全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答同名40117.pdf

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1、 全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答同名 The document was prepared on January 2,2021 2015 年全国高中数学联赛江西省预赛试题 一、填空题 1、若三位数nabc是一个平方数，并且其数字和abc 也是一个平方数，则称n为超级平方数，这种超级平方数的个数是 2、函数2281448yxxxx的最大值是 3、直线l过点(1,2)M，若它被两平行线4310 xy 与4360 xy所截得的线段长为2，则直线l的方程为 4、0013sin10cos10 5、满足21xx的实数x的取值范围是 6、若实数,0 x y z，且30,350 xyzxyz，则542Tx

2、yz的取值范围是 7、在前一万个正整数构成的集合1,2,10000中，被3除余2，并且被5除余3，被7除余4的元素个数是 8、如图，正四面体ABCD的各棱长皆为2，111,A B C分别是棱,DA DB DC的中点，以D为圆心，1为半径，分别在面,DAB DBC内作弧1111,A BBC，并将两弧各分成五等分，分点顺次为112341,A P P P P B以及112341,B Q Q Q Q C，一只甲虫欲从点1P出发，沿四面体表面爬行至点4Q，则其 爬行的最短距离为 二、解答题 9、正整数数列 na满足：2112,1nnnaaaa；证明：数列的任何两项皆互质 10、（25分）H为锐角三角形A

3、BC的垂心，在线段CH上任取一点E，延长CH到F，使HFCE，作FDBC，EGBH，其中,D G为垂足，M是线段CF的中点，12,O O分别为,ABGBCH的外接圆圆心，12,OO的另一交点为N；证明：1、,A B D G四点共圆；2、12,O O M N四点共圆；11、对于任意给定的无理数,a b及实数0r，证明：圆周222xaybr上至多只有两个有理点（纵横坐标皆是有理数的点）12、从集合1,2,36M 中删去n个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不是2015的因数，求n的最小值 NO2O1GDFMHABCE 2015 年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答 一、填空题 1、若三位数nab

4、c是一个平方数，并且其数字和abc 也是一个平方数，则称n为超级平方数，这种超级平方数的个数是 答案：13个 解：可顺次列举出：100,121,144,169,196,225,324,400,441,484,529,900,961 2、函数2281448yxxxx的最大值是 答案：2 3 解：(8)(6)(8)86yxxxxxxx6 86xxx，其定义域为68x，当6x 时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式的值达最大，其值为2 3 3、直线l过点(1,2)M，若它被两平行线4310 xy 与4360 xy所截得的线段长为2，则直线l的方程为 答案：715xy或者75xy 解：设l的方程为2

5、(1)yk x，将此方程分别与4310 xy 及4360 xy联立，解得交点坐标3758,3434kkAkk与312108,3434kkBkk，据2AB，得225523434kkk，即2225(1)234kk，所以17k，217k ，分别代入所设方程，得到715xy或者75xy 4、0013sin10cos10 答案：4 解：00000000000013cos10sin1013sin30 cos10cos30 sin102244sin10cos102sin10 cos102sin10 cos10 00sin2044sin20 5、满足21xx的实数x的取值范围是 答案：21,2 解：用图像法：

6、令21yx，此为单位圆的上半圆，它与直线yx交点11,22，半圆位于交点左侧的图像皆在直线yx上方；或者三角函数代换法：因11x，令cos,0 x，则siny，由条件式21xx，平方得221x，则12x，又有cos1x，因此21,2x 6、若实数,0 x y z，且30,350 xyzxyz，则542Txyz的取值范围是 答案：120,130 解：542433043Txyzxyzxyzxyz 因 42380 xyxyzxyz，所以110()Tyz，20(3)()2()xyzxyzxz，则10 xz，因,x z非负，于是10 x，从而由30 xyz知，20yz，得到110()130Tyz，（当0

7、,10,20zxy时取得等号）再由4280 xy，0y，则20 x，所以3010yzx，于是 110()120Tyz，（当20,0,10 xyz时取得等号），所以120130T 7、在前一万个正整数构成的集合1,2,10000中，被3除余2，并且被5除余3，被7除余4的元素个数是 答案：95个 解：对于每个满足条件的数n，数2n应当被3,5,7除皆余1，且为偶数；因此，21n应当是3,5,7的公倍数，且为奇数；即21n是105的奇倍数，而当1,2,10000n时，211,2,19999n，由于在1,2,19999中，共有190个数是105的倍数，其中的奇倍数恰有95个 8、如图，正四面体ABC

8、D的各棱长皆为2，111,A B C分别是棱,DA DB DC的中点，以D为圆心，1为半径，分别在面,DAB DBC内作弧1111,A BBC，并将两弧各分成五等分，分点顺次为112341,A P P P P B以及112341,B Q Q Q Q C，一只甲虫欲从点1P出发，沿四面体表面爬行至点4Q，则其 爬行的最短距离为 答案：02sin 42 解：作两种展开，然后比较；由于11AB被112341,A P P P P B分成五段等弧，每段弧对应的中心角各为012，11BC被112341,B Q Q Q Q C分成五段等弧，每段弧对应的中心角也各为012，若将DBC绕线段DB旋转，使之与DA

