高考数学复习平面向量、数系的扩充与复数的引入5.3平面向量的数量积与平面向量应用举例教学案苏教版2683.pdf

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1、第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例 最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 1向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作OAa，OBb，则AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：0，2平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab 投影|a|cos

2、 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积 3.平面向量数量积的运算律(1)交换律：abba；(2)数乘结合律：(a)b(ab)a(b)；(3)分配律：a(bc)abac.4平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b 结论 几何表示 坐标表示 模|a|aa|a|x21y21 数量积 ab|a|b|cos abx1x2y1y2 夹角 cos ab|a|b|cos x1x2y1y2x21y21x22y22 ab ab0 x1x2y1y20|ab|

3、与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|x21y21x22y22 常用结论 1平面向量数量积运算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2；(2)(ab)2a22abb2.2两个向量a，b的夹角为锐角ab0 且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0 且a，b不共线 一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量 ()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量 ()(3)由ab0 可得a0 或b0.()(4)(ab)ca(bc)()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编 1已知ab12 2，|a|4，a和b

4、的夹角为 135，则|b|为()A12 B6 C3 3 D3 B ab|a|b|cos 13512 2，所以|b|12 24226.2已知|a|5，|b|4，a与b 的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为 2 由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos 4cos 1202.3已知|a|2，|b|6，ab6 3，则a与b的夹角 .56 cos ab|a|b|6 32632.又因为 0，所以56.4已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m .8 a(1，m)，b(3，2)，ab(4，m2)，由(ab)b可得(ab)b122m4162m0，即m8.考点 1 平面向量数量积

5、的运算 平面向量数量积的 3 种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解(1)(2019全国卷)已知AB(2,3)，AC(3，t)，|BC|1，则ABBC()A3 B2 C2 D3(2)一题多解如图，在梯形ABCD中，ABCD，CD2，BAD4，若ABAC2ABAD，则ADAC .(1)C(2)12(1)BCACAB(1，t3)，|BC|12t321，t3，ABBC(2,3)(1,0)2.(2)法一：(定义法)因

6、为ABAC2ABAD，所以ABACABADABAD，所以ABDCABAD.因为ABCD，CD2，BAD4，所以 2|AB|AB|AD|cos 4，化简得|AD|2 2.故ADACAD(ADDC)|AD|2ADDC(2 2)22 22cos 412.法二：(坐标法)如图，建立平面直角坐标系xAy.依题意，可设点D(m，m)，C(m2，m)，B(n,0)，其中m0，n0，则由ABAC2ABAD，得(n,0)(m2，m)2(n,0)(m，m)，所以n(m2)2nm，化简得m2.故ADAC(m，m)(m2，m)2m22m12.逆向问题 已知菱形ABCD的边长为 6，ABD30，点E，F分别在边BC，D

7、C上，BC2BE，CDCF.若AEBF9，则的值为()A2 B3 C4 D5 B 依 题 意 得AEABBE12BCBA，BFBC1BA，因 此AEBF12BCBABC1BA12BC21BA2121BCBA，于是有1216212162cos 609，由此解得3，故选 B.解决涉及几何图形的向量的数量积运算常有两种思路：一是定义法，二是坐标法，定义法可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补；坐标法要建立合适的坐标系 1.(2019昆明模拟)在ABCD中，|AB|8，|AD|6，N为DC的中点，BM2MC，则AMNM

8、.24 法一：(定义法)AMNM(ABBM)(NCCM)AB23AD12AB13AD12AB229AD21282296224.法二：(特例图形)：若ABCD为矩形，建立如图所示坐标系，则N(4,6)，M(8,4)所以AM(8,4)，NM(4，2)所以AMNM(8,4)(4，2)32824.2在ABC中，AB4，BC6，ABC2，D是AC的中点，E在BC上，且AEBD，则AEBC()A16 B12 C8 D4 A 建立如图所示的平面直角坐标系，则A(4,0)，B(0,0)，C(0,6)，D(2,3)设E(0，b)，因为AEBD，所以AEBD0，即(4，b)(2,3)0，所以b83，所以E0，83

9、，AE4，83，所以AEBC16，故选 A.考点 2 平面向量数量积的应用 平面向量的模 求向量模的方法 利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)a2aa|a|2或|a|aa；(2)|ab|ab2a22abb2；(3)若a(x，y)，则|a|x2y2.(1)一题多解(2019昆明调研)已知向量a(1,2)，b(1,3)，则|2ab|()A.2 B2 C.10 D10(2)已知平面向量a，b的夹角为6，且|a|3，|b|2，在ABC中，AB2a2b，AC2a6b，D为BC中点，则|AD|等于()A2 B4 C6 D8(3)已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，

10、AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|PA3PB|的最小值为 (1)C(2)A(3)5(1)法一：因为a(1,2)，所以 2a(2,4)，因为b(1,3)，所以 2ab(3,1)，所以|2ab|10，故选 C.法二：在直角坐标系xOy中作出平面向量a,2a，b,2ab，如图所示，由图易得|2ab|10，故选 C.(2)因为AD12(ABAC)12(2a2b2a6b)2a2b，所以|AD|24(ab)24(a22bab2)4322 3cos 64 4，则|AD|2.(3)建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，则PA3PB(2，y)3(1，by

11、)(5,3b4y)所以|PA3PB|253b4y2(0yb)当y34b时，|PA3PB|min5.在求解与向量的模有关的问题时，往往会涉及“平方”技巧，注意对结论(ab)2|a|2|b|22ab，(abc)2|a|2|b|2|c|22(abbcac)的灵活运用另外，向量作为工具性的知识，具备代数和几何两种特征，求解此类问题时可以使用数形结合的思想，从而加快解题速度 平面向量的夹角 求向量夹角问题的方法(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求出ab及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由 cos ab|a|b|求得(2)坐标法：若已知a(x1，y1)与b(x2，y2)，则 co

