2012年高考第一轮总复习精品导学课件:97直线和平面所成的角与二面角(第2课时).ppt
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1、第九章第九章 直线、平面、简单几何体直线、平面、简单几何体第 讲(第二课时)(第二课时)11.在三棱锥在三棱锥P-ABC中,中,ABAC,ACB=60,PA=PB=PC,点点P到平面到平面ABC的距离的距离为为 AC.求二面角求二面角P-AC-B的大小的大小.题型题型4 求二面角的大小求二面角的大小2解法解法1:由条件知由条件知ABC为直角三角形,为直角三角形,且且BAC=90.因为因为PA=PB=PC,所以点所以点P在平面在平面ABC上的上的射影是射影是ABC的外心,的外心,即斜边即斜边BC的中点的中点E.取取AC的中点的中点D,连结,连结PD,DE,PE.因为因为PE平面平面ABC,DEA
2、C(因为因为DE AB),所以所以ACPD.所以所以PDE就是二面角就是二面角P-AC-B的的平面角平面角.3又又PE=AC,DE=AC(因为因为 A C B=60),所以所以 ,所以所以PDE=60.故二面角故二面角P-AC-B的大小为的大小为60.解法解法2:由条件知由条件知ABC为直角三角形,为直角三角形,且且BAC=90.因为因为PA=PB=PC,所以点所以点P在平面在平面ABC上的射影是上的射影是ABC的外心,的外心,即斜边即斜边BC的中点的中点.4设设O为为BC的中点,取的中点,取AC的中点的中点D,连结,连结PD,DO,PO,则,则PO平面平面ABC.建立如图所示直角坐标系建立如
3、图所示直角坐标系设设AC=a,则,则A(a,-a,0),B(-a,0,0),C(a,0,0),D(a,-a,0),P(0,0,a).所以所以 =(-a,a,0),=(-a,a,a).因为因为ABAC,又,又PA=PC,所以所以PD AC,5所以所以cos ,即为二面角即为二面角P-AC-B的余弦值的余弦值.而而cos ,=所以二面角所以二面角P-AC-B的大小为的大小为60.6点点评评:求求二二面面角角的的大大小小有有两两种种方方法法:几几何何法法与与向向量量法法.本本题题解解法法1是是利利用用几几何何法法来来解解决决的的,即即按按“一一找找、二二证证、三三计计算算”三三个个步步骤骤进进行行;
4、解解法法2是是利利用用向向量量法法来来解解决决的的,即即通通过过求求垂垂直直于于两两平平面面交交线线的的直直线线的的方方向向向向量量所所成成的的角角(需要注意是相等还是互补需要注意是相等还是互补).7 如图,直三棱柱如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,中,ABAC,D、E分别为分别为AA1、B1C的中点,的中点,DE平面平面BCC1.(1)证明:证明:AB=AC;(2)设二面角设二面角A-BD-C为为60,求求B1C与平面与平面BCD所成所成的角的大小的角的大小.解:解:(1)证法证法1:连结连结BE,因为因为ABC-A1B1C1为直三棱柱,为直三棱柱,所以所以 B1 B C=90,8因为因
5、为E为为B1C的中点,所以的中点,所以BE=EC.又又DE平面平面BCC1,所以所以BD=DC(射影相等射影相等的两条斜线段相等的两条斜线段相等).而而DA平面平面ABC,所以所以AB=AC(斜线段相等的射影相等斜线段相等的射影相等)证法证法2:取取BC的中点的中点F,证四边形,证四边形A F ED为平行四边形,进而证为平行四边形,进而证AFDE,所以所以AFBC,得,得AB=AC.9(2)作作AGBD于于G,连结,连结GC,则则GCBD,所以所以AGC为二面角为二面角A-BD-C的平面角,的平面角,所以所以AGC=60.不妨设不妨设AC=,则,则AG=2,GC=4.在在RtABD中,由中,由
6、ADAB=易得易得AD=.10设点设点B1到平面到平面BCD的距离为的距离为h,B1C与平面与平面BCD所成的角为所成的角为.由由 SB1BCDE=SBCDh,得得 解得解得h=,又又B1C=,所以所以sin=,所以所以=30.即即B1C与平面与平面BCD所成的角为所成的角为30.112.在在RtABC中,中,ACB=30,ABC=90,D为为AC的中点,的中点,E为为BD的中点,的中点,连结连结AE并延长交并延长交BC于点于点F,将,将ABC沿沿BD折成一个大小为折成一个大小为的二面角的二面角A-BD-C.(1)证明:平面证明:平面AEF平面平面BCD(2)当当为何值时,有为何值时,有ABC
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