平面向量公式5433.pdf

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1、 平面向量公式 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。AB+BC=AC。a+b=(x+x，y+y)。a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。2、向量的减法 如果 a、b 是互为相反的向量，那么 a=-b，b=-a，a+b=0.0 的反向量为 0 AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”a=(x,y)b=(x,y)则 a-b=(x-x,y-y).3、数乘向量 实数和向量 a 的乘积是一个向量，记作a，且a=a。当0 时，a 与 a 同方向；当0 时，a 与 a 反方向；当=0 时，a=0，方向任意。当 a=0 时

2、，对于任意实数，都有a=0。注：按定义知，如果a=0，那么=0 或 a=0。实数叫做向量 a 的系数，乘数向量a 的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩。当1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上伸长为原来的倍；当1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上缩短为原来的倍。数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(a)b=(ab)=(ab)。向量对于数的分配律（第一分配律）：(+)a=a+a.数对于向量的分配律（第二分配律）：(a+b)=a+b.数乘向量的消去律：如果实数0 且a=b，那么 a=b。如果 a0 且a=a，那么=。4、向量的的数

3、量积 定义：已知两个非零向量 a,b.作 OA=a,OB=b,则角 AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹角,记作a,b并规定 0a,b 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作 ab.若 a、b 不共线,则 ab=|a|b|cosa,b；若 a、b 共线,则 ab=+-ab.向量的数量积的坐标表示：ab=xx+yy.向量的数量积的运算律 ab=ba（交换律）；(a)b=(ab)(关于数乘法的结合律)；（a+b)c=ac+bc（分配律）；向量的数量积的性质 aa=|a|的平方.ab=ab=0.|ab|a|b|.向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律,即：(

4、ab)ca(bc)；例如：(ab)2a2b2.2、向量的数量积不满足消去律,即：由 ab=ac(a0),推不出 b=c.3、|ab|a|b|4、由|a|=|b|,推不出 a=b 或 a=-b.5、向量的向量积 定义：两个向量 a 和 b 的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作 ab.若 a、b不共线,则 ab 的模是：ab=|a|b|sina,b；ab 的方向是：垂直于 a 和 b,且 a、b 和 ab 按这个次序构成右手系.若 a、b 共线,则 ab=0.向量的向量积性质：ab是以 a 和 b 为边的平行四边形面积.aa=0.ab=ab=0.向量的向量积运算律 ab=-ba；（a）b=（ab

5、）=a（b）；（a+b）c=ac+bc.注：向量没有除法,“向量 AB/向量 CD”是没有意义的.6、向量的三角形不等式 1、a-ba+ba+b；当且仅当 a、b 反向时,左边取等号；当且仅当 a、b 同向时,右边取等号.2、a-ba-ba+b.当且仅当 a、b 同向时,左边取等号；当且仅当 a、b 反向时,右边取等号.7、定比分点 定比分点公式（向量 P1P=向量 PP2）设 P1、P2 是直线上的两点,P 是 l 上不同于 P1、P2 的任意一点.则存在一个实数,使 向量 P1P=向量 PP2,叫做点 P 分有向线段 P1P2 所成的比.若 P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,

6、y),则有 OP=(OP1+OP2)(1+)；（定比分点向量公式）x=(x1+x2)/(1+),y=(y1+y2)/(1+).（定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段 P1P2 的定比分点公式 8、三点共线定理 若 OC=OA+OB,且+=1,则 A、B、C 三点共线 三角形重心判断式 在ABC 中，若 GA+GB+GC=O,则 G 为ABC 的重心 编辑本段向量共线的重要条件 若 b0，则 a/b 的重要条件是存在唯一实数，使 a=b。a/b 的重要条件是 xy-xy=0。零向量 0 平行于任何向量。编辑本段向量垂直的充要条件 ab 的充要条件是 ab=0。ab 的充要条件是 xx+yy=0。零向量 0 垂直于任何向量.平 面 向 量 是 在 二 维 平 面 内 既 有 方 向(direction)又 有 大 小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。以下是整理出来的平面向量的公式