第四章--扭转.ppt

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1、受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的 力偶，力偶作用面垂直于轴线。力偶，力偶作用面垂直于轴线。变形特征：横截面绕轴线转动。变形特征：横截面绕轴线转动。工程中常把以扭转为主要变形的构件称为轴。圆轴在工程中常把以扭转为主要变形的构件称为轴。圆轴在机械中最常见，故本章主要研究圆轴的扭转问题。机械中最常见，故本章主要研究圆轴的扭转问题。二、外力偶矩的计算二、外力偶矩的计算 设某轮所传递的功率是设某轮所传递的功率是N kW，轴的转速，轴的转速是是 n rpm4-2 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图一、一、扭矩扭矩1、定义：受扭圆轴横截面上所受的内力偶矩。定义：受扭圆轴横截

2、面上所受的内力偶矩。其表示外力矩对横截面作用的效果其表示外力矩对横截面作用的效果2、扭矩的计算方法：、扭矩的计算方法：截面法截面法扭矩一般用扭矩一般用T表示表示nn3、扭矩、扭矩T的符号规定：的符号规定：按右手螺旋法则，按右手螺旋法则，矩矢与截面外法线一致为正，反之为负。矩矢与截面外法线一致为正，反之为负。二、扭矩图二、扭矩图1、定义、定义：扭矩随截面位置变化的图形。扭矩随截面位置变化的图形。其表示扭矩的变化状态其表示扭矩的变化状态2、扭矩图的绘法同轴力图、扭矩图的绘法同轴力图例：例：图示传动轴，主动轮图示传动轴，主动轮A输入功率输入功率NA=50 马力，马力，从动轮从动轮B、C、D输出功率分

3、别为输出功率分别为 NB=NC=15马力马力，ND=20马力，轴的转速为马力，轴的转速为n=300转转/分。作轴的分。作轴的扭矩图。扭矩图。解：解：1、求外力矩，分段列写扭矩方程、求外力矩，分段列写扭矩方程3、扭矩图的作用：、扭矩图的作用：表示各截面表示各截面上的扭矩大小，上的扭矩大小，确定危险截面的确定危险截面的位置位置(Tmax的位置的位置)，确定确定Tmax的值。的值。4-3 纯剪切纯剪切一、薄壁圆筒的扭转应力分析一、薄壁圆筒的扭转应力分析 等厚度的薄壁圆筒等厚度的薄壁圆筒,平均半径为平均半径为 r,壁厚为壁厚为 t 壁厚壁厚t远小于半径远小于半径r。受扭前在其表面上用圆周线受扭前在其表

4、面上用圆周线nn，mm和纵向线和纵向线画成方格画成方格,然后加载，观察方格变形情况。然后加载，观察方格变形情况。nnmm(1)纵向线倾斜了同一微小角度纵向线倾斜了同一微小角度(2)圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变（圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变（nn，mm仍平行）。仍平行）。(3)方格变为斜棱形。方格变为斜棱形。设想设想:mm相对相对nn转动转动,方格两边发生方格两边发生 相对错动，但两对边相对错动，但两对边 之间距离之间距离 不变，圆筒半径尺寸不变。不变，圆筒半径尺寸不变。根据以上实验现象根据以上实验现象,可得结论：可得结论：圆筒横截面上只有剪应力，而无正应力。由于

5、壁很簿，圆筒横截面上只有剪应力，而无正应力。由于壁很簿，可认为剪应力可认为剪应力 沿簿壁均匀分布，方向垂直于半径与周线相切。沿簿壁均匀分布，方向垂直于半径与周线相切。观察到如下现象：观察到如下现象：mmnn剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径与周线相切与周线相切根据精确的理论分析根据精确的理论分析,当当tr/10时时,上式的误差上式的误差不超过不超过4.52%,是足够精确的。是足够精确的。二、剪应力互等定理二、剪应力互等定理1、应力单元体：围绕一点截取一个微小的面积或体积，应力单元体：围绕一点截取一个微小的面积或体积，用以表示该点的应力关系。用以表示该点

6、的应力关系。应力单元体的截取方法：应力单元体的截取方法：如图为立方体单元体，常见如图为立方体单元体，常见的还有柱形和球形单元体。的还有柱形和球形单元体。应力单元体上的应力：每个截面上最多应力单元体上的应力：每个截面上最多有三个应力分量，一个正应力和二个剪应力。有三个应力分量，一个正应力和二个剪应力。dydxdz2、纯剪切：应力单元体上只有剪应力而无正应力、纯剪切：应力单元体上只有剪应力而无正应力应力单元体为：应力单元体为：3、剪应力互等定理、剪应力互等定理:在相互垂直的两个平面在相互垂直的两个平面上上,剪应力一定成对出现，其数值相等，方剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同时指向或背离两平面的

