圆锥曲线(求轨迹方程)汇总31062.pdf

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1、1/7 专题圆锥曲线（求轨迹方程）求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系或F(x，y)0；(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入转移法（相关点法）：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程 1一个区别“轨迹方程”与“轨迹”“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的前者只须求出轨迹的方程，标出变量x，y的围；后者除求出方程外，还应指出方程的曲线的图形，并说明图形的形

2、状、位置、大小等有关的数据 2双向检验求轨迹方程的注意点 求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响 考向一直接法求轨迹方程 例 1 已知动点P(x，y)与两定点M(1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数(0)(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)试根据 的取值情况讨论轨迹 C 的形状 解(1)由题意可知，直线PM与PN的斜率均存在且均不为零，所以kPMkPNyx1yx1，整理得x2y21(0，x1)即动点P的轨迹C的方程为x2y21(0，x1)(2)当0

3、时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；当10 时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)；当1 时，轨迹C为以原点为圆心，1 为半径的圆除去点(1,0)，(1,0)当1 时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)对点练习 1已知A，B为平面两定点，过该平面动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若MN2ANNB，其中为常数，则动点M的轨迹不可能是()A圆 B椭圆 C抛物线 D双曲线 解析以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立坐标系，设M(x，y)，A(a,0)，B(a,0)，则N(x,0)因为MN2ANNB，所以y2(xa)(a

4、x)，即x2y2a2，当1 时，是圆的轨迹方程；当0 且1 时，是椭圆的轨迹方程；当0 时，是双曲线的轨迹方程；当0 时，是直线的轨迹方程 综上，方程不表示抛物线的方程 答案 C 2/7 图 8-8-2 图 8-8-1 考向二定义法求轨迹方程 例 2已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是 1 和 2，且|O1O2|4.动圆M与圆O1切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线 解 如下图，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系 由|O1O2|4，得O1(2,0)，O2(2,0)设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1切，有|MO

5、1|r1；由动圆M与圆O2外切，有|MO2|r2.|MO2|MO1|3.点M的轨迹是以O1，O2为焦点，实轴长为 3 的双曲线的左支 a32，c2，b2c2a274.点M的轨迹方程为4x294y271x32.对点练习 2如图 8 8 1 所示，已知圆A：(x2)2y21 与点B(2,0)，分别求出满足以下条件的动点P的轨迹方程(1)PAB的周长为 10；(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)；(3)圆P与圆A外切，且与直线x1 相切(P为动圆圆心)解(1)根据题意，知|PA|PB|AB|10，即|PA|PB|64|AB|，故P点轨迹是椭圆，且 2a6,2c4，即a3，c2，b 5.因此

6、其轨迹方程为x29y251(y0)(2)设圆P的半径为r，则|PA|r1，|PB|r，因此|PA|PB|1.由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且 2a1,2c4，即a12，c2，b152，因此其轨迹方程为 4x2415y21x12.(3)依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x2 的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p4.因此其轨迹方程为y28x.考向三代入法(相关点法)求轨迹方程 例 3如图 8 8 2 所示，设P是圆x2y225 上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|45|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜

7、率为45的直线被C所截线段的长度 解(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得 xPx，yP54y.P在圆上，x254y225，即C的方程为x225y2161.3/7 图 8-8-5(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y45(x3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y45(x3)代入C的方程，得x225x32251，即x23x80.x13 412，x23 412.线段AB的长度为|AB|x1x22y1y2211625x1x22412541415.对点练习 2(2014模拟)如图 8 8 5 所示，以原点O为圆心的两个 同心圆的半径分

8、别为3 和 1，过原点O的射线交大圆于点P，交小圆于 点Q，P在y轴上的射影为M.动点N满足PMPN且PMQN0.(1)求点N的轨迹方程；(2)过点A(0,3)作斜率分别为k1，k2的直线l1，l2与点N的轨迹分别 交于E，F两点，k1k29.求证：直线EF过定点 解(1)由PMPN且PMQN0 可知N，P，M三点共线且PMQN.过点Q作QNPM，垂足为N，设N(x，y)，|OP|3，|OQ|1，由相似可知P(3x，y)P在圆x2y29 上，(3x)2y29，即y29x21.所以点N的轨迹方程为y29x21.(2)证明：设E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，由 yk1x3，y29x21

9、(k219)x26k1x0，解得x0 或x6k1k219.所以xE6k1k219，yEk16k1k2193273k21k219，E6k1k219，273k21k219.k1k29，k29k1.用k29k1替代中的k1，同理可得F6k1k219，3k2127k219.显然E，F关于原点对称，直线EF必过原点O.达标训练 一、选择题 1若M，N为两个定点，且|MN|6，动点P满足PMPN0，则P点的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 2已知点F14，0，直线l：x14，点B是l上的动点若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A双曲线 B椭圆 C圆 D抛物线

