海南省2022届高三(下)诊断数学试卷5031.pdf

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1、 海南省 2022 届高三（下）诊断数学试卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（5 分）已知集合 Ax|1x5，Bx|x22x30，则 A（RB）（）A（3，5 B1，5 C（3，+）D（，1 2（5 分）已知复数 z 满足 z（1+i）2i（i 为虚数单位），则 z 的虚部为（）A B C D 3（5 分）函数 f（x）cos（2x）+1 的图象的一个对称中心为（）A（，0）B（，0）C（，1）D（，1）4（5 分）设 alog20.4，b20.6，c0.82，则（）Aabc Bbca Ccab Dacb 5

2、（5 分）若（，）且 cos2，则 tan（）A7 B C D7 6（5 分）两个不同的圆锥的底面是球 O 的同一截面，顶点均在球 O 表面上，若球 O 的体 积为 V，则这两个圆锥体积之和的最大值为（）A B CV DV 7（5 分）设随机变量 X 服从正态分布 N（1，2），若 P（X2a）0.3，则 P（Xa）（）A0.2 B0.3 C0.7 D0.8 8（5 分）海口钟楼的历史悠久，最早是为适应对外通商而建立，已成为海口的最重要的标 志性与象征性建筑物之一如图所示，海口钟楼的主体结构可以看作一个长方体，四个侧面 各有一个大钟，则从 8：00 到 10：00 这段时间内，相邻两面钟的分针

3、所成角为 60的次数 为（）A2 B4 C6 D8 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分（多选）9（5 分）已知向量（1，），（1，0），则（）A 2（2，）B|2|C（）D 与 的夹角为（多选）10（5 分）下列双曲线的渐近线方程为 yx 的是（）Ay21 B1 Cx21 D1（多选）11（5 分）环境监测部门统计了甲、乙两个城市去年每天的 AQI（空气质量指数），数据按照（0，50，（50，100，（200，250进行分组得到下面的频率分布直方图，已 知 0AQI

4、50 时控气质量等级为优，则（）A甲、乙两城市 AQI 的中位数的估计值相等 B甲、乙两城市 AQI 的平均数的估计值相等 C甲城市 AQI 的方差比乙城市 AQI 的方差小 D甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质量为优的天数多 （多选）12（5 分）“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一 项的“外观描述”例如：取第一项为 1，将其外观描述为“1 个 1”，则第二项为 11；将 11 描 述为“2 个 1”，则第三项为 21；将 21 描述为“1 个 2，1 个 1”，则第四项为 1211；将 1211 描 述为“1 个 1，1 个 2，2 个 1”，则第五项为 11

5、1221这样每次从左到右将连续的相同数字合 并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项则对于外观数列an，下列说法正确的 是（）A若 a13，则从 a4开始出现数字 2 B若 a1k（k1，2，3，9），则 an（nN*）的最后一个数字均为 k Can不可能为等差数列或等比数列 D若 a1123，则 an（nN*）均不包含数字 4 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13（5 分）已知函数 f（x）的定义域为2，+），则 a 14（5 分）（2x）8的展开式中的系数为 .（结果用数字表示）15（5 分）已知椭圆 C：+1（0b2）的左焦点为 F，M 是 C 上的动点，

6、点 N（0，），若|MN|+|MF|的最大值为 6，则 C 的离心率为 16（5 分）已知函数 f（x）exb 和 g（x）ln（x+a）b3，其中 a，b 为常数且 b0若 存在斜率为 1 的直线与曲线 yf（x），yg（x）同时相切，则的最小值为 四、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（10 分）设等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，已知 S4S13（）若 d2，求an的通项公式；（）若|S10|60，求 d 的取值范围 18（12 分）ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 C，b8，ca+2（）求边 a，c；（）若点 D

7、在线段 BC 上（与 B，C 不重合），且 ADc，求 sinCAD 19（12 分）如图所示，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，底面 ABCD 为矩 形，AB1，AD2，PAPD，点 M 在棱 PC 上且 BMPC（）证明：PA平面 MDB；（）求平面 PAD 与平面 MDB 的夹角的余弦值 20（12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，过 F 作圆 M：（x+2）2+y24 的 切线，切线长为 2（）求 C 的方程；（）过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 P 在 C 的准线上，满足|PA|PB|AB|，求 l 的方程 21（12 分）如

8、图是游乐场中一款抽奖游戏机的示意图，玩家投入一枚游戏币后，机器从上 方随机放下一颗半径适当的小球，小球沿着缝隙下落，最后落入 D1D6这 6 个区域中假 设小球从最上层 4 个缝隙落下的概率都相同，且下落过程中遇到障碍物会等可能地从左边或 右边继续下落（）分别求小球落入 D1和 D2的概率；（）已知游戏币售价为 2 元/枚若小球落入 D3和 D4，则本次游戏中三等奖，小球落入D2和 D5，则本次游戏中二等奖，小球落入 D1和 D6，则本次游戏中一等奖假设给玩家准备的一、二、三等奖奖品的成本价格之比为 3：2：1，若要使玩家平均每玩一次该游戏，商家至少获利 0.7 元，那么三等奖奖品的成本价格最

