四川省成都市2023届高三摸底测试(零诊)数学(理)4284.pdf

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1、成都市 2020 级高中毕业班摸底测试 数学（理科）第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合12Axx N，1Bx x，则AB（）A 0,1 B11xx C0,1,2 D01xx 2复数1 i2iiz（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3若实数 x，y 满足约束条件,1,22.yxxyxy则2zxy的最大值为（）A32 B2 C4 D6 4设1ln3a，0.312b，2log 3c，则 a，b，c 的大小关系为（）Abac Bab

2、c Cacb Dcba 5从某小区随机抽取 100 户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在 50300kwh 之间，适当分组（每组为左闭右开区间）后绘制成如图所示的频率分布直方图则直方图中 x 的值以及在被调查的用户中月用电量落在区间100,250内的户数分别为（）A0.0046，72 B0.0046，70 C0.0042，72 D0.0042，70 6已知函数 2,0,2,0.xxa xf xx若 14ff，且1a ，则a（）A12 B0 C1 D2 7已知焦距为 4 的双曲线222210,0 xyabab的一条渐近线与直线30 xy垂直，则该双曲线的方程为（）A2213xy B

3、22126xy C2213yx D22162xy 8若函数 2lnf xkxx在区间1,上单调递增，则实数 k 的取值范围是（）A1,B2,C0,1 D0,2 9赵爽是我国古代著名数学之家，他用于证明勾股定理的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小四边形1111ABC D构成，如图所示已知直角三角形的两条直角边长分别为 3，4，若在“赵爽弦图”中随机取一点，则该点取自四边形1111ABC D区域内的概率为（）A925 B125 C1625 D425 10若数据 9，m，6，n，5 的平均数为 7，方差为 2，则数据 11，9，21m，17，21n的平均数和方差分别为（）A13，4 B14

4、，4 C13，8 D14，8 11如图，已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，M，N 分别为1BB，CD的中点有下列结论：三棱锥11AMND在平面11D DCC上的正投影图为等腰三角形；直线MN平面11ADC；在棱 BC 上存在一点 E，使得平面1AEB 平面 MNB；若 F 为棱 AB 的中点，且三棱锥MNFB的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为6 其中正确结论的个数是（）A0 B1 C2 D3 12若正实数1x是函数 2xf xxexe 的一个零点，2x是函数 3ln1g xxexe的一个大于 e的零点，则122xxee的值为（）A1e B21e Ce D2e 第卷（非选择题

5、，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡上 13已知向量1,am，,4bn，其中 m，nR若2ba，则mn的值为_ 14记函数 f x的导函数是 fx若 211f xfxx，则 1f 的值为_ 15设直线11,2:32xtlyt（t 为参数）与抛物线2:4C yx相交于 A，B 两点，点1,0M则MAMB的值为_ 16已知椭圆2222:10 xyCabab的左，右焦点分别为1F，2F，以坐标原点 O 为圆心，线段12FF为直径的圆与椭圆 C 在第一象限相交于点 A若122AFAF，则椭圆 C 的离心率的取值范围为_ 三、解答题：本大题共 6

6、小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分）设函数 321113fxxxax，其中aR若函数 f x的图象在0 x 处的切线与 x 轴平行（）求 a 的值；（）求函数 f x的单调区间 18（本小题满分 12 分）某建设行政主管部门对辖区内 A，B，C 三类工程共 120 个项目进行验收评估，规定评估分数在 85 分及其以上的项目被确定为“验收合格”项目，未达到 85 分的项目被确定为“有待整改”项目 现通过分层抽样的方法获得了三类工程的 12 个项目，其评估分数如下：A 类：88，90，86，87，79；B 类：85，82，91，74，92；C 类：

7、84，90（）试估算 A，B，C 这三类工程中每类工程项目的个数；（）在选取的样本中，从 B 类的 5 个工程项目中随机选取 2 个项目进行深度调研，求选出的 2 个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目的概率 19（本小题满分 12 分）如图，在三棱锥PABC中，已知PA 平面 ABC，2PAAB，90BAC，D 为 PC 上一点，且3PCPD，PCBD（）求 AC 的长；（）若 E 为 AC 的中点，求二面角DBEA的余弦值 20（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:10 xyEabab的右焦点为2F，上顶点为 H，O 为坐标原点，230OHF，点31,2在椭圆 E 上（）求

8、椭圆 E 的方程；（）设经过点2F且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 E 相交于 A，B 两点，点2,0P，2,0Q若 M，N 分别为直线 AP，BQ 与 y 轴的交点，记MPQ，NPQ的面积分别为MPQS，NPQS，求MPQNPQSS的值 21（本小题满分 12 分）已知函数 21cos2f xxx（）证明：1f x；（）设函数 sincos22xg xxxxe，F xaf xg x，其中aR若函数 F x存在非负的极小值，求 a 的取值范围 22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 如图，在极坐标系 Ox 中，圆 O 的半径为 2，半径均为 1 的两个半圆弧1C，2C所在圆

9、的圆心分别为11,2O，231,2O，M 是半圆弧1C上的一个动点（）当16MOO时，求点 M 的极坐标；（）以 O 为坐标原点，极轴 Ox 为 x 轴正半轴，1OO的方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系若点 N 为线段2MO的中点，求点 N 的轨迹方程 成都市 2022 级高中毕业班摸底测试 数学（理科）参考答案及评分意见 第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：（每小题 5 分，共 60 分）1A；2B；3D；4B；5A；6C；7C；8B；9B；10C；11D；12C 第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：（每小题 5 分，共 20 分）134；143；15163 1625,23 三