7、交线。向同时指向或背离两平面的交线。说明：两个截面过同一点且相互垂直才有该定理，否则剪应力没有相等关系三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律在纯剪状态下，单元体相对两侧面将发生微小的相对错动，原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量。两正交线段的直角两正交线段的直角改变量改变量剪应变剪应变 薄壁圆筒的实验薄壁圆筒的实验,证实了剪应力与剪应变之间证实了剪应力与剪应变之间存在着象拉压胡克定律类似的关系存在着象拉压胡克定律类似的关系,即当剪应即当剪应力不超过材料的剪切比例极限力不超过材料的剪切比例极限p时时,剪应力与剪剪应力与剪应变成正比应变成正比G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为称为材料的剪切弹性

8、模量。上式关系称为剪切剪切胡克定律。胡克定律。即：当即：当p时时 剪切弹性模量剪切弹性模量G材料常数：拉压弹性模量材料常数：拉压弹性模量E 泊松比泊松比对于各向同性材料对于各向同性材料,可以证明可以证明:E、G、三个弹三个弹性常数之间存在着如下关系性常数之间存在着如下关系四、剪切变形能四、剪切变形能定义：因剪切应力的作用产生变形定义：因剪切应力的作用产生变形 而储存的应变能称为剪切变形能而储存的应变能称为剪切变形能剪切变形比能：单位体积所储存的剪切变形能。剪切变形比能：单位体积所储存的剪切变形能。4-4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力一、圆轴扭转时横截面上的应力一、圆轴扭转时横截面上的应力

9、变形几何关系变形几何关系从三方面考虑：物理关系从三方面考虑：物理关系 静力学关系静力学关系 观察到下列现象观察到下列现象:(1)各圆周线的形状、大小以及各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没有变化两圆周线间的距离没有变化(2)纵向线仍近似为直纵向线仍近似为直线线,但都倾斜了同一角度但都倾斜了同一角度（3）表面方格变为菱形。）表面方格变为菱形。由此可推断：横截面上只有剪应力，沿外圆由此可推断：横截面上只有剪应力，沿外圆 的剪应力相等。的剪应力相等。1.变形几何关系变形几何关系2、分析变形、分析变形变形几何方程变形几何方程平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平平面假设：变形前为平面的横截面

10、变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。横截面上距形心为的任一点处应变 根据剪切胡克定律根据剪切胡克定律,当剪应力不超过材料当剪应力不超过材料的剪切比例极限时：的剪切比例极限时：剪应力方向垂直于半径。剪应力方向垂直于半径。2.物理关系物理关系3.静力学关系静力学关系CL5TU9二、截面的几何性质二、截面的几何性质：1、极惯性矩：某面积到某极点距离平方与面积的、极惯性矩：某面积到某极点距离平方与面积的 乘积。其表示该截面对扭矩的惯性的大小。乘积。其表示该截面对扭矩的惯性的大小。2、抗扭截面系数：惯性矩与最大半径的商。、抗扭截面系数：惯性矩与

11、最大半径的商。3、空心轴的抗扭截面系数要大于同体积的实心轴空心轴的抗扭截面系数要大于同体积的实心轴三、强度计算三、强度计算1、强度条件：引起扭转破坏的因素是剪应力、强度条件：引起扭转破坏的因素是剪应力。2、强度计算的三类问题、强度计算的三类问题 强度校核及验算强度校核及验算 轴的截面设计轴的截面设计 确定轴的容许扭矩或功率确定轴的容许扭矩或功率例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的时，横截面的最大剪应力是原来的 倍？倍？8例：图示铸铁圆轴受扭时，在例：图示铸铁圆轴受扭时，在 面上面上发生断裂，其破坏是由发生断裂，其破坏是由 应

12、力引起的。应力引起的。在图上画出破坏的截面。在图上画出破坏的截面。45 螺旋螺旋最大拉最大拉 例：内外径分别为例：内外径分别为20mm和和40mm的空心圆截的空心圆截面轴，受扭矩面轴，受扭矩T=1kNm作用，计算横截面上作用，计算横截面上A点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。解：解：例：一直径为例：一直径为D1的实心轴，另一内外径之的实心轴，另一内外径之比比d2D20.8的空心轴，若两轴横截面的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴上的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直径之比外直径之比D2/D1。解：由解：由得：得：例：在强度

13、相同的条件下，用例：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少少?解：设实心轴的直径为解：设实心轴的直径为 d1，由，由得：得：0.80.81.1920.80.512 例：一厚度为例：一厚度为30mm、内直径为、内直径为230mm 的空的空心圆管，承受扭矩心圆管，承受扭矩T=180 kNm。试求管中。试求管中的最大剪应力，使用：的最大剪应力，使用：(1)薄壁管的近似理论；薄壁管的近似理论；(2)精确的扭转理论。精确的扭转理论。解：解：(1)利用薄壁管的近似理论可求得利用薄壁管的近似理论可求得(2)利用精确的

