【终稿】(试题)2020届福州市高中毕业班第三次质量检查(理科数学)4552.pdf
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1、数学试题(第1页共40页)准考证号 姓名 .(在此卷上答题无效)秘密启用前 2020 届福州市高中毕业班第三次质量检查 数 学(理 科)试 题 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分第卷 1 至 3 页,第卷4 至 6 页满分 150 分 注意事项:1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致 2.第卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号第卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答,答案无效
2、 3.考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回 第 卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1.已知纯虚数z满足(1 i)2iza,则实数a等于 A2 B1 C1 D2 2.已知集合2220,log2Ax xxBx yx,则AB RI A B2,2 C1,2 D2,1 3.执行右面的程序框图,则输出的m A1 B2 C3 D4 数学试题(第2页共40页)4.某种疾病的患病率为 0.5%,已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为 99%,则患该种疾病且血检呈阳性的概率为 A0.495%B0.9405%C0.9995
3、%D0.99%5.函数 2e2xf xxx的图象大致为 A B C D 6.甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中,各射击 10 次四人测试成绩对应的条形图如下:以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确的是 A平均数相同 B中位数相同 C众数不完全相同 D丁的方差最大 7.已知角的终边在直线3yx 上,则2sin 21cos A611 B311 C311 D611 8.数独是源自 18 世纪瑞士的一种数学游戏如图是数独的一个简化版,由 3 行 3 列 9个单元格构成玩该游戏时,需要将数字1,2,3(各 3 个)全部填入单元格,每个单元格填一个数字,要求每一行、每一列均有1,2,3这三个
4、数字,则不同的填法有 A12 种 B24 种 C72 种 D216 种 Oxy11Oxy11y1O1xOxy11数学试题(第3页共40页)9.已知函数 sin06f xx图象上相邻两条对称轴的距离为2,把 f x图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的图象向右平移3个单位长度,得到函数 g x的图象,则 A cos4g xx B cos4g xx C cosg xx D cosg xx 10.已知椭圆2222:1xyCab(0ab)的焦距为 2,右顶点为A过原点与x轴不重合的直线交C于,M N两点,线段AM的中点为B,若直线BN经过C的右焦点,则C的方程为 A22143x
5、y B22165xy C22198xy D2213632xy 11.已知函数 1lnf xxxx,给出下列四个结论:曲线 yf x在1x 处的切线方程为10 xy;f x恰有 2 个零点;f x既有最大值,又有最小值;若1 20 x x 且 120f xf x,则121x x 其中所有正确结论的序号是 A B C D 12.三棱锥PABC中,顶点P在底面ABC的投影为ABC的内心,三个侧面的面积分别为 12,16,20,且底面面积为 24,则三棱锥PABC的内切球的表面积为 A43 B12 C163 D16 数学试题(第4页共40页)第卷 注意事项:用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试
6、题卷上作答,答案无效 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中的横线上 13.已知向量1,2AB uuu r,2,5CB uuu r,,1tMN uuu u r若ACMNuuu ruuu u r,则实数t 14.正方体1111ABCDABC D中,P为1BC中点,Q为1AD中点,则异面直线DP与1C Q所成角的余弦值为 15.在ABC中,内角,A B C的对边分别为,a b c,若22sincos1AB,则cba的取值范围为 16.已知梯形ABCD满足,45ABCDBAD,以,A D为焦点的双曲线经过,B C两点若7CDAB,则的离心率为 三、解答题:本大题共
7、 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共 60 分 17.(本小题满分 12 分)已知数列 na和 nb的前n项和分别为nS,nT,12a,11b,且112nnaaT(1)若数列 na为等差数列,求nS;(2)若112nnbbS,证明:数列nnab和nnab均为等比数列 18.(本小题满分 12 分)如图,在多面体PABCD中,平面ABCD 平面PAD,ADBC,90BAD,120PAD,1BC,2ABADPA(1)求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值;(2)若
8、E是棱PB的中点,求证:对于棱CD上任意一点F,EF与PD都不平行 19.(本小题满分 12 分)已知抛物线2:4C yx,直线:2l xmy(0m)与C交于,A B两点,M为AB的中点,O为坐标原点(1)求直线OM斜率的最大值;ADCBP数学试题(第5页共40页)(2)若点P在直线2x 上,且PAB为等边三角形,求点P的坐标 20.(本小题满分 12 分)已知函数2()2lnf xxaxx(1)求函数 f x的单调区间;(2)设函数 f x有两个极值点12,x x(12xx),若 12f xmx恒成立,求实数m的取值范围 21.(本小题满分 12 分)某省2021年开始将全面实施新高考方案在