9、多为多少元？22（12 分）已知函数 f（x）xaexx2，aR（）若 a1，求 f（x）的最值；（）若 a1，设 g（x）f（x）+2x+1，证明：当 x1+x20 时，g（x1）+g（x2）4 参考答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1A【解析】Bx|x22x30 x|1x3，RB（，1）（3，+），又Ax|1x5，A（RB）（3，5，故选：A 2C【解析】z（1+i）2i（i 为虚数单位），z（1+i）（1i）（2i）（1i），zi，则 z 的虚部为 故选：C 3D【解析】对于函数 f（x）cos（2x）

10、+1 的图象，令 2xk，kZ，可得 x+，kZ，故函数的对称中心为（+，1），kZ，根据选项可知 D 符合 故选：D 4D【解析】由 alog20.4log210，b20.6201，0c0.821，即 acb，故选：D 5B【解析】因为 cos2，所以解得 tan2，又（，），tan0，所以 tan 故选：B 6B【解析】根据题意，两圆锥的位置如图所示时，体积最大；由于V，故 故选：B 7C【解析】随机变量 X 服从正态分布 N（1，2），正态曲线关于直线 x1 对称，P（X2a）0.3，P（Xa）P（X2a）0.3，P（Xa）1P（Xa）10.30.7 故选：C 8D 【解析】在长方体 A

11、BCDA1B1C1D1中，以点 A 为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分 别为 x、y、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设分针长为 a，设矩形 AA1B1B 的对角线的交点为 E，矩形 AA1D1D 的对角线的交点为 F，考査 8：00 到 9：00 这个时间段，设 t 时刻，侧面 AA1B1B、AA1D1D 内的钟的分针的针点的位置分别为 M、N，设，其中3600，则，由已知可得，则，因为3600，故 的取值为45、135、225、315，即在 8：00 到 9：00 这个时间段，相邻两面钟的分针所成角为 60的次数为 4，因此，从 8：00 到 10：00 这段时间内，相邻两面钟

12、的分针所成角为 60的次数为 8 故选：D 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9BC【解析】向量（1，），（1，0），2（3，），故 A 错误；|22|，故 B 正确；（）+1+0+10，（），故 C 正确；cos，故 D 错误，故选：BC 10AD【解析】y21 的渐近线方程为 yx；1 的渐近线方程为 yx；x21 的渐近线方程为 y2x；1 的渐近线方程为 yx；故选：AD 11ABD【解析】选项 A：根据两个频率分布直方图，甲、乙两个城市去年每天的 AQI

13、 的中位数 均为 125，故选项 A 正确；选项 B：设甲、乙两频率分布直方图中小矩形的高度数值如图所示，则 a502+b50+c5021，即 50（2a+b+2c）1，同理 50（2x+z+2y）1，甲城市的 AQI 的平均数为：50c25.5+50a75.5+50b125.5+50a175.5+50c225.5 50（250c+250a+125.5b）50125.5（2c+2a+b）50125.5，乙城市的 AQI 的平均数为：50 x25.5+50y75.5+50z125.5+50y175.5+50 x225.5 50（250 x+250y+125.5z）50125.5（2x+2y+z）

14、50125.5，所以甲、乙两城市 AQI 的平均数的估计值相等，故选项 B 正确；选项 C：由图可知，乙城市 AQI 的数据更集中，即方差更小，所以选项 C 错误；选项 D：由图可知甲城市 AQI 在（0，50的频率大于 0.2，乙城市 AQI 在（0，50的频率小于 0.2，所以甲城市 AQI 在（0，50的频率大于乙城市 AQI 在（0，50的频率，甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质量为优的天数多，故 D 正确 故选：ABD 12BD【解析】对于 A，a13，即“1 个 3”，a213，即“1 个 1，1 个”3，a31113，即“3 个 1，1 个”，故 a43113，A 错；对于

15、B，若 a1k（k2，3，9），即“1 个 k”，a21k，即“1 个 1，1 个 k”，a3111k，即“3 个 1，1 个 k”，a4311k，以此类推可知，的最后一个数字均为 k，若 a11，则 a211，a321，a41211，以此类推可知，的最后一个数字均为 1 综上所述，若 a1k（k1，2，3，9），则的最后一个数字均为 k，B 对；对于 C，取 a122，则 a2a322，此时数列an既是等差数列，又是等比数列，C 错；对于 D，a1123，则 a2111213，a331121113，a41321123113，若数列an中，中为第一次出现数字 4，则 ak1中必出现了 4 个连

16、续的相同数字，如 ak11111，则在 ak2的描述中必包含“1 个，1 个 1”，即 ak211，显然 ak2的描述是不合平要求的，若 ak12222或 ak13333，同理可知均不合平题意，故不包含数字 4，D 对 故选：BD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 134 【解析】函数 f（x）的定义域为2，+），22a0，则 a4，故答案为：4 14112【解析】二项式的展开式的通项公式为 T C，令 8，解得 r6，所以的系数为 C112，故答案为：112 15【解析】如图，设椭圆的另一个焦点为 F0，因为|MN|+|MF|MN|MF0|+2a2a+|NF0|因为