12、sa，bx1x2y1y2x21y21x22y22，a，b0，(3)解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解(1)一题多解(2019全国卷)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A.6 B.3 C.23 D.56(2)一题多解(2019全国卷)已知a，b为单位向量，且ab0，若c2a 5b，则 cosa，c .(1)B(2)23(1)法一：因为(ab)b，所以(ab)bab|b|20，又因为|a|2|b|，所以 2|b|2cosa，b|b|20，即 cosa，b12，又知a，b0，所以a，b3，故选 B.法二：如图，令OAa，OBb，则BAOAOB

13、ab，因为(ab)b，所以OBA90，又|a|2|b|，所以AOB3，即a，b3.故选 B.(2)法一：|a|b|1，ab0，aca(2a 5b)2a2 5ab2，|c|2a 5b|2a 5b2 4a25b24 5ab3.cosa，cac|a|c|23.法二：不妨设a(1,0)，b(0,1)，则c2(1,0)5(0,1)(2，5)，cosa，c21323.逆向问题 若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知 2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是 ，9292，3 因为 2a3b与c的夹角为钝角，所以(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，所以 4k660，所以k3.若 2

14、a3b与c反向共线，则2k326，解得k92，此时夹角不是钝角，综上所述，k的取值范围是，9292，3.(1)研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是 0或180；求角时，注意向量夹角的取值范围是0，180；若题目给出向量的坐标表示，可直接利用公式 cos x1x2y1y2x21y21x22y22求解(2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于 0 说明不共线的两向量的夹角为钝角如本例的逆向问题 两向量垂直问题 abab0 x1x2y1y20.已知向量AB与AC的夹角为 120，且|AB|3，|AC|2.若

15、APABAC，且APBC，则实数的值为 712 因为APBC，所以APBC0.又APABAC，BCACAB，所以(ABAC)(ACAB)0，即(1)ACABAB2AC20，所以(1)|AC|AB|cos 120940.所以(1)3212940.解得712.1.利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为 0 即可 2已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数 1.(2019南宁模拟)已知平面向量a，b的夹角为3，且|a|1，

16、|b|12，则a2b与b的夹角是()A.6 B.56 C.4 D.34 A 因为|a 2b|2|a|24|b|24ab114112cos 33，所以|a2b|3.又(a2b)bab2|b|2112cos 3214141234，所以 cosa2b，ba2bb|a2b|b|3431232，所以a2b与b的夹角为6.故选 A.2(2019青岛模拟)已知向量|OA|3，|OB|2，OCmOAnOB，若OA与OB的夹角为60，且OCAB，则实数mn的值为()A.16 B.14 C6 D4 A 因为向量|OA|3，|OB|2，OCmOAnOB，OA与OB夹角为 60，所以OAOB32cos 603，所以A

17、BOC(OBOA)(mOAnOB)(mn)OAOBm|OA|2n|OB|2 3(mn)9m4n6mn0，所以mn16，故选 A.3设向量a，b满足|a|2，|b|ab|3，则|a2b|.4 2 因为|a|2，|b|ab|3，所以(ab)2|a|22ab|b|2492ab9，所以ab2，所以|a2b|a2b2|a|24ab4|b|2 48364 2.考点 3 平面向量的应用 平面向量是有“数”与“形”的双重身份，沟通了代数与几何的关系，所以平面向量的应用非常广泛，主要体现在平面向量与平面几何、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面，解决此类问题的关键是将其转化为向量的数量积、模、夹角等问题，进而

18、利用向量方法求解(1)在ABC中，已知向量AB(2,2)，|AC|2，ABAC4，则ABC的面积为()A4 B5 C2 D3(2)已知ABC是边长为 2 的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA(PBPC)的最小值是()A2 B32 C43 D1(1)C(2)B (1)AB(2,2)，|AB|2 2，ABAC|AB|AC|cos A 2 22cos A4，cos A22，又A(0，)，sin A22，SABC12|AB|AC|sin A2，故选 C.(2)建立坐标系如图所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，3)，B(1,0)，C(1,0)设P点的坐标为(x，y)，则PA(x，3y)，PB

19、(1x，y)，PC(1x，y)，PA(PBPC)(x，3y)(2x，2y)2(x2y2 3y)2x2y32234 23432.当且仅当x0，y32时，PA(PBPC)取得最小值，最小值为32.故选 B.用向量法解决平面(解析)几何问题的 2 种方法(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知，模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法 1.平行四边形ABCD中，AB4，AD2，ABAD4，点P在边CD上

20、，则PAPB的取值范围是()A1,8 B1，)C0,8 D1,0 A 由题意得ABAD|AB|AD|cosBAD4，解得BAD3.以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(4,0)，C(5，3)，D(1，3)，因为点P在边CD上，所以不妨设点P的坐标为(a，3)(1a5)，则PAPB(a，3)(4a，3)a24a3(a2)21，则当a2 时，PAPB取得最小值1；当a5 时，PAPB取得最大值 8，故选 A.2已知向量a，b满足|a|b|ab2 且(ac)(bc)0，则|2bc|的最大值为 71|a|b|ab2，cosa，bab|a|b|12，a，b60.设OAa(2,0)，OBb(1，3)，OCc，(ac)(bc)0，CACB，点C在以AB为直径的圆M上，其中M32，32，半径r1.延长OB到D，使得OD2b(图略)，则D(2,2 3)2bcODOCCD，|2bc|的最大值为CD的最大值 DM23222 3322 7，CD的最大值为DMr 71.