排列组合解题策略大全(十九种模型)5243.pdf

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1、 1 排列组合解题策略大全 一、合理分类与分步 1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有44A种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有131333AAA种排法，由分类计数原理，排法共有7813133344AAAA（种）解法二(排除法):甲在排头:44A,乙在排尾:44A,甲在排头且乙在排尾:33A,故符合题意的不同的排法为:5443544378AAAA.注:甲在排头和乙在排尾都包含甲在排头的同时乙在排位,所以多减了要补回来.2、从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国

2、西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案48A种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有 3 种方法，然后安排其余学生有38A方法，所以共有383A；若乙参加而甲不参加同理也有383A（同例 1）若甲乙都参加，则先安排甲乙，有 7 种方法，然后再安排其余 8 人到另外两个城市有28A种，共有287A方法.所以共有不同的派遣方法总数433288883374088AAAA（种）二、特殊元素和特殊位置优先法 1、0，1，2，3，4，5 可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？分析

3、：特殊元素：0，1，3，5；特殊位置：首位和末位 先排末位：13C，再排首位：14C，最后排中间三位：34A 共有：13C14C34A=288 2、7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的 3 个位置：24A;再在其余 5 个位置种剩余的 5 种花：55A；总共：24A55A=1440 三、排列组合混合问题先选后排法 解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用

4、也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想。2 1、4 个不同小球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？分析：因恰有一空盒，故必有一盒子放两球。1）选：从四个球中选 2 个有24C种，从 4 个盒中选 3 个盒有34C种；2）排：把选出的 2 个球看作一个元素与其余 2球共 3个元素，对选出的 3 盒作全排列有33A种，故所求放法有144333424ACC种。2、5 个不

5、同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法？解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A 3、9 名乒乓球运动员，其中男 5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析：先取男女运动员各 2 名，有2254C C种，这四名运动员混和双打练习有22A中排法，故共有222542120C C A 种.4、一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1 人参

6、加,则不同的选法有多少种？先在正副班长中选 1 人：12C，再在剩余 4 名战士中选 3 人：34C，最后对选出的 4 人进行全排列：44A，总共12C34C44A=192 四、相邻元素捆绑法 1、,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有多少种？解析：把,A B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于 4 人的全排列，4424A 种，答案：D.2、7 人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？分析：把甲、乙、丙三人看作一个“元”，与其余 4 人共 5 个元作全排列，有55A种排法，而甲乙、丙、之间又有33A种排法，故共有55A

7、72033A种排法。3、7 人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法？可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。55A22A22A=480 4、用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中有且只有两个偶数夹在 1 和之间,这样的五位数有多少个？解：把,当作一个小集团与排队共有22A种排法，再排小集团内部共有2222A A种排法，由分步计数原理共有222222A A A种排法.要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,

8、同时要注意合并元素内部也必须排列.3 五、不相邻（相离）问题插空法 1、七人并排站成一行，如果甲乙两个不能站在一起，那么不同的排法种数有多少？解析：除甲乙外，其余 5 个排列数为55A种，再用甲乙去插 6 个空位有26A种，不同的排法种数是52563600A A 种，选B.2、一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？先排除舞蹈外的 5 个节目为55A种，再用 4 个舞蹈节目去插 6 个空位有46A种，不同的排法种数是5456A A 3、某人射击 8 枪，命中 4 枪，命中的 4 枪中恰有 3 枪连在一起的情形有多少种？先将未命中的

9、4 枪排好，这里不讲顺序，然后将命中的 4 枪分 3 枪和 1 枪两组，插入 5 个空，共25A种情形。4、马路上有 8 只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？分析：表面上看关掉第 1 只灯的方法有 6 种，关第二只，第三只时需分类讨论，十分复杂。若从反面入手考虑，每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列，于是问题转化为“在 5 只亮灯的 4 个空中插入 3 只暗灯”的问题。故关灯方法种数为34C。六、定序问题缩倍法 1、,A B C D E五人并排站成一排，如果B必须站