14、扭转理论可求得利用精确的扭转理论可求得 例：一空心圆轴，内外径之比为例：一空心圆轴，内外径之比为=0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少仍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？（按强度计算）。倍？（按强度计算）。解：设空心圆轴的内、外径原分别为解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面，面 积增大一倍后内外径分别变为积增大一倍后内外径分别变为d1、D1，最最 大许可扭矩为大许可扭矩为1 例：一空心轴例：一空心轴=d/D=0.8，转速，转速

15、n=250r/m,功率功率N=60kW，=40MPa，求轴的外直径，求轴的外直径D和和内直径内直径d。解：解：4-5 圆轴扭转的变形圆轴扭转的变形一、扭转角公式一、扭转角公式式中：式中：称为抗扭刚度。称为抗扭刚度。二、圆轴扭转变形的计算二、圆轴扭转变形的计算比较拉压变形：公式适用条件：1）当p（剪切比例极限）公式才成立2）仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立）4）对于小锥度圆杆可作近似计算3）扭矩、面积沿杆轴不变（T、Ip为常量）2、当扭矩和横截面都是变量时，则用分段积分式。、当扭矩和横截面都是变量时，则用分段积分式。三、刚度条件：三、刚度条件：工程中常用单位长度转工程中常用单位长度转 角表示扭

16、转程度角表示扭转程度阶梯轴的扭转角等于其每一段相对扭转角之和阶梯轴的扭转角等于其每一段相对扭转角之和例：水平面上的直角拐，例：水平面上的直角拐，AB段为圆轴，直径为段为圆轴，直径为 d，在端点，在端点C受铅垂力受铅垂力P作用，材料的剪切弹性作用，材料的剪切弹性模量为模量为G，不计，不计BC段变形。求段变形。求C点的铅垂位移。点的铅垂位移。解：解：例：已知一直径例：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭的钢制圆轴在扭转角为转角为 6时，轴内最大剪应力等于时，轴内最大剪应力等于90MPa，G=80GPa。求该轴长度。求该轴长度。解：解：例：圆截面橡胶棒的直径例：圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后

17、受扭后,原来原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由表面上的圆周线和纵向线间夹角由 90变为变为 88。如杆长。如杆长 l=300mm，试求两端截面间的扭，试求两端截面间的扭转角；如果材料的剪变模量转角；如果材料的剪变模量G=2.7MPa，试求，试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩。杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩。解：由解：由 例：传动轴传递外力偶矩例：传动轴传递外力偶矩5kNm,材料材料的的=30MPa,G=80GPa,=0.5/m,试选试选择轴的直径。择轴的直径。解：解：例：空心圆轴，外径，内径，AB=lmm，m，m，求C截面对A、B截面的相对扭转角。ACB122解：一、绘扭矩图：TX

18、4(kNm)2二、计算IP：三、计算相对扭转角“+”号表示面向C截面观察时，该截面相对于A（或B）截面逆时针转动。mmldxxmlmT0例：圆截面杆AB左端固定，承受均布力偶作用，其力偶矩 集度（单位长度上的力偶矩）为m=20Nm/m，已知直径D=20mm，l=2m，材料G=80MPa=300MPa。单位长度的许用扭角=20/m，试进行强度和刚度校核，并计算A、B两截面的相对扭角。解：计算扭矩、绘扭矩图：T2）校核强度：3）校核刚度：10时，截面为狭长矩形：=1/3h二、开口薄壁杆件的自由扭转二、开口薄壁杆件的自由扭转开口薄壁杆件开口薄壁杆件:如角钢、槽钢、工字钢等。如角钢、槽钢、工字钢等。壁

19、厚远小于整个截面的高、宽尺寸壁厚远小于整个截面的高、宽尺寸,其截面中线其截面中线是一条不封闭的折线。开口薄壁杆件在自由是一条不封闭的折线。开口薄壁杆件在自由扭转时扭转时,截面要发生翘曲。截面要发生翘曲。横截面上的应力和变形：横截面上的应力和变形：1、计算原理：将整个截面分成若干部分，每一、计算原理：将整个截面分成若干部分，每一 部分的尺寸为部分的尺寸为i、hi,设每一部分承担的扭矩为设每一部分承担的扭矩为 Ti原理原理1、T=T1+T2+.+Tn原理原理2、整个截面的扭转角和各部分的扭转角相、整个截面的扭转角和各部分的扭转角相 同同 =1=2=3=n物理关系：对于狭长矩形杆：物理关系：对于狭长矩形杆：由上可得：由上可得：2、剪应力：、剪应力：3、剪应力的分布规律：顺着一定的方向且与、剪应力的分布规律：顺着一定的方向且与 边界相切形成剪应力流；在同一厚度的两边界相切形成剪应力流；在同一厚度的两 边剪应力相等。边剪应力相等。三、闭口薄壁杆件的自由扭转三、闭口薄壁杆件的自由扭转 请同学们参照薄壁圆筒的扭转请同学们参照薄壁圆筒的扭转以及剪应力互等定理自行推导以及剪应力互等定理自行推导!