17、|MN|+|MF|的最大值为 6，a2，所以|NF0|2，即，c1，所以椭圆的离心率为 故答案为：162【解析】函数 f（x）的定义域为 R，g（x）的定义域为（a，+），f（x）ex，g（x），设 f（x）的切点为 A（），则，x10，可得 A（0，1b），设 g（x）的切点为 B（），则，x21a，则 B（1a，b3），可得 ab3b+2（b0），当且仅当，即 b1，a2 时等号成立 故答案为；2 四、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17解：（I）S4S1a2+a3+a43a33，则 a31，所以 ana3+（n3）d1+2（n3）2n5（II）由（I）知，a3

18、1，所以 a112d，10（12d）+45d25d+10，因为|S10|60，所以|25d+10|60，所以6025d+1060，解得，故 d 的取值范围为（）18解：（）由余弦定理知，c2a2+b22abcosC，即（a+2）2a2+642a8，解得 a5，所以 ca+27（）在ACD 中，由余弦定理知，AD2AC2+CD22ACCDcosC，即 7282+CD228CD，解得 CD3 或 5，当 CD5 时，D 与 B 重合，不符合题意，故 CD3，在ACD 中，由正弦定理得，所以 sinCAD 19（）证明：因为平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCDAD，根据条件可知

19、ABAD，所以 AB平面 PAD，所以 ABPA 所以，同理可得 PC2，又 BCAD2，所以PBC 是等边三角形，因为 BMPC，所以 M 是 PC 的中点 如图，连接 AC，与 BD 交于点 O，连接 MO，则 O 是 AC 的中点，所以 PAMO，因为 PA 不在平面 MDB 内，MO平面 MDB，所以 PA平面 MDB（）解：以 D 为坐标原点，以 DA，DC 所在直线为 x，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系 则 由（1）知是平面 PAD 的一个法向量 设为平面MDB的法向量 因为，则，令 x1，可得 设平面 PAD 与平面 MDB 的夹角为，则 20解：（I）由已知得圆 M 的圆心

20、为 M（2，0），半径为 2，所以点 F 到圆心 M 的距离为4，因为 p0，所以 F 在 x 轴正半轴上，于是 F（2，0），所以2，所以 p4，故抛物线 C 的方程为 y28x；（II）设线段 AB 的中点为 Q，由题意可知 PQ 为 AB 的中垂线，且在直角PAQ 中，由|PA|AB|，即|PA|AQ|，可得|PQ|AQ|，设 l 的方程为 xmy+2，设 A（x1，y1），B（x2，y2），由，得 y28my160，则 y1+y28m，x1+x2m（y1+y2）+48m2+4，所以 Q（4m2+2，4m），所以直线 PQ 的方程为 ym（x4m22）+4m，令 x2，可得 y4m3+8

21、m，即 P（2，4m3+8m），所以|PQ|（4m2+4），又|AB|p+x1+x24+x1+x28m2+8，|AQ|AB|4m2+4，所以（4m2+4）（4m2+4），解得 m1，所以 l 的方程为 x+y20，xy20 21解：（）记第一层障碍物之间的缝隙从左到右分别为 A1，A2，A3，A4，小球落入缝隙 Ai为事件 Ai（1i4），第二层障碍物之间的缝隙从左到右分别为 B1，B2，B5，小球落入缝隙 Bj为事件 Bj（1j5），第三层障碍物之间的缝隙从左到右分别为 C1，C2，C6，小球落入缝隙k为事件k（1k6），由题意，则；（）设三等奖奖品成本为 a 元，玩家玩一次游戏获得的奖品成

22、本为随机变量 X，则 X 的所有可能取值为 a，2a，3a，所以 X 的分布列为：X a 2a 3a P 所以 X 的数学期望为，由题意，E（X）20.71.3，解得 a0.8，因此三等奖奖品的成本价格最多为 0.8 元 22解：（）若 a1，则 f（x）xexx2，f（x）1exx，当 x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0；所以 f（x）在（，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，所以 f（x）的极大值，也是最大值为 f（0）1，没有最小值 证明：（）由题意得 g（x）ex+3x+1，所以 g（x）exx+3 令（x）exx+3，则（x）ex1，当 x0 时，（x）0；当 x0 时，（x）0；所以（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递减增，所以（x）（0）4，即 g（x）0，于是 g（x）在 R 上单调递增 设 F（x）g（x）+g（x）ex+exx2+2，则 F（x）exex2x，令 G（x）exex2x，则 G（x）ex+ex2220，所以 G（x）在 R 上单调递增，而 G（0）0，所以当 x0 时，F（x）G（x）0；当 x0 时，F（x）G（x）0；所以 F（x）F（0）4，即 g（x）+g（x）4 当 x1+x20 时，x1x2，所以 g（x1）g（x2）所以 g（x1）+g（x2）g（x2）+g（x2）4