2阶段复习课.ppt

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1、第二章 阶段复习课 求数列的通项公式求数列的通项公式【技法点拨技法点拨】数列通项公式的求法数列通项公式的求法(1)(1)定义法定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法，这种方法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法，这种方法适用于已知数列类型的题目适用于已知数列类型的题目.(2)(2)已知已知S Sn n求求a an n若已知数列的前若已知数列的前n n项和项和S Sn n与与a an n的关系，求数列的关系，求数列aan n 的通项的通项a an n可用可用公式公式(3)(3)由递推公式求数列通项法由递推公式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变对

2、于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列转化方法与特殊数列.(4)(4)待定系数法待定系数法(构造法构造法)求数列通项公式的方法灵活多样，特别是由给定的递推关系求求数列通项公式的方法灵活多样，特别是由给定的递推关系求通项公式，对于观察、分析、推理能力要求较高通项公式，对于观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递通常可对递推式变换，转化成特殊数列推式变换，转化成特殊数列(等差或等比数列等差或等比数列)来求解，这种方来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的转化

3、思想，而运用待定系数法法体现了数学中化未知为已知的转化思想，而运用待定系数法变换递推公式中的常数就是一种重要的转化方法变换递推公式中的常数就是一种重要的转化方法.【典例典例1 1】(1)(1)等差数列等差数列aan n 是递增数列，前是递增数列，前n n项和为项和为S Sn n，且，且a a1 1,a,a3 3,a,a9 9成等比数列，成等比数列，S S5 5=a=a5 52 2，则数列，则数列aan n 的通项公式为的通项公式为_._.(2)(2)已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n满足满足S Sn n=2a=2an n+(-1)+(-1)n n,n1.,n1.求数

4、列求数列aan n 的通项公式的通项公式.【解析解析】(1)(1)设数列设数列aan n 的公差为的公差为d(dd(d0),0),aa1 1,a,a3 3,a,a9 9成等比数列，成等比数列，a a3 32 2=a=a1 1a a9 9，即即(a(a1 1+2d)+2d)2 2=a=a1 1(a(a1 1+8d)+8d)d d2 2=a=a1 1d d，d0d0，a a1 1=d.=d.SS5 5=a=a5 52 2,5a5a1 1+d=(ad=(a1 1+4d)+4d)2 2，由由得：得：a a1 1=，d=d=，a an n=+(n-1)=+(n-1)=n.=n.答案：答案：a an n=

5、n=n(2)(2)解题流程：解题流程：【想一想想一想】求解题求解题1 1时易出现什么失误？在解决题时易出现什么失误？在解决题2 2时易忽略哪时易忽略哪一步骤？一步骤？提示：提示：(1)(1)没有讨论没有讨论d0d0而出现失误而出现失误.(2)(2)易忽略验证易忽略验证a a1 1=1=1也满足通项公式也满足通项公式a an n这一步骤这一步骤.数列求和数列求和【技法点拨技法点拨】数列求和的常用方法数列求和的常用方法(1)(1)公式法公式法直接利用等差数列、等比数列的前直接利用等差数列、等比数列的前n n项和公式求和项和公式求和等差数列的前等差数列的前n n项和公式；项和公式；等比数列的前等比数

6、列的前n n项和公式项和公式.(2)(2)倒序相加法倒序相加法如果一个数列如果一个数列aan n 的前的前n n项中首末两端等项中首末两端等“距离距离”的两项的和相的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n n项和即可用倒序项和即可用倒序相加法，如等差数列的前相加法，如等差数列的前n n项和公式即是用此法推导的项和公式即是用此法推导的.(3)(3)错位相减法错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项之积构成的，那么这个数列的前n n项和即可

7、用此法来求，如项和即可用此法来求，如等比数列的前等比数列的前n n项和公式就是用此法推导的项和公式就是用此法推导的.(4)(4)裂项相消法裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和消，从而求得其和.(5)(5)分组转化求和法分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减.(6)(6)并项求和法并项求和法一个数列的前一个

