湖南省株洲市重点高中2022-2023学年高三上学期入学考试数学试卷5434.pdf

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1、2022 年高三年级暑假入学考试 数学试卷 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分）1.已知集合，则()A.B.C.D.2.设函数则的值为()A.B.C.D.3.定义在 上的偶函数在上单调递增，且，则使成立的 的取值范围是()A.B.C.D.4已知命题 p：x(0,1)，exa0，若 p 是假命题，则实数 a 的取值范围是()Aa1 Bae Ca1 Dae 5.若函数在处取得极小值，则实数 的取值范围是()A.B.C.D.6.若，则取到最小值时，的值为()A.B.C.D.7.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪

2、首先提出了星等这个概念星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗到了年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念 天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述 两颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知“心宿二”的星等是，“天津四”的星等是，“心宿二”的亮度是“天津四”的 倍，则与最接近的是 当较小时，A.B.C.D.8.设，函数若函数恰有个零点，则()A.，B.，C.，D.，二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）9下列函数中，既是偶函数又在(0,)上单调递增的函数是（）A2yx By=|x-1|C1yx D2xy 10已知

3、01ab，则下列不等式中成立的是（）A11()()22ab Blnlnab C33ab D11ab 11.已知是定义在 上的偶函数，且对任意，有，当时，则()A.是以 为周期的周期函数 B.C.函数有 个零点 D.当时，12.已知函数，则下列说法正确的有()A.直线为曲线的一条切线；B.的极值点个数为；C.的零点个数为；D.若，则 三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.曲线在点处的切线方程为_ 14.某驾驶员喝了升酒后，血液中的酒精含量毫克 毫升 随时间小时 变化的规律近似满足表达式酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克 毫升此驾驶员至少要

4、过_小时后才能开车 精确到 小时 15.已知是定义在 上的偶函数，且，当时，若函数有且仅有 个零点，则 的取值范围是_ 16.已知函数有两个不同的极值点，且不等式恒成立，则实数 的取值范围是_ 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17已知数列 na满足*112,22nnnaaannN.(1)求证：1nnaa是等差数列；(2)若121,2aa，求 na的通项公式.18如图，在圆内接四边形 ABCD 中，120B，2AB，2 2AD，ABC的面积为3.(1)求 AC；(2)求ACD.19如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，E，F 分别为 PA，BC的中点(1)证明

5、：EF平面 PCD(2)若 PD平面 ABCD，120ADC，且24PDAD，求直线 AF 与平面 DEF 所成角的正弦值 20.我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从年到年的“十四五”规划 某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金 该企业为了了解研发资金的投入额单位：百万元 对年收入的附加额单位：百万元 的影响，对往年研发资金投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：投入额 年收入的附加额 求年收入的附加额 与投入额 的线性回归方程 在的条件下，若投入额为百万元，估计年收入的附加额为多少 若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的投入额为“优秀投资额

6、”，现从上面 个投入额中任意取 个，用 表示这 个投入额为“优秀投资额”的个数，求 的分布列及数学期望【参考数据】，【附】在线性回归方程中，21.已知椭圆的右焦点 与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为，过 轴正半轴一点且斜率为的直线 交椭圆于，两点 求椭圆的标准方程 是否存在实数 使得以为直径的圆过原点，若存在求出实数的值 若不存在需说明理由 22.已知函数 lnf xaxx（e 是自然对数的底数）.(1)讨论函数 f x的单调性；(2)当2a 时，若对于0k，曲线 C：2ymkx与曲线 yf x都有唯一的公共点，求实数 m的取值范围.2022 年高三年级暑假入学考试 数学参考答案 题号 1

7、2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C A B B B C C AC BC ACD AB 13.14.4 15.16.部分题答案：8 解：当时，最多一个零点；当时，当，即时，在上递增，最多一个零点，不合题意；当，即时，令得，函数递增，令得，函数递减，函数最多有 个零点；根据题意函数恰有 个零点，所以函数在上有一个零点，在上有 个零点，如右图：且 解得，故选：12 解：函数为偶函数，当时，令，可得，易知当，恒成立，即在上单增；当，令，则，因为，且单减，所以，使得，当单调递减，当单调递增，又，所以对，恒有，即，故函数在单调递减，因为函数为偶函数，所以函数在单调递减，在上单调

8、递增，在处取得极值 选项 A：直线为曲线的一条切线，因为，所以函数在处切线方程为，故 A对；选项 B：由上面分析可知在处取得极值，共三个极值点，故 B对；选项 C：因为，当时，在单调递减，在单调递增，所以时，仅有一个零点，又因为为偶函数，所以在 上有两个零点，故 C错；选项 D：因为在单调递减，在单调递增，所以，使得，此时，故 D 错；故答案选 AB 16.解：，若函数有两个不同的极值点，则方程有 个不相等的实数根，故 解得：而 ，若不等式恒成立，即，即，令，故在递增，故，所以，因此实数 的取值范围是 17 解(1)由题1124nnnaaa，即114nnnnaaaa，1nnaa是公差为 4 的

