高中数学知识必备全案(上)4688.pdf

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1、高中数学考前回归知识必备全案(上)1 考前回归知识必备*1 集合与常用逻辑用语 集合与常用逻辑用语 集合 概念=123,na a aa 元素特点：互异性、无序性、确定性。一组对象的全体.,xA xA 关系 子集 的子集有2n个，真子集有21n个，非空真子集有22n个 A；,AB BCAC 真子集 相等,AB BAAB 运算 交集|,xxBxBAA且【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具.在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂有关问题。并集|,xxBxBAA或 补集|Ux xUC AxA且 常用逻辑用语 命题 概念 能够判断真假的语

2、句。四种 命题 原命题：若p，则q 逆命题：若q，则p 否命题：若p，则q 逆否命题：若q，则p 充要 条件 充分条件 pq，p是q的充分条件 若命题p对应集合A，命题q对应集合B，则pq等价于AB，pq等价于AB。必要条件 pq，q是p的必要条件 充要条件 pq，,p q互为充要条件 逻辑 连接词 或命题 pq，,p q有一为真即为真，,p q均为假时才为假。类比集合的并 且命题 pq，,p q均为真时才为真，,p q有一为假即为假。类比集合的交 非命题 p和p为一真一假两个互为对立的命题。类比集合的补 量词 全称量词，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。存在量词，含存在量词的命题

3、叫特称命题，其否定为全称命题。命题的否定与否命题*1.命题pq的否定与它的否命题的区别：命题pq的否定是pq,否命题是pq.命题“p或q”的否定是“p且q”,“p且q”的否定是“p或q”.*2.常考模式：全称命题p：,()xM p x；全称命题 p 的否定p：,()xMp x.特称命题p：,()xM p x；特称命题 p 的否定p：,()xMp x.【自我反思】1你知道集合中的元素互异性吗？研究集合一定要首先看清什么？研究集合交、并、补运算时，你注意到两种极端情况了吗？你会用补集的思想以及借助于数轴或韦恩图进行解决有关问题吗？2存在性命题和全称命题是什么？如何否定？命题的否定和否命题一样吗？充

4、分条件、必要条件和充要条件的概念记住了吗？如何判断？反证法证题的三部曲你还记得吗？注意：如“若a和b都是偶数，则ba是偶数”的否命题是“若a和b不都是偶数，则ba是奇数”否定是“若a和b都是偶数，则ba 是奇数”若2x，则2x；真命题 互 否 为 逆 为 逆 互 否 互 否 互 否 互 逆 原命题 若 p 则 q 互 逆 逆命题 若 q 则 p 逆否命题 若q则p 逆否命题 若q则p 高中数学考前回归知识必备全案(上)2 *2.复数与统计与统计案例 概率 复数 复数的概念和运算 概念 虚数单位 规定：21i ；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、乘运算律仍成立。44142431,1,

5、()kkkkiii iii k Z。复数 形如(,)abi a bR的数叫做复数，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。0b 时叫虚数、0,0ab时叫纯虚数。复数相等(,),abicdi a b c dac bdR 共轭复数 实部相等，虚部互为相反数。即zabi，则zabi。运算 加减法()()()()abicdiacbd i，(,)a b c d R。乘法()()()()abi cdiacbdbcad i，(,)a b c d R 除法 2222,()()(0,)a b c dacbdbcdaabicdii cdicdcdR 几 何意义 复数zabi 一一对应复平面内的点(,)Z a b 一一

6、对应向量OZ 向量OZ的模叫做复数的模，22zab 主 要 性 质 复数运算 *1.运算律：mnm nzzz；()m nmnzz；1212()(,)mmmzzzzm nN.【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围.*2.模的性质：1 212|z zzz；1122|zzzz；nnzz.*3.重要结论：2212zzzz；212ii；11iii，11iii；i性质：T=4；1 ,1,4342414nnnniiiiii.【拓展】：3211101或13i22.统计 与统计案例 统计 随机抽样 简单抽样 从总体中逐个抽取且不放回抽取样本的方法。等概率抽样。分层抽样 将总体分层，按照比例从各层中