10、在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法种数有多少？解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是 5 个元素全排列数的一半，即551602A 种，选B.2、6 个人排队，甲、乙、丙三人按“甲-乙-丙”顺序排的排队方法有多少种？分析：不考虑附加条件，排队方法有66A种，而其中甲、乙、丙的33A种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有1203366 AA种。七、多排问题直排法 1、（1）6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法种数有多少？对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。在排列

11、问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.4 解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排，共66720A 种，选C.（2）8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2 个元素要排在前排，某 1 个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个，有24A种，某 1 个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A种，其余 5 个元素任排 5 个位置上有55A种，故共有1254455760A A A 种排法.2、有 2 排座位,前排 1

12、1 个座位，后排 12 个座位。现在安排 2 人就坐,规定前排中间 3 个座位不能坐,并且这 2 个人不左右相邻,那么不同的排法共多少种？在 20 个可以坐的任意取 2 个排列,有 380 种,减去其中两人相邻的情况.相邻的情况有 2*3+2*3+2*11=34 种 所以答案为 380-34=346 九、自由分配求幂法 1、把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法 2、某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电

13、梯,下电梯的方法有多少种？87 十、相同元素分组隔板法 1、有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插入隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C种分法。一班二班三班四班五班六班七班 2、10 个相同的球装入 5 个盒中,每盒至少一有多少装法？49C 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为nm种 相同的元素分成 m 份（n，m

14、 为正整数）,每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板，插入 n 个元素排成一排的 n-1个空隙中，所有分法数为11mnC 5 十一、平均分组先乘后除 1、将 4 人平均分成两组，有多少种不同的分法？分析：如果象例 1 一样，则有 C24=6 种。但事实上，将 ABCD 四人平均分成两组，只有 AB-CD、AC-BD、AD-BC 三种。为什么呢？我们不难发现，从 4 人中选 2 人时，选 AB 或 CD 是两种不同的选法，但在分组时，AB-CD 应是同一组，即每种分法都重复了 2 次。故正确的分组种数为2242223C CA种。2、六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法

15、？(1)每组两本（均分三堆）(2)一组一本，一组二本，一组三本(3)一组四本，另外两组各一本 分析：（1）22264233C C C=15A (2)C16C25C33=60 (3)41162122C C C=15A 十一、非平均分组只用乘法 (分步为每个小组按数量取物）1、将 6 人分成 1 人、2 人、3 人三组，有多少种不同的分法？解：由乘法原理不难得到不同的分法有 C16C25C33=60 种。说明：这种分组将元素分成个数互不相等的组，可以直接由乘法原理求出适合条件的不同种分法。十四、定向分配（小组要分给指定的对象）-用分步乘法(分步为每个对象按数量取物）1、六本不同的书，分给甲、乙、丙

16、三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)甲两本、乙两本、丙两本.(2)甲一本、乙两本、丙三本.(3)甲四本、乙一本、丙一本.分析：（）法一：先平均分组：22264233C C C=15A；再分给三人：33A；共22264233C C CA33A=90 此法较繁，故采用法二：先为甲选两本：26C,再为乙选两本：24C，最后为丙选两本：22C；共26C24C22C=90（2）先为甲选 1 本：16C,再为乙选两本：25C，最后为丙选两本：33C；平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(n 为均分的组数)避免重复计数。说明：若将m个元素分组，其中有r组元素

17、个数相同，则不同种分组方法有rrcmcmbamamPCCC 说明：若将m个元素分组，其中每组元素个数都不相同，则不同种分组方法有abm cmm am cC CC 6 共16C25C33C=60（）先为甲选 1 本：46C,再为乙选两本：12C，再为丙选两本：11C；共46C12C11C=30 十三、不定向分配（小组可分给任一对象）-先分组，再排列 1、六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每人两本（平均分给甲乙丙三人）(2)一人一本、一人两本、一人三本(3)一人四本、一人一本、一人一本 分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题。