9、6门选择性考试科目中,物理、历史这两门科目采用原始分计分;思想政治、地理、化学、生物这 4 门科目采用等级转换赋分,将每科考生的原始分从高到低划分为A,B,C,D,E共5个等级,各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%,并按给定的公式进行转换赋分 该省组织了一次高一年级统一考试,并对思想政治、地理、化学、生物这 4 门科目的原始分进行了等级转换赋分(1)某校生物学科获得A等级的共有 10 名学生,其原始分及转换分如下表:原始分 91 90 89 88 87 85 83 82 转换分 100 99 97 95 94 91 88 86 人数 1 1 2 1 2 1 1 1 现从
10、这 10 名学生中随机抽取 3 人,设这 3 人中生物转换分不低于95分的人数为X,求X的分布列和数学期望;(2)假设该省此次高一学生生物学科原始分Y服从正态分布(75.8 36)N,若2(,)YN,令Y,则(0,1)N,请解决下列问题:若以此次高一学生生物学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分,试估计该划线分大约为多少分?(结果保留为整数)现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分,若这些学生的原始分相互独立,记为被抽到的原始分不低于71分的学生人数,求()Pk取得最大值时k的值 附:若(0,1)N,则(0.8)0.788P,(1.04)0.85P.数学试题(第6页共40
11、页)(二)选考题:共 10 分请考生在第 22,23 两题中任选一题作答如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22.(本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,直线1l的参数方程为33,xktyt (t为参数),直线2l的参数方程为33,xmykm(m为参数)设1l与2l的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线1C(1)求1C的普通方程;(2)设Q为圆222:43Cxy上任意一点,求PQ的最大值 23.(本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲 已知0,0ab,2224abc(1)当1c 时,求证:339ab
12、ab;(2)求2224411abc的最小值 2020 年福州市高中毕业班质量检测 数学(理科)参考答案及评分细则 评分说明:1本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。3解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算每小题 5
13、 分,满分 60 分 1A 2D 3C 4A 5B 6D 7A 8A 9D 10C 11B 12C 数学试题(第7页共40页)二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 1313 1423 152,3 163 24 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分 17【命题意图】本小题考查等差数列、等比数列等基础知识;考查运算求解能力、推理论证能力;考查化归转化思想;考查数学运算、逻辑推理等学科素养;体现基础性 满分 12 分【解答】(1)由112nnaaT,得2112aab,又12a,11b,解得24a.1 分 因为数列 na为等差数列,所以该数列的公差为21aa2,2 分
14、所以21222nn nSnnn 4 分(2)当2n时,112nnaaT,因为1nnnTTb,所以12nnnaab,即12nnnaab,5 分 同理可得:12nnnbba 6 分 则113()nnnnabab,所以113nnnnabab(2n),7 分 又21121124,25aabbba,所以22114533abab,所以113nnnnabab(*nN),8 分 所以数列nnab是以 3 为首项,3 为公比的等比数列.9 分 因为11()nnnnabab,所以111nnnnabab(2n),10 分 又221145121abab,所以111nnnnabab(*nN),11 分 所以数列nnab
15、是以1为首项,1为公比的等比数列 12 分 18【命题意图】本小题考查直线与平面垂直的判定与性质,直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质,二面角等基础知识;考查空间想象能力、推理论证能力、运算数学试题(第8页共40页)求解能力;考查化归与转化思想、函数与方程思想;考查直观想象、逻辑推理等核心素养,体现基础性、综合性满分 12 分【解析】解法一:(1)因为ABAD,平面ABCD 平面PAD,平面ABCD I平面PADAD,AB 平面ABCD,所以AB 平面PAD.1 分 作AHAD交PD于H,则,AB AD AH三条直线两两垂直 以A为坐标原点O,分别以AHADAB,所在直线为,x y z轴
16、,建立空间直角坐标系,如图所示 2 分 因为120PAD,1BC,2ABADPA 所以0,0,0,0,0,2,0,1,2,0,2,0,3,1,0ABCDP,3 分 设平面PBC的法向量为,x y zn,因为0,1,0,3,1,2BCBP uuu ruuu r,所以0,0,BCBPuuu ruu u rnn所以0,320,yxyz令2x,所以2,0,3n,4 分 由z轴平面PAD知0,0,1m为平面PAD的一个法向量,5 分 所以33cos,717 n mn mnm,6 分 所以PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为2 77 7 分(2)因为E是棱PB的中点,由(1)可得31,122E.假设棱C
17、D上存在点F,使得EFPDP,8 分 设DFDCuuu ruuu r,01,所以3 53 5,10,1,2,122222EFEDDF uuu ruuu ruuu r,9 分 因为EFPDP,所以3,3,0EFtPDtuuu ruuu r,10 分 1,2,31,2,32f x3g xcos4gx x1,2,31,2,32f x3g xcos4gx xDP1CQ数学试题(第9页共40页)所以33,253,2120,tt 这个方程组无解,11 分 所以假设不成立,所以对于棱CD上任意一点F,EF与PD都不平行.12 分 解法二:(1)如图,在平面PAD内,过点P作DA的垂线,垂足为M;在平面ABC