7、独立抽取样本的方法。系统抽样 将总体均匀分段，每段抽取一个样本的方法。样本估计总体 众数 样本数据中出现次数最多的数据。标准差211()niisx xn 中位数 从小到大排序后，中间的数或者中间两数的平均数。平均数 12,nx xx的平均数是121()nxxxxn。方差 12,nx xx的平均数为x，2211()niisxxn。概率 定义 如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，我们可以将发生的频率mn作为事件A发生的概率的近似值，即 mP An。事件关系 互斥事件 事件A和事件B在任何一次实验中不会同时发生 类比集合关系。对立事件 事件A和事件B，在任何一次实验中有且只有

8、一个发生。性质 基本性质 0()1P A，()0P ，()1P 。互斥事件 事件,A B互斥，则()()()P ABP AP B。古典概型 特征 基本事件发生等可能性和基本事件的个数有限性 计算公式()mP An，n基本事件的个数、m事件A所包含的基本事件个数。几何特征 基本事件个数的无限性每个基本事件发生的等可能性。高中数学考前回归知识必备全案(上)3 概型 计算公式 ()AP A 构成事件 的测度试验全部结果所构成的测度 3.平面向量 平面向量 重要概念 向量 既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。0向量 长度为0，方向任意的向量。【0与任一非零向量共线】平行向量

9、方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。向量的模 222222|,|axyaaxy 两点间的距离 若1122,A x yB xy，则222121|ABxxyy 向量夹角 起点放在一点的两向量所成的角，范围是0,。,a b的夹角记为,a b。,a b锐角0a b,a b不同向；,a b为直角0a b；,a b钝角0a b,a b不反向.向量的夹角带有方向性：向量是有方向的，向量间的夹角表示两个向量正方向的夹角 投影,a b，cosb叫做b在a方向上的投影。【注意：投影是数量】重要法则定理 基本定理 12,e e不共线，存在唯一的实数对(,)，使12aee。若12,e e为,x

10、y轴上的单位正交向量，(,)就是向量a的坐标。一般表示 坐标表示 共线条件/ab（0b 共线存在唯一实数，ab 1 21 2x yy x0 垂直条件 0aba b。11220 x yx y。各种运算 加法 运算 法则 设,ABa BCb，那么向量AC叫做a与b的和，即a bAB BC AC；向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：ABBCCDPQQRAR，但这时必须“首尾相连”。1212(,)abxxyy。算律 交换律abba，结合律()()abcabc 减法 运算 法则 用“三角形法则”：设,ABa ACbab那么 ABACCA，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量

11、的起点相同。1212(,)abxxyy 数乘 运算 概念 a为向量，0与a方向相同，0与a方向相反，aa。(,)axy 算律 分配律aa)()(，aaa)(，分配律baba)(与数乘运算有同样的坐标表示。数量积运算 概念 cos,a baba b 1212a bx xy y。主要性质 2a aa，|ab|a|b|222222|,|axyaaxy 算律 a bb a，分配律()ab ca cb c，()()()a baba b。算律 向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边

12、不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）()()a b ca b c 向量的 表示方法 几何表示法 用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；符号表示法 用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；坐标表示法 在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为,axiy jx y，称,x y为向量a的坐标，a,x y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。高中数学考前回归知识必备全案(上)4 三角形的五个“心”重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心

13、：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.*4.不等式、线性规划 同向不等式 abbcac，00abcacbcabcacbc，；，；abcdacbd，00abcdacbd，两个实数的顺序关系：0abab 0abab 取倒数法则0ab，11abab *01nnnnabnnabab N，；基本不等式 最值定理,0,2x yxyxy由，若积()xyP定值，则当xy时和xy有最小值2 p；,0,2x yxyxy由，若和()xyS定值，则当xy是积xy有最大值214s.【推广】：已知Ryx,，则有xyyxyx2)()(

14、22.（1）若积xy是定值，则当|yx 最大时，|yx 最大；当|yx 最小时，|yx 最小.（2）若和|yx 是定值，则当|yx 最大时，|xy最小；当|yx 最小时，|xy最大 均 值不 等式 平方平均算术平均几何平均调和平均 222()22ababab(,a bR当且仅当ab取“”)2222“”1122ababababababab（当且仅当时取）1212nnnaaaa aan（正数 a1=a2=an时取等）算术平均几何平均 重 要不 等式（a、b、c为 正数）222|(,ababa bR当且仅当ab时取到“”)3322aba bab，3332223()()abcabcabc abcaba

