2019年全国卷Ⅰ理数高考试题【精编含答案】.docx

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1、第 1 页 共 13 页绝密绝密启用前启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然

2、后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则=24260MxxNx xx ，MNABCD43xx 42xx 22xx 23xx2设复数 z 满足，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则=1iz ABCD22+11()xy221(1)xy22(1)1yx 22( +1)1yx 3已知，则0.20.3 2log 0.220.2abc，ABCDabcacbcabbca第 2 页 共 13 页4古

3、希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头51 251 2顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为51 2105 cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是A165 cmB175 cmC185 cmD190 cm5函数 f(x)=2sin cos xx xx在的图像大致为, ABCD6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ” ，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则

4、该重卦恰有 3 个阳爻的概率是第 3 页 共 13 页AB C D 5 1611 3221 3211 167已知非零向量 a，b 满足，且b，则 a 与 b 的夹角为| 2|ab()abA BC D 6 32 35 68如图是求的程序框图，图中空白框中应填入1 12122 AA=BA=CA=DA=1 2A12A1 12A112A9记nS为等差数列的前 n 项和已知，则na4505Sa，ABCD25nan 310nan228nSnn2122nSnn10已知椭圆 C 的焦点为，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点若，121,01,0FF()，()22| 2|AFF B，则 C 的方程为1| |

5、ABBFABCD2 212xy22 132xy22 143xy22 154xy11关于函数有下述四个结论：( )sin |sin |f xxx第 4 页 共 13 页f(x)是偶函数f(x)在区间（,）单调递增2f(x)在有 4 个零点f(x)的最大值为 2, 其中所有正确结论的编号是A BCD12已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F分别是 PA，PB 的中点，CEF=90，则球 O 的体积为AB CD6864626二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线在点处的切线方程为_23()exyx

6、x(0 )0，14记 Sn为等比数列an的前 n 项和若，则 S5=_2 1461 3aaa，15甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束） 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 41 获胜的概率是_16已知双曲线 C：的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C 的两条渐近22221(0,0)xyabab线分别交于 A，B 两点若，则 C 的离心率为_1F AAB 120FB F B 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明

7、过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17(12 分)的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设ABC22(sinsin)sinsinsinBCABC第 5 页 共 13 页（1）求 A；（2）若，求 sinC22abc18 （12 分）如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是BC，BB1，A1D 的中点（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值19 （12 分）已知抛物线 C：y2=3x

8、的焦点为 F，斜率为3 2的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P（1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程；（2）若3APPB ，求|AB|20 （12 分）已知函数，为的导数证明：( )sinln(1)f xxx( )fx( )f x（1）在区间存在唯一极大值点；( )fx( 1,)2（2）有且仅有 2 个零点( )f x第 6 页 共 13 页21 （12 分）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排

9、下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治1愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 01分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ，一轮试验中甲药的得分记为 X（1）求的分布列；X（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，表示“甲药的累计得分为 时，最终认(0,1,8)ip i i为甲药比乙药更有效”的概率，则，其中00p 81p 11iiiipapbpcp(1,2,

10、7)i ，假设，(1)aP X (0)bP X(1)cP X0.50.8(i)证明：为等比数列；1iipp(0,1,2,7)i (ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性4p4p（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为2221 1 4 1txt tyt ， （t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为2 cos3 sin110（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到

11、l 距离的最小值23选修 45：不等式选讲（10 分）第 7 页 共 13 页已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明：（1）；222111abcabc（2）333()()()24abbcca2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题1C 2C 3B 4B 5D 6A 7B 8A 9A 10B 11C 12D 二、填空题13y=3x14150.18162121 3三、解答题17解：（1）由已知得，故由正弦定理得222sinsinsinsinsinBCABC222bcabc由余弦定理得2221cos22bcaAbc因为，所以0180A60A（2）由（1）知，由题设

12、及正弦定理得，120BC2sinsin 1202sinACC即，可得631cossin2sin222CCC2cos602C 由于，所以，故0120C2sin602C第 8 页 共 13 页sinsin6060CCsin60cos60cos60sin60CC62 418解：（1）连结B1C，ME因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且ME=B1C1 2又因为N为A1D的中点，所以ND=A1D1 2由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，AAA因此四边形MNDE为平行四边形，MNED又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE（2）由已知可得DEDA以D为坐标原点，的方向为x