18、D内,过M作AD的垂线,交CB的延长线于点N连接PN 因为MNPMMI,所以AD 平面PMN 1 分 因为ADBC,BC 平面PBC,AD 平面PBC,所以AD平面PBC,2 分 设平面PBC I平面PADl,则ADl,故l 平面PMN 3 分 所以NPM为平面PBC与平面PAD所成二面角的平面角 4 分 因为120PAD,2ABADPA,所以60MAP,在RtPAM中,2sin603PM 5 分 又2MNAB,所以在RtPMN中,227PNPMMN 6 分 所以22 7sin77MNMPNPN,所以PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为2 77 7 分(2)假设棱CD上存在点F,使得EFPD
19、P,显然F与点D不同,8 分 所以,P E F D四点共面,记该平面为,所以P,PE,FD,9 分 又BPE,CFD,所以B,C,所以就是点,B C D确定的平面,10 分 这与PABCD为四棱锥相矛盾,所以假设不成立,所以对于棱CD上任意一点F,EF与PD都不平行.12 分 解法三:(1)同解法一 7 分 nSnT12a11b2aaT nanS12x x1,2,31,2,3x mxm2021数学试题(第10页共40页)(2)假设棱CD上存在点F,使得EFPDP 8 分 连接BD,取BD的中点M,在BPD中,因为,E M分别为,BP BD的中点,所以EMPDP.9 分 因为过直线外一点有且只有
20、一条直线和已知直线平行,所以EM与EF重合.10 分 又点F在线段CD上,所以FBDCDI,又BDCDDI,所以F是BD与CD的交点D,即EF就是ED,11 分 而ED与PD相交,所以与EFPDP相矛盾,所以假设不成立,所以对于棱CD上任意一点F,EF与PD都不平行 12 分 19【命题意图】本题考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识;考查运算求解能力;考查数形结合思想、函数与方程思想;考查直观想象、数学运算等核心素养,体现基础性、综合性满分 12 分【解析】解法一:(1)设1122(,),(,)A x yB xy,由22,4xmyyx,消去x得,2480ymy,1 分 216320
21、,m 且12124,8yym y y.2 分 所以21212()444.xxm yym 因为M为AB的中点,所以M的坐标为1212(,)22xxyy,即2(22,2)mm,3 分 又因为0m,所以2221111221212OMmmkmmmmmm,5 分(当且仅当1mm,即1m 等号成立.)所以OM的斜率的最大值为12 6 分(2)由(1)知,2121|ABmyy 12x x1,2,31,2,3x mxm2021k数学试题(第11页共40页)2212121()4myyy y 2211632mm 224 12mm,8 分 由PMAB得2222|1()|22(2)|2(2)1PMmmmm ,9 分
22、因为PAB为等边三角形,所以3|2PMAB,10 分 所以22222(2)12 312mmmm,所以223m,所以21m,解得1,m 又0m,所以1m,11 分 则(4,2)M,直线MP的方程为2(4)yx,即6yx ,所以2x 时,8y,所以所求的点P的坐标为(2,8)12 分 解法二:(1)设112200(,),(,),(,)A x yB xyM xy,因为M为AB的中点,且直线:2(0)l xmym,所以0122,yyy1212,xxmyy 1 分 由2112224,4,yxyx得22121244,yyxx 所以1212124,xxyyyy所以024,ym即02ym.2 分 所以2002
23、22,xmym即2(22,2)Mmm,3 分 又因为0m,所以2221111221212OMmmkmmmmmm,5 分(当且仅当1mm,即1m 等号成立.)所以OM的斜率的最大值为12 6 分 数学试题(第12页共40页)(2)由22,4xmyyx,消去x得2480ymy,所以216320,m 且12124,8yym y y.7 分 221212ABxxyy 22121222mymyyy 2212121()4myyy y 2211632mm 224 12mm,8 分 由(1)知,AB的中点M的坐标为2(22,2)mm,所以线段AB的垂直平分线方程为:2222ymm xm.令2x ,得线段AB的
24、垂直平分线与直线2x 交点坐标为32,26,Pmm 所以 22232224242(2)1mMmmmPm 9 分 因为PAB为等边三角形,所以3|2PMAB,10 分 所以22222(2)12 312mmmm,所以223m,所以21m,解得1,m 因为0,m 所以1m,11 分 则(4,2)M,直线MP的方程为2(4)yx,即6yx ,所以2x 时,8y,所以所求的点P的坐标为(2,8)12 分 20【命题意图】本题考查函数和导数及其应用、不等式等基础知识;考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力与创新意识;考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化、特殊与一般思想等思想;考查数学抽象、
25、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养,体现综合性、应用性、创新性满分 12 分.【解析】(1)因为2()2lnf xxaxx,所以222()0 xaxfxxx 1 分 数学试题(第13页共40页)令 222p xxax,216a,当0即44a 时,()0p x,即()0fx,所以函数 f x单调递增区间为0,2 分 当0 即4a 或4a 时,22121616,44aaaaxx.若4a ,则120 xx,所以 0p x,即()0fx,所以函数 f x单调递增区间为0,3 分 若4a,则210 xx,由()0fx,即 0p x 得10,xx或2xx;由()0fx,即 0p x 得12xxx 所以
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