15、cbc 3333abcabc（0abc 等式即可成立，时取等或0cbacba）；33a b cabc 3()3abcabc3333abc 柯 西不 等式 设),2,1(,niRbaii则222222211221212()()()nnnna ba ba baaabbb 等号成立当且仅当nnbababa2211时成立（约定0ia时，0ib）糖 水的 浓度 00abam，则bmbbmamaam.【说明】：bbmaam（0,0abm）.“1”的 代换 已知,Ra x b y，若1axby，则有：21111()()2()byaxaxbyababababxyxyxy,Ra x b y，若1abxy则有：2

16、()2()aybxxyxyabababxy 线性规划 平面 区域 当0A时，若0AxByC表示直线l的右边，0AxByC表示直线l的左边.当0B时，若0AxByC表示直线l的上方，0AxByC表示直线l的下方.设曲线111222:()()0CA xB yCA xB yC（12120A A B B），则111222()()0AxB yCA xB yC或0所表示的平面区域：两直线1110AxB yC和2220A xB yC所成对顶角区域（上下或左右两部分）.点000(,)P xy与(),fx y位置关系：若(,)f x y为封闭曲线（圆、椭圆、|xaybm等），则00(),0fxy，称点在曲线外部

17、；若(,)f x y为开放曲线（抛物线、双曲线等），则00(),0fxy，称点亦在曲线“外部”最值 已知直线:0lAxByC，目标函数zAxBy.当0B 时，将直线l向上平移，则z的值越来越大；直线l向下平移，则z的值越来越小；当0B 时，将直线l向上平移，则z的值越来越小；直线l向下平移，则z的值越来越大；几何意义 zaxby 若0b，直线在 y 轴上的截距越大，z 越大，若0b，直线在 y 轴上的截距越大，z 越小.ymxn（sincosxmxn）表示过两点(,),(,)x yn m的直线的斜率，特别yx表示过原点和,n m的直线的斜率 高中数学考前回归知识必备全案(上)5 明 22txm

18、yn 22txmyn表示区域内的点到（m,n）的距离的平方 *5.函数基本初等函数 I 的概念、图像与性质 函数概念及其表示 函数的概念 函数用 f(x)来表示：即 x 按照对应法则 f 对应的函数值为 f(x)函数有解析式和图像两种具体的表示形式。定义域 A：x 取值范围组成集合。值域 B：y 取值范围组成集合。对应法则 f：y 与 x 对应关系。如：函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.定义域题型 (1)具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式:使函数解析式有意义(如:分母0;偶次根式被开方数非负;零指数幂底数0；实际问题有意义；

19、对数真数0,底数0且1；如lg1x的解集：010 x；lnyx单调增区间(0,)；如：不等式lg|1x 的解集|110 xxx 且(2)复合函数定义域求法：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。若()f x的定义域为,a b,其复合函数()f g x的定义域可由不等式()ag xb解出；若()f g x的定义域为,a b,求()f t的定义域，相当于,xa b时,求()tg x的值域；如若函数2(1)f x 的定义域为 2,1)，则()f x定义域为_（答：1,5）区间 数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用

20、中括号表示，是大于等于或小于等于的意思；（1）区间是集合的另类表示方式，区间就是集合，具有集合的一般性质。（2）它是无限集，连续的实数。|12xx或4x 表示成（1，2）4，不能写成(1,2)4x 且。性质 奇 偶 性 定义 如果()()fxf x,则()f x为偶函数；如果()()fxf x,则()f x 为奇函数。这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。确定奇偶性方法有定义法、图像法等；（1）若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断，如判断函数22lg(1)()|2|2xf xx奇偶性 偶函数；（2）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反单

21、调性；（3）若()f x是偶函数,那么()()(|)f xfxfx；定义域含零的奇函数必过原点(0)0f)；判断 定义法判断：定义域是关于原点对称的；（2）计算()()0f xfx或()1()0)()fxf xf x；若函数2()12xxkf xk（a 为常数）在定义域上为奇函数，则 k=1 利用(1).利用公式：f(-x)=-f(x)，f(-x)=f(x)，计算或求解析式；(2).利用复合函数奇偶性结论：F(x)=f(x)g(x)，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇；F(x)=f(x)+g(x)，当 f(x)为奇，g(x)为偶时，代入-x 得：F(-x)=-f(x)+g(x),两式相加可以消去 f