10、4/7 图 8-8-4 3(2014模拟)平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(1,3)，若点C满足OC1OA2OB(O为原点)，其中1，2R，且121，则点C的轨迹是()A直线 B椭圆 C圆 D双曲线 4(2014模拟)如图 8 8 4 所示，A是圆O一定点，B是圆周上 一个动点，AB的中垂线CD与OB交于E，则点E的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 5设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于 A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP2PA，且OQAB1，则点P的轨迹方程是()A.32x23y21(x0，y0)B.32x23y21(x0，y

11、0)C3x232y21(x0，y0)D3x232y21(x0，y0)6 已知动点P在曲线 2x2y0上移动，则点A(0，1)与点P连线中点的轨迹方程是()Ay2x2By8x2C2y8x21 D2y8x21 二、填空题 7平面上有三个点A(2，y)，B0，y2，C(x，y)，若ABBC，则动点C的轨迹方程是_ 8动圆与C1：x2y21 外切，与C2：x2y28x120 切，则动圆圆心的轨迹是_ 9已知ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|3，则顶点A的轨迹方程为_ 10.(2014模拟)在ABC中，A为动点，B，C为定点，Ba2，0，Ca2，0(a0)，且满足条件 si

12、n Csin B12sin A，则动点A的轨迹方程是_ 三、解答题 11已知定点F(0,1)和直线l1：y1，过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹于P，Q两点，交直线l1于点R，求RPRQ的最小值 12(2011课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)，B点在直线y3 上，M点满足MBOA，MAABMBBA，M点的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值 13(2013课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为5/7 2 2，在y轴上截得

13、线段长为 2 3.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为22，求圆P的方程 达标训练 参考答案 一、选择题 1A.解析PMPN0，PMPN，点P的轨迹是以线段MN为直径的圆 2D.解析由已知：|MF|MB|，由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线 3A解析设C(x，y)，因为OC1OA2OB，所以(x，y)1(3,1)2(1,3)，即 x312，y132，解得 1y3x10，23yx10，又121，所以y3x103yx101，即x2y5，所以点C的轨迹为直线，应选A.4B解析由题意知，|EA|EO|EB|EO|r(r为圆的半径)且r|OA|，故E的轨迹为以O

14、，A为焦点的椭圆，应选B.5A.解析设P(x，y)，A(xA,0)，B(0，yB)，则BP(x，yyB)，PA(xAx，y)，BP2PA，x2xAx，yyB2y，即 xA32x，yB3y.A32x，0，B(0,3y)又Q(x，y)，OQ(x，y)，AB32x，3y，OQAB32x23y21，则点P的轨迹方程是32x23y21(x0，y0)6C解析设AP中点M(x，y)，P(x，y)，则xx2，yy12，x2x，y2y1，代入 2x2y0，得 2y8x21，应选 C.二、填空题 7y28x。解析AB0，y2(2，y)2，y2，BC(x，y)0，y2x，y2，ABBC，ABBC0，2，y2x，y2

15、0，即y28x.动点C的轨迹方程为y28x.8以C1，C2为焦点的双曲线的右支。解析C2的圆心为C2(4,0)，半径为 2，设所求动圆的圆心为M，半径为r，因为动圆与C1外切，又与C2切，所以r2，|MC1|r1，|MC2|r2.由得|MC1|MC2|3|C1C2|4.根据双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支 9(x10)2y236(y0)解析设A(x，y)，则Dx2，y2，|CD|x252y243，化简得(x10)2y236，由于A，B，C三点构成三角形，A不能落在x轴上，即y0.6/7 10.答案16x2a216y23a21(x0 且y0).解析由正弦定理：|A

16、B|2R|AC|2R12|BC|2R，即|AB|AC|12|BC|，故动点A是以B，C为焦点，a2为实轴长的双曲线右支 三、解答题 11解(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，动点C的轨迹方程为x24y.(2)由题意知，直线l2的方程可设为ykx1(k0)，与抛物线方程联立消去y，得x24kx40.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x24k，x1x24.又易得点R的坐标为2k，1，RPRQx12k，y11 x22k，y21 x12kx22k(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k2k(x1x2)4k244(1k2)4k2k

17、2k4k244k21k28.k21k22，当且仅当k21 时取等号，RPRQ42816，即RPRQ的最小值为 16.12解(1)设M(x，y)，由已知得B(x，3)又A(0，1)，所以MA(x，1y)，MB(0，3y)，AB(x，2)再由题意可知(MAMB)AB0，即(x，42y)(x，2)0，所以曲线C的方程为y14x22.(2)设P(x0，y0)为曲线C：y14x22 上一点，因为y12x，所以l的斜率为12x0.因此直线l的方程为yy012x0(xx0)，即x0 x2y2y0 x200.则O点到l的距离d|2y0 x20|x204，又y014x202，所以d12x204x20412x2044x2042.当x00 时取等号，所以O点到l距离的最小值为 2.13解(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y22r2，x23r2，从而y22x23.故P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0，y0)由已知得|x0y0|222.又P点在双曲线y2x21 上，从而得|x0y0|1，y20 x201.由 x0y01，y20 x201得 x00，y01.此时，圆P的半径r 3.7/7 由 x0y01，y20 x201得 x00，y01，此时，圆P的半径r 3.故圆P的方程为x2(y1)23 或x2(y1)23.