10、、解答题：（共 70 分）17解：（）221fxxxa 函数 f x的图象在0 x 处的切线与 x 轴平行，010fa，解得1a此时 010f ，满足题意1a（）由（）得 222fxxxx x 令 0fx，解得0 x 或2x 当 x 变化时，fx，f x的变化情况如下表：x,0 0 0,2 2 2,fx 0 0 f x 单调递减 1 单调递增 13 单调递减 函数 f x的单调递增区间为0,2；单调递减区间为,0，2,18解：（）根据分层抽样的定义，有 A 类工程有51205012；B 类工程有51205012；C 类工程有21202012A，B，C 三类工程项目的个数可能是 50，50，20

11、（）易知在 B 类工程抽样的这 5 个项目中，被确定为“验收合格”的项目有 3 个，所得评估分数分别为 85，91，92；被确定为“有待整改”的项目有 2 个，所得评估分数分别为 82，74 记选出的 2 个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目为事件 M 在 B 类工程的 5 个项目中随机抽取 2 个项目的评估分数数据组合有85,91，85,92，91,92，85,82，85,74，91,82，91,74，92,82，92,74，82,74，共计 10 种结果 抽取的 2 个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目的评估分数数据组合有85,82，85,74，91,82，91

12、,74，92,82，92,74，共计 6 种结果 故所求概率为63105P M 19解：（）PA 平面 ABC，AB，AC 平面 ABC，PAAB，PAAC 又90BAC，以 A 为坐标原点，AB，AC，AP的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyzA 则0,0,2P，2,0,0B，设0ACm m则0,0Cm，0,2PCm 由3PCPD，得40,3 3mD，则42,3 3mBD PCBD，即PCBD，4022033mPC BDm ，即28m 又0m，解得2 2m AC 的长为2 2（）E 为 AC 的中点，由（）知0,2,0E，2 2 40,33D 则2 2

13、 42,33BD，2 40,33ED 设平面 DBE 的一个法向量为1,nx y z 由110,0nBDnED得2 2420,33240.33xyzyz令1z，得2,2 2.xy12,2 2,1n 设平面 ABE 的一个法向量为20,0,1n 设二面角DBEA的平面角为 1222212113cos1322 21n nn n，易知二面角DBEA为锐角，二面角DBEA的余弦值为1313 20解：（）由230OHF，得3bc（c 为半焦距），点31,2在椭圆 E 上，则221914ab又222abc，解得2a，3b，1c 椭圆 E 的方程为22143xy（）由（）知21,0F设直线:1l xmy，1

14、1,A x y，22,B xy 由221,143xmyxy消去 x，得2234690mymy显然214410m 则122634myym，122934y ym 121232my yyy 由2,0P，2,0Q，得直线 AP 的斜率1112ykx，直线BQ的斜率为2222ykx 又1OMkOP，2ONkOQ，2OPOQ，12OMkONk 121212MPQNPQPQ OMSOMkSONkPQ ON 121211212121212221233yxy mykmy yykxymyymy yy1211212212313122233933222yyyyyyyyyy 13MPQNPQSS 21解：（）sinfx

15、xx令 h xfx，则 1 cosh xx xR，cos1,1x，0h x恒成立，即 fx在 R 上为增函数 又 000 sin00hf，当0 x时，有 0fx；当0 x 时，有 0fx 函数 f x在区间,0上为减函数，在0,上为增函数 2100cos012fxf最小值 1f x （）2sin2sinsinxxxxFxafxgxa xxxxaee 由（）知 fx在 R 上为增函数 当0 x时，有 00fxf，即sin0 xx；当0 x 时，有 00fxf，即sin0 xx （i）当0a时，20 xyae在 R 上恒成立，当0 x时，0Fx；当0 x 时，0Fx 函数 F x在,0上为减函数，

16、在0,上为增函数 0=0010F xFafga 最小值，即1a；（ii）当0a 时，由 0Fx，解得10 x，22lnxa，且2xyae在 R 上单调递减 当20a 时，20 x 当0 x时，有 0Fx；当20 xx时，有 0Fx；当2xx时，有 0Fx，函数 F x在,0上为减函数，在20,x上为增函数，在2,x 上为减函数 =0=10F xFa 最小值不符合题意；当2a 时，20 x xR时，有 0Fx恒成立，故 F x在 R 上为减函数 函数 F x不存在极小值点，不符合题意；当2a 时，20 x 当2xx时，有 0Fx；当20 xx时，有 0Fx；当0 x 时，有 0Fx，函数 F x

17、在2,x上为减函数，在2,0 x上为增函数，在0,上为减函数 2=010F xF xFa 最小值不符合题意 综上所述，若函数 F x存在非负的极小值，则 a 的取值范围为1,22解：（）由11,2O，16MOO，得点 M 的极角为2263 在等腰1O MO中，由正弦定理得111sinsinO MOMMOOMOO，即12sinsin63OM 3232OM 点 M 的极坐标为23,3（）由题意，在直角坐标系中，点 M 在以0,1为圆心，1 为半径的半圆弧1C上，其参数方程为cos,1 sinxy（为参数，且322）设线段2MO的中点 N 的坐标为,x y已知点cos,1 sinM，20,1O，由中点坐标公式可得0cos1cos,221 1 sin1sin.22xy 点 N 的轨迹方程为1cos21sin2xy（为参数，且322）