集合为4，34.1.反正弦、反余弦、反正切的记法与取值范围 名称 反正弦 反余弦 反正切 记法 arcsin arccos arctan 取值范围 2，2 0，2，2 2.已知三角函数值求角的步骤 一、定象限；二、找锐角；三、写x0,2的角；四、给答案 3.若求得的角是特殊角，最好用弧度表示 1.已知 cos x22，x2，则x()A32 B54 C43 D74 B 因为x(，2)且 cos x22，x54.2.函数y 32xarccos(2x3)的定义域是_ 1，32 由题意可得 32x012x31，解得 1x32，所以函数的定义域为1，32.3.等腰三角形的一个底角为，且 sin 35，用含符号 arcsin x的关系式表示顶角_.2arcsin35 由题意，0，2，又 sin 35，所以64，322，2223，所以2arcsin35.4求值：arcsin 32arccos12arctan 3.解 arcsin 323，arccos1223，arctan(3)3，原式32331.