13、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则DA ，A1(2,0,4)，(2,0,0)A(1, 3,2)M(1,0,2)N1(0,0, 4)A A 1( 1, 3, 2)AM 第 9 页 共 13 页，1( 1,0, 2)A N (0,3,0)MN 设为平面A1MA的法向量，则，( , , )x y zm1100AMA Amm所以可取32040xyzz ，( 3,1,0)m设为平面A1MN的法向量，则( , , )p q rn100MNAN ，nn所以可取30 20q pr， (2,0, 1)n于是，2 315cos,|525 m nm nm n所以二面角的正弦值为1AMAN10 51

14、9解：设直线11223:,2l yxt A x yB xy（1）由题设得，故，由题设可得3,04F123|2AFBFxx125 2xx由，可得，则23 2 3yxtyx 22912(1)40xtxt1212(1) 9txx 从而，得12(1)5 92t 7 8t 所以 的方程为l37 28yx第 10 页 共 13 页（2）由可得3APPB 123yy 由，可得23 2 3yxtyx 2220yyt所以从而，故122yy2232yy211,3yy 代入的方程得C1213,3xx故4 13|3AB 20解：（1）设，则，.( )( )g xf x1( )cos1g xxx21sin()(1xxg

15、 x 当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，1,2x ( )g x(0)0,( )02gg( )g x1,2设为.则当时，；当时，.( 1,)x ( )0g x ,2x( )0g x 所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，( )g x( 1,),2( )g x1,2即在存在唯一极大值点.( )f x1,2（2）的定义域为.( )f x( 1,) （i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当( 1,0x ( )f x( 1,0)(0)0f 时，故在单调递减，又，从而是在( 1,0)x ( )0f x ( )f x( 1,0)(0)=0f0x ( )f x第 11 页 共 13 页的

16、唯一零点.( 1,0（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而0,2x( )f x(0,),2，所以存在，使得，且当时，(0)=0f 02f ,2( )0f (0,)x；当时，.故在单调递增，在单调递减.( )0f x ,2x( )0f x ( )f x(0,),2 又，所以当时，.从而， 在(0)=0f1 ln 1022f 0,2x( )0f x ( )f x没有零点.0,2（iii）当时，所以在单调递减.而，,2x( )0f x ( )f x,202f( )0f 所以在有唯一零点.( )f x,2（iv）当时，所以0，从而在没有零点.( ,)x ln(1)1x( )f x( )f

17、 x( ,) 综上，有且仅有2个零点.( )f x21解：X 的所有可能取值为.1,0,1(1)(1) (0)(1)(1) (1)(1)P X P X P X ， ， ，所以的分布列为X第 12 页 共 13 页（2） （i）由（1）得.0.4,0.5,0.1abc因此，故，即11=0.4+0.5 +0.1iiiipppp110.10.4iiiipppp.114iiiipppp又因为，所以为公比为 4，首项为的等比数列1010ppp1(0,1,2,7)iippi1p（ii）由（i）可得. 8887761008776101341ppppppppppppppp由于，故，所以8=1p183 41p

18、44433221101411.3257pppppppppp表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治4p愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非410.0039257p 常小，说明这种试验方案合理.22解：（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为221111t t 2222 2 222141211yttxtt.2 21(1)4yxx 的直角坐标方程为.l23110xy第 13 页 共 13 页（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）.cos ,2sinxy C上的点到 的距离为.l4cos11|2cos2 3sin11|3 77当时，取得最小值7，故C上的点到 距离的最小值为.2 3 4cos113l723解：（1）因为，又，故有2222222,2,2abab bcbc caac1abc .222111abbccaabcabbccaabcabc所以.222111abcabc（2）因为为正数且，故有, , a b c1abc 3333333()()()3 () () ()abbccaabbcac=3( + )( + )( + )a b b c a c3 (2) (2) (2)abbcac =24.所以.333()()()24abbcca