9、等差数列.(2)211211,42472nnaaaaaannn 12411nnaan，累加可得 21471147411125322nnnaannnnn 22542nannn，当1n 时1a也满足上式 2254nann.18.解;（1）因为ABC的面积为3，所以1sin32AB BCB.又因为120B，2AB，所以2BC.由余弦定理得，222cosACABBCAB BCB，22222222cos120AC 12，所以2 3AC.（2）因为 ABCD 为圆内接四边形，且120B，所以60D.又2 2AD，由正弦定理可得，sinsinADACACDD，故sinsinADDACDAC2 2sin602

10、 322.因为ACAD，所以060ACD，所以45ACD.19.(1)证明：取 PD 的中点 G，连接 CG，EG，因为 E，F 分别为 PA，BC 的中点，所以1/,2EGAD EGAD，又底面 ABCD 为菱形，所以1/,2CFAD CFAD，所以/,EGCF EGCF，所以四边形 EGCF 为平行四边形，所以/.EFCG 又CG 平面 PCDEF 平面 PCD，所以 EF/平面 PCD(2)解：连接BD，因为 PD平面 ABCD，,DF DA 平面 ABCD，所以,PDDF PDDA，因为四边形 ABCD 为菱形，120ADC，所以BCD为等边三角形，因为 F 为 BC 的中点，所以DF

11、BC，因为BCDA，所以DFDA，所以,DF DA DP两两垂直，所以以 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz 因为2ADPD，所以 D（0，0，0），F(3，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），则(0,1,2),(3,0,0),(3,2,0)DEDFAF 设平面 DEF 的法向量(,)mx y z，则 2030m DEyzm DFx，令1z，得(0,2,1)m 设直线 AF 与平面 DEF 所成的角为，则|4|4 35sincos,35|57m AFm AFmAF，所以直线 AF 与平面 DEF 所成角的正弦值为4 3535 20.【答案】解：，又因为，所以，所以年

12、收入的附加额 与投入额 的线性回归方程为 由知，所以随着研发资金投入额的增加，年收入的附加额也增加 研发资金投入额每增加 百万元，年收入的附加额增加百万元 所以，所以当时，所以当投入额为百万元时，估计年收入的附加额为百万元 个投入额中，“优秀投资额”的个数为 个，故 的所有可能取值为，则 的分布列为 则 21.【答案】解：根据题意，抛物线的焦点是，则，即，又椭圆的离心率为，即，解可得，则，则，故椭圆的方程为；由题意得直线 的方程为，由消去 得 由，解得 又，设，则，则 又由以为直径的圆过原点，则，即，得，又，即存在使得以为直径的圆过原点 22解：(1)因为，(x)=-1=(x0)当 a时，0f

13、x，函数在0,单调递减；当 a0 时，令 0fx，解得 x=a，当时，0fx，当时，0fx，函数 f x在上单调递增，在上单调递减，综上，当 a时，函数 f x在0,单调递减；当 a0 时，函数 f x在上单调递增，在上单调递减(2)因为曲线2:C ymkx与曲线 yf x有唯一的公共点，所以方程22lnmkxxx有唯一解，即方程22lnkxxxm有唯一解，令 22ln,0g xkxxx x，所以 222221kxxgxkxxx，当时，g(x)，函数 yg x单调递增，易知 g x与ym有且只有一个交点，满足题意；当11 160,016kk时，2220kxx 有两个根，且两根之和为182k，两

14、根之积为116k，若两根一个大于 4，一个小于 4，此时函数 g x先增后减再增，存在一个极大值和一个极小值，要使22lnkxxxm有唯一实数根，则m大于极大值或小于极小值.记3x为极大值点，则34x，则 233332lng xkxxxm恒成立，又233220kxx，即23322kxx，则极大值 2333333333112ln22ln2ln122g xkxxxxxxxx，因为 3332142gxxx，所以 330,gxg x在0,4上单调递增，344ln23g xg，则；记4x为极小值点，则44x，则 244442lng xkxxxm，又244220kxx，所以4412ln12xxm 恒成立，令 44412ln12h xxx，又 44212hxx，所以44x 时，42102x，所以 44412ln12h xxx单调递减，无最小值，所以不存在m，使得4412ln12xxm 恒成立.若两根都大于 4，设5x为极大值点，54x，则同理可得 55512ln12h xxx单调递减，所以 5ln2344h xh，则；设6x为极小值点，64x，可得不存在m，使得6612ln12xxm 恒成立.综上，要使对0k，曲线2:C ymkx与曲线 yf x都有唯一的公共点，m的取值范围为4ln23,.