22、(x),两式相减可以消去 g(x),从而解决问题；（4）奇偶函数图像的对称性 周 期 性 对定义域内任意x，存在非零常数T，()()f xTf x，T为()f x周期 若()yf x对xR时()()f xaf xa恒成立,则 ()f x的 周 期 为2|a；若()yf x是偶函数,其图像又关于直线xa对称,则()f x的周期为2|a；()()f x af x，1()()fxafx 或()()f xa f xk或()()f xaf xkT为2|a；单调性 定义 定义域内一区间I，1212,x xI xx增1212()()xxf xf x；减1212()()xxf xf x 求单调区间 定义法、导

23、数法、图像法和特值法(用于小题)等（提醒：求单调区间时注意定义域）导数法：i 求定义域：ii 求()fx；iii()0fx的解构成增区间；注意：区间表示。如：函数122log(2)yxx的单调递增区间是 .(1,2)；函数1yxx 单调增区间是 .(,0)和(0,)证明 定义法、导数法。判断单调性：小题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。（1）定义法：i 取值12xxii 作差变形判断12()()f xf x符号；（2）导数法：i 求()fx；ii 判断()fx符号；利用(1).求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，断。(2).比较函数值的大小：画图看(3)解不等式：增1

24、212()()xxf xf x或1212()()f xf xxx；减1212()()xxf xf x或1212()()f xf xxx(4).求系数：利用常规函数单调性结论，根据单调性求系数。3log15a，则a范围是3105aa或；高中数学考前回归知识必备全案(上)6 已知 log(0,1)af xx aa为 R 上增，则(1)0fx 的实数x的取值范围。(0,1)(1,2)复合函数 由“同增异减”判定：分解为基本函数：内函数()ug x与外函数()yf u；分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内单调性.已知复合函数单调性，求字母范围：i

25、分解出内外层函数；ii 研究内外层函数的单调性的关系；iii 兼顾函数的定义域；如：若 y=loga(2-ax)在0，1上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是 (1，2)*6.函数基本初等函数 I 的图像与性质 求函数解析式的常用方法 待定系数法基本步骤 确 定 所 求 问 题 含 有 待 定 系 数 的 解 析 式；二 次 函 数 解 析 式 的 三 种 形 式：一 般 式：2()(0)f xaxbxc a；顶点式：2()()(0)f xa xhk a；零点式：12()()()(0)f xa xxxxa.根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决

26、。如一元二次不等式()1f xx解集是(-1,)2,可设 ()-+1=a(x+1)(x-2)f x x 配凑法 若2211()f xxxx，则函数(1)f x=_（答：223xx）坐标转移 函数()yf x关于函数ln1yx图形关于直线yx对称，则()f x 22xe 函数()yf x与 的图像关于原点成中心对称；()yfx 方程的思想 对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x及另外一个函数的方程组；函数()f x是一个偶函数，()g x是一个奇函数，且1()()1f xg xx，则()f x等于 211x；若函数(),()f x g x分别是R上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg

27、xe，则有()f x=2xxee 图象几种常见变换 对称 变换 函数()yf x与()yfx 的图像关于原点成中心对称 函数()y f x与()yfx图像关于直线0 x(y轴)对称；函数()yf x对xR，()()f axf ax或()(2)f xfax恒成立,图像关于xa对称；若()yf x对xR时,()()f axf bx恒成立,则()yf x图像关于2abx对称；函数()yf ax,()yf bx的图像关于直线2bax对称(由axbx确定)；函数 yf ax(0)a 的图象是把函数 yf x的图象沿x轴伸缩为原来的1a得到的。如若函数(21)yfx是偶函数，则函数(2)yfx的对称轴方程

28、是_(答：12x )平移变换 左右平移-“左加右减”（针对x而言）；上下平移-“上加下减”(针对y而言)翻折变换()|()|f xf x；()(|)f xfx.注意翻折时机和翻折的本质：如|3|2xy由|2xy 向右平移 3单位 求函数值域（最值）的方法 配方法 二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间,m n上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如求函数225,1,2yxxx 的值域（答：4,8）；换元法 通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其