8、数列的前n n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形形如如a an n(1)1)n nf(n)f(n)类型，可采用两项合并求解类型，可采用两项合并求解.【典例典例2 2】(1)(1)在数列在数列aan n 中，中，a an n=，又，又b bn n=，则数列，则数列 b bn n 的前的前n n项和项和S Sn n=_.=_.(2)(2)数列数列 x xn n 的首项的首项x x1 1=3=3，通项，通项x xn n=2=2n np+nq(nNp+nq(nN*)，且，且x x1 1，x x4 4，x x5 5成等差数列成等差数列.求：求：p p，q

9、 q的值；的值；数列数列 x xn n 前前n n项和项和S Sn n的公式的公式.【解析解析】(1)a(1)an n=b bn nS Sn n=答案：答案：(2)(2)由由x x1 1=3=3，得，得2p+q=32p+q=3，又因为，又因为x x4 4=2=24 4p+4qp+4q，x x5 5=2=25 5p+5qp+5q，且，且x x1 1+x+x5 5=2x=2x4 4，得得3+23+25 5p+5q=2p+5q=25 5p+8qp+8q，解得，解得p=1p=1，q=1.q=1.由由知知x xn n=2=2n n+n+n，所以所以S Sn n=(2+2=(2+22 2+2+2n n)+

10、(1+2+)+(1+2+n)+n)=2=2n+1n+1-2+.-2+.【思考思考】一般的数列应按照怎样的思路求和？在题一般的数列应按照怎样的思路求和？在题1 1中利用裂项相中利用裂项相消法求和时应注意哪些事项？消法求和时应注意哪些事项？提示：提示：(1)(1)应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和从而选择合适的方法求和.(2)(2)在利用裂项相消法求和时应注意：在利用裂项相消法求和时应注意：在把通项裂开后

11、，是否恰好等于相应的两项之差；在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项面剩下两项，后面也剩下两项.函数与方程思想函数与方程思想【技法点拨技法点拨】函数与方程的思想在数列中的运用函数与方程的思想在数列中的运用(1)(1)在等差在等差(比比)数列的通项公式和前数列的通项公式和前n n项和公式中共有项和公式中共有5 5个量个量a a1 1,d(,d(或或q),n,aq),n,an n及及S Sn n,已知这已知这5 5个量中任意个量中任意3 3个量的值个量的值,就

12、可以运就可以运用方程思想用方程思想,解方程解方程(或方程组或方程组)求出另外求出另外2 2个量的值个量的值.(2)(2)数列可以看作是定义域为正整数集数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集或其有限子集)的特殊的特殊函数函数.运用函数思想去研究数列运用函数思想去研究数列,就是要借助于函数的单调性、就是要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决与数列相关的问题图象和最值等知识解决与数列相关的问题.等差数列与一次函等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系数、等比数列与指数函数有着密切的关系,等差数列前等差数列前n n项和公项和公式与二次函数有密切关系式与二次函数有密切关系,故可用函

13、数的思想来解决数列问题故可用函数的思想来解决数列问题.【典例典例3 3】(1)(1)已知数列已知数列aan n 的首项的首项a a1 1=14=14，前，前n n项和项和S Sn n=an=an2 2+bn+bn，等比数列等比数列 b bn n 的前的前n n项和项和T Tn n=2=2n+1n+1+a+a，则，则S Sn n的最大值是的最大值是_._.(2)(2)在等差数列在等差数列aan n 中，中，a a1 1+a+a4 4+a+a7 7=15=15，a a2 2a a4 4a a6 6=45=45，求数列的通项，求数列的通项公式公式.【解析解析】(1)(1)等比数列等比数列 b bn

14、n 的前的前n n项和项和T Tn n=2=2n+1n+1+a=2+a=22 2n n+a+a，a=-2a=-2，S Sn n=-2n=-2n2 2+bn.+bn.又又a a1 1=14=14，-2+b=14-2+b=14，b=16b=16，S Sn n=-2n=-2n2 2+16n+16n的对称轴为的对称轴为n