9、B共面，这两段弧均重合于以D为圆心，半径为1的圆周，14PQ对应的圆心角为008 1296，此时，点14,P Q之间直线距离为02sin 48，若将DAB绕线段DA旋转，DBC绕线段DC旋转，使之皆与DAC共面，在所得图形中，14PQ对应的圆心角为007 1284，此时，点14,P Q之间直线距离为02sin 42，所以最短距离是02sin 42 二、解答题 9、正整数数列 na满足：2112,1nnnaaaa；证明：数列的任何两项皆互质 证：改写条件为 11(1)nnnaa a，从而111(1)nnnaaa，等等，据此迭代得 111122111111(1)(1)(1)nnnnnnnnnnnn

10、aa aaa aaaa aa aa aa，所以，1211nnnaaaa，因此当kn，(,)1nkaa 10、（25分）H为锐角三角形ABC的垂心，在线段CH上任取一点E，延长CH到F，使HFCE，作FDBC，EGBH，其中,D G为垂足，M是线段CF的中点，12,O O分别为,ABGBCH的外接圆圆心，12,OO的另一交点为N；证明：1、,A B D G四点共圆；2、12,O O M N四点共圆；证：1、如图，设EGDFK，连AH，则因,ACBH EKBH，AHBC，KFBC，得CAEK，AHKF，且 CHEF，所以CAFEKF，AH与KF平行且相等，故AKHF，090KABKDBKGB ，因

11、此，,A B D G四点共圆；NO2O1GDFMHABCEPNKO2O1GDFMHABCE 2、据 1，BK为1O的直径，作2O的直径BP，连12,CP KP HP OO，则 090BCPBHP，所以CPAH，HPAC，故AHPC为平行四边形，进而得，PC与KF平行且相等，因此对角线KP与CF互相平分于M，从而12,O O M是KBP三边的中点，KM12OO，而由090KNB，12OOBN，得KN12OO，所以,M N K共线，因此MN12OO，又由KBP的中位线知211MOO BO N，因此四边形12OO MN是等腰梯形，其顶点共圆 11、对于任意给定的无理数,a b及实数0r，证明：圆周2

12、22xaybr上至多只有两个有理点（纵横坐标皆是有理数的点）证：对于点,M a b，用,P M r表示上述圆周上有理点的个数；首先，我们可以作一个合于条件的圆，其上至少有两个有理点，为此，取点0,0,2,2AB，线段AB中垂线l的方程为:2xy,今在l上取点12,12M，再取 6rMA，则以M为圆心、r为半径的圆周上至少有,A B这两个有理点；其次说明，对于任何无理点M以及任意正实数r，,2P M r；为此，假设有无理点,M a b及正实数r，在以M为圆心，r为半径的圆周上，至少有三个有理点,iiiA x y，,iixy为有理数，1,2,3i，则 222222112233xaybxaybxay

13、b 据前一等号得 22221212112212xxayybxyxy 据后一等号得 22222323223312xxayybxyxy 记 22221122112xyxyt，22222233212xyxyt，则12,t t为有理数，若120 xx，则由，121yybt，因b为无理数，得120yy，故12,AA共点，矛盾！同理，若230 xx，可得23,AA共点，矛盾！若12230,0 xxxx，由、消去b得，12231223123212xxyyyyxxatyytyy有理数，因a为无理数，故得，122312230 xxyyyyxx，所以 32121232yyyyxxxx，则 123,AAA共线，这与

14、123,AAA共圆矛盾！因此所设不真，即这种圆上至多有两个有理点于是对于所有的无理点M及所有正实数r，,P M r的最大值为2 12、从集合1,2,36M 中删去n个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不是2015的因数，求n的最小值 答案：17 解：因20155 13 31，M中任两个元素之和不大于71，由于2015不大于71的正因数有1,5,13,31,65，在M的二元子集中，元素和为5的有 1,4,2,3；元素和为13的有 1,12,2,11,3,10,4,9,5,8,6,7；元素和为31的有1,30,2,29,3,28,4,27,5,26,6,25,15,16；元素和为65的有29,3

15、6,30,35,31,34,32,33；为直观起见，我们将其画成一个图，每条线段两端的数为上述一个二元子集，为了不构成这些和，每对数（每条线段）中至少要删去一个数；(E)(D)(C)(B)(A)333234311615171418132567242658282123103236292011353019 122292741 于是在图(),()AB中各至少要删去4个数，图(),()CD中各至少要删去2个数，图()E中至少删去5个数，总共至少要删去17个数 另一方面，删去适当的17个数，可以使得余下的数满足条件；例如在图()A中删去12,30,4,22，图()B中删去11,29,3,21，()C中删去23,5，()D中删去24,6，()E中删去13,14,15,31,32这时图中所有的线段都已被断开