29、函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如211yxx 的值域为_（答：(3,)）（令1xt，0t。运用换元法时，要特别要注意新元t的范围）；有界性 利用已学过函数的有界性，确定值域，最常用的就是三角函数的有界性，如2sin11siny1(,2 单调性 利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求229sin1sinyxx；11,92；高中数学考前回归知识必备全案(上)7 数形结合 函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如已知点(,)P x y在圆221xy上，求2yx 的取值范围（答：33,33）；求22(2)(8)yxx的值域（答：10

30、,)）；判别式 求21xyx的值域（答：1 1,2 2）；不等式 利用基本不等式2(,)abab a bR求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。导数法 一般适用于高次多项式函数，如求函数32()2440f xxxx，3,3x 的最小值。（答：48）提醒：求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合包括区间形式了吗？*7.函数与方程函数模型及其应用 基本初等函数 指数函数(0,1)xyaaa且 定义域 R 值域(0,)01a(,)单调递减，0 x 时1y，0 x 时01y 1a (,)单 调 递 增，0 x 时01y

31、，0 x 时1y 对数函数：函数log(0,ayx a 1)a 且；2(33)xyaaa是指数函数，则有（2.a）函数的定义域为(0,)函数的值域为 R；函数11()2xy的值域是_（0，）；01a 在(0,)单调递减，01x时0y，1x 时0y 1a 在(0,)单调递增，01x时0y，1x 时0y 幂函数 一 般 地，形 如 yx()aR 的函数称为幂函数，其中为常数 0 幂函数的图象通过原点，并且在区间),0 上是增函数 1 幂函数的图象下凸 10 幂函数的图象上凸 0 幂函数的图象在区间),0(上是减函数 在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时

32、，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴 指数函数对数函数 对数与对数性质：loglognnaabb(0,1,0,0)aabn；对数恒等式log(0,1,0)aNaN aaN log()loglog;logloglog;loglognaaaaaaaaMM NMNMNMnMN；1loglognaaMnM；对数换底公式logloglogabbNNa(0,1,0,1)aabb 函数零点 概念 函数()yf x的零点就是方程()0f x 实数根，亦即函数()yf x的图象与x轴交点的横坐标即：方程()0f x 有实数根函数()yf x的图象与x轴有交点函数()yf x有零点；如：函数()|lg|f xxx

33、 在定义域上零点个数为 1 存在定理 图象在,a b上连续不断，若()()0f a f b，则()yf x在(,)a b内存在零点。二 方法 对于在区间a，b上连续不断，且满足()f a()f b0的函数()yf x，通过不断地把函数()f x的高中数学考前回归知识必备全案(上)8 分 法 零点所在区间一分为二，使区间两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 步骤 第一步 确定区间,a b，验证()()0f af b，给定精确度。第二步 求区间,a b的中点c；第三步 计算 f c：（1）若 0f c，则c就是函数的零点；（2）若 0f af c，则令bc（此时零点0,xa c

34、）；（3）若 0f cf b，则令ac（此时零点0,xc b）（4）判断是否达到精确度:即若ab，则得到零点近似值a（或b）；否则重复（2）（4）函数2()ln(1)f xxx的零点所在的大致区间是（0，1）或(1,2)（画图2ln(1)xx；注意：()0fx只能说明函数在(1,0),(0,)分别增，不是在定义域内增，不能误认为零点只有一个（错）*8.导数及其应用 导数及其应用 概念与几何意义 概念()f x在点0 x处的导数0000()lim()()xfxf xxf xx 如当0,x sin()sin33xx .几何 意义（1）“在”点11(,)x y处的切线：斜率=1()kfx切线111(

35、)()yyfxxx 曲线()y f x在点 0,0Px f x处的切线的斜率是 0fx，相应地切线的方程是 000yyfxxx。（2）“过”点11(,)x y在曲线上00()yf x切线：设切点00(,)xy；求切线方程；iii 列方程组：切点00(,)xy在曲线上00()yf x；切点在切线101()()yyfxxx上；iv 解方程组，得0 x，求切线。如3()3f xxx，过(2,6)P作()yf x的切线，求此切线的方程（答：30 xy或2454 0 x y）。如经过原点且与曲线 y=95xx相切的方程是 两个切点 A(3，3)或 B(15,35)x+y=0 或25x+y=0；在求曲线的