18、由于分配给三人且未指明具体的分配对象，那么同一组书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以，即（）先分组（平均分组）：22264233C C CA；再分配给三人（排列）：33A；总方法为：2223642333C C CA=90A（）先分组（非平均分组）：C16C25C33，再分配给三人（排列）33A，总方法为：C16C25C3333A=360(种)（）先分组（含非平均分组和平均分组）：41162122C C CA，再分配给三人（排列）33A，总方法为：41162122C C CA33A=90(种)。2、6 本不同

19、的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑先分组，后排列。先分组，六本书怎么分为三组呢？有三类分法(1)每组两本(2)分别为一本、二本、三本(3)两组各一本，另一组四本。所以根据加法原理，分组法是 15+60+15=90(种)。再考虑排列，即再乘以33A。所以一共有 906=540 种不同的分法。3、四个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为 1，1，2。实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1 个，另一组

20、2 个，分组方法有11143222C C CA(种)，然后将这三组(即三个不同元素)分配给四个小盒(不同对象)中的 3 个的排列问题，即共有1113432422C C CAA=144(种)。十五、正难则反 排除法 1、从 10 人中选 6 人参加一项活动，其中甲、乙、丙至少有一人被选到，问有多少种不同的选法？有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.求.解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。7 67610CC 十六、复杂问题可以考虑列举法 1、将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的

21、标号与所填数字均不相同的填法有多少种？解析：先把 1 填入方格中，符合条件的有 3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有 331=9 种填法 2、将编号为 1，2，3，4，5 的五个球放入编号为 1，2，3，4，5 的盒子，要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？解析：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有25C种，还剩下 3 个球与 3 个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下 3，4，5 号球与 3，4，5 号盒子时，3 号球不能装入 3 号盒子，当 3 号球装入 4 号

22、盒子时，4，5 号球只有 1 种装法，3 号球装入 5 号盒子时，4，5 号球也只有 1 种装法，所以剩下三球只有 2 种装法，因此总共装法数为25220C 种.3、同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？(9)十八、对应思想转化法（化归）1、（1）圆周上有 10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的 10 个点可以确定多少个不同的四边形，显然有410C个，所以圆周上有 10 点，

23、以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有410C个.（2）某城市的街区有 12 个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短路径有多少种？解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从A到B最短路线必须走 7 小段，其中：向东 4 段，向北 3 段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过 4 段的走法，便能确定路径，因此不同走法有47C种.A B 对于条件比较复杂的且元素个数较少的排列组合问题，不易用公式进行运算，枚举法会收到意想不到的结果 处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题 8 十九、涂色问题 1、用

24、5 种不同的颜色给图中标、的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分不能同色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给号区域涂色有 5 种方法，再给号涂色有 4 种方法，接着给号涂色方法有 3 种，由于号与、不相邻，因此号有 4 种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5 4 3 4240 2、（2003 年全国高考题）如图所示，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意至少要用 3 种颜色 1)当先用三种颜色时，区域 2 与 4 必须同色，2)区域 3 与 5 必须同色，故有34A种；3)当用四种颜

25、色时，若区域 2 与 4 同色，4)则区域 3 与 5 不同色，有44A种；若区域 3 与 5 同色，则区域 2 与 4 不同色，有44A种，故用四种颜色时共有 244A种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A+244A=24+224=72 2、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？分析：可把问题分为三类：四格涂不同的颜色，方法种数为45A；有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为12542C A；两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为25A，因

26、此，所求的涂法种数为212255452260AC AA 3、用 6 种不同的颜色给图 2 的 4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格子不同色，不同的涂色方法共有多少种？（07 天津市理科高考 16 题）解析：题中最多使用 3 种颜色的言外之意是最少使用 2 种颜色（用 1 种颜色不合题意），启示我们把解法分成两类：根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。2 4 3 1 5 1 2 3 4 9 一类是用 2 种颜色涂有26C种选法，满足相邻格异色、一个一色的 4 个格子涂法有22A种，共有26C22A=30 种。二类是用 3 种颜色涂法有36C种选法，满足题意的 3 个格子涂法有33A种，且另一格可用余下 3 种颜色之一，有13A种法，共有36C33A13A=360 种。综上，所求涂色方法总共有 390 种。