36、切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；物理意义 瞬时速度；Vs/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。如一物体的运动方程是21stt ，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3t 时的瞬时速度为_（5 米/秒）运算 基本 公式 C0；1()nnxnx；(sin)cosxx；(cos)sinxx；()lnxxaaa；()xxee；1(log)lnaxxa；1(ln)xx。211()xx；1(ln)xx 运算 法则 2();();();uuvuvuvuvuvuvu

37、vvv复合函数求导法则()()()yf g xf g x g x 如等比数列 na中，12a，8a=4，函数 128()()()f xx xaxaxa，则 0f 122 解：1281281()()()()()()f xx a x ax axx a x ax a 故412123818(0)()2fa a aaa a 研究 函数 性质 函数的单调性 若()0fx,则()f x为增函数；若()0fx,则()f x为减函数；若()fx的符号不确定,则()f x不是单调函数。若函数()yf x在区间（,a b）上单调递增，则()0fx，反之等号不成立；若函数()yf x在区间（,a b）上单调递减，则(

38、)0fx，反之等号不成立 如：已知()f x为减函数求字母取值范围,那么不等式()0fx恒成立。如：设0a 函数3()f xxax在1,)上单调函数，则实数a的取值范围_（答：03a）；已知函数22()ln(0),f xxax xx若()f x在1,)上单调递增，求a的取值范围：0a；如：若函数 y=43x3+bx 有三个单调区间，则 b 的取值范围是_解析：y=4x2+b，若 y值有正、有负，则 b0；如：1()f xxx的单调减区间：减区间(1,0),(0,1)，你会画图吗？高中数学考前回归知识必备全案(上)9 求函数的单调区间的具体步骤是：确定()f x的定义域；计算导数/()fx；求出

39、/()0fx 的根；用/()0fx 的根将()f x的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内/()fx的符号,进而确定()f x的单调区间；思考 1.导数有哪些应用？（求斜率，判断单调性与求单调区间，求极值与最值，证明不等式），导数的几何意义是什么？物理意义呢？知道是牛顿和莱布尼兹发明了微积分吗？2求导数的规则、公式你都记得吗？一共有多少个公式？有两个容易记错！导函数相同的两个原函数一定也相同吗？请举例说明。3导数的定义还记得吗？它的几何意义和物理意义分别是什么？利用导数可解决哪些问题？具体步骤还记得吗？求切线，求极值，求单调区间，求最值，4 导数求曲线的切线步骤是什么？你能区别“在”一

40、点处的切线和“过”一点的切线吗？*9.导数及其应用 导数及其应用 研究 函数 性质 极值 函数的极值定义：设函数()f x在点0 x附近有定义，如果对0 x附近所有的点，都有0()()f xf x，就说是0()f x函数()f x的一个极大值。记作y极大值0()f x，如果对0 x附近所有的点，都有0()()f xf x，就说是0()f x函数()f x的一个极小值。记作y极小值0()f x。极大值和极小值统称为极值。极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不

41、能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 如：设 f（x）=x33ax2+2bx 在 x=1 处有极小值1，试求 a、b 的值，并求出 f（x）的单调区间；解 3620,2320.ababa=13b=12此时 f（x）=x3x2x，f（x）=3x22x1=3（x+13）（x1）当f（x）0 时，x1 或 x13，当f（x）0 时，13 x1单调增区间（，13）和（1，+），减区间（13，1）；求函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f(x)；(2)求方程f(x)=0 的根；(3)列表（分区讨论单调性和极值点）：用函数的导数为 0 的点

42、，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值；提醒：给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑0()0fx，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！3221f xxaxbxax在处有极小值 10，则 a+b 的值为_7；3,3ab（舍）或4,11ab；最值,a b上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点值和区间内的极大值中的最大者，最小值和区间

43、端点和区间内的极小值中的最小者。在闭区间,a b上连续的函数()f x在,a b上必有最大值与最小值的步骤：讨论单调区间；ii。判断极值；极值与闭 区间端点的 函数值比 较,最大的为最 大值,最小的 是最小值。如：函 数3223125yxxx在0，3上的最大值、最小值分别是_（答：5；-15）零点 函数)()()(xgxfxF有零点或者方程)()(xgxf有解：（代数法）根据极值正负，画图观察函数)()()(xgxfxF图像与 X 轴交点情况；（几何法）作图要准确。方程)()(xgxf，两个函数图像有交点。零点定理：设函数）（xf在闭区间,ba上连续，且()()0f af b 那么在开区间),

44、(ba内至少有函数)(xf的一个零点，即至少有一点（ab）使0)(f 如：（1）若方程2210axx在（0，1）内恰有一解，求实数a的取值范围。1a；高中数学考前回归知识必备全案(上)10 反思 1求极值，求单调区间，求最值？利用导数求函数单调区间时，一般由/()0fx 解得的区间是单调增区间；利用导数求函数最值的步骤你还清楚吗？最好是列表！“函数在某点取得极值”你会灵活应用吗？不仅表示在该点的导函数值为零，而且导函数在该点两侧函数值的符号相异的。2 极值就是最值吗？极大值一定大于极小值吗？你记得极值的定义原文吗吗？使 f/（x）=0 的 x 的值就是极值点吗？求最值的根本方法是什么（单调性法

45、）？其它方法呢？（均值不等式法），求最值的口诀你记得吗？（不在极点处，便在端点处）；对 f（x）=x3+bx2+cx+d，f/（x）大致图象是怎样？。*10.三角函数的图像与性质 三角函数的图象与性质 三角形中的三角变换 基本问题 角概念的推广 1.终边与终边相同2()kkZ；习惯上 x 轴正半轴作为角起始边，叫角的始边;2.象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。弧度制的定义 lR；弧长公式|lr；扇形面积公式：21122|Slrr扇形；1弧度(1rad

46、)57.3.任意角的三角函数定义 角中边上任意一点P为(,)x y，设|OPr则：sin,cos,yxrr tanyx 注意：tan15cot 7523；tan75cot1523 同角三角 函数关系 22sinsincos1,tancos 诱导公式 360,180，90,270，“奇变偶不变，符号看象限”性质与图象 周期 奇偶性 对称中心 对称轴 sin()yAx 2|T 奇函数(,0)()kZk()2)xkZk cosyx 2|T 偶函数(,0)()2kZk()xkZk 图象变换 平移变换 上下平移()yf x图象平移k得()yf xk图象，0k 向上，0k 向下。左右平移()yf x图象平

47、移得()yf x图象，0向左，0向右。伸缩变换 x轴方向()yf x图象各点把横坐标变为原来倍得1()yfx的图象。y轴方向()yf x图象各点纵坐标变为原来的A倍得()yAf x的图象。对称变换 中心对称()yf x图象关于点(,)a b对称图象的解析式是2(2)ybfax 轴对称()yf x图象关于直线xa对称图象的解析式是(2)yfax。高中数学考前回归知识必备全案(上)11 正切函数的图象和性质（1）定义域：|,2x xkkZ。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？（2）值域是 R，在上面定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线ya的两个相

48、邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是(,0)2kkZ，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。（5）单调性：正切函数在开区间(,)22kkkZ内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。(1)若(0,)2x，则sintanxxx；(2)若(0,)2x，则1sincos2xx；(3)|s

49、in|cos|1xx；(4)xxxfsin)(在),0(上是减函数；（5）若sin,cos1,xx sin,cos1xx *11.三角恒等变换 三角恒等变换 变换公式 正弦 和差角公式 倍角公式 22tansin 21tan221tancos 21tan21cos 2sin221cos 2cos2 sin()sincoscossin sin 22sincos 余弦 cos()coscossinsin 2222cos 2cossin2 cos112sin 正切 tantantan()1tantan 22 tantan21tan 三角变换 三角变换 指角(“配”与“凑”)、函数名(切割化弦)、次数

50、(降与升)、系数(常值“1”)和 运算结构(和与积)的变换，其核心是“角的变换”.化简技巧 角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化，引入辅角，平方消元等 角的变换 已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.角的“配”与“凑”掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形技巧，如下：2，22；22，222；()()2222；22()2()()()()()；2()，2()；154530,754530 ；424等.“降幂”与“升幂”利用二倍角公式2222cos 2cossin2cos12sin1 和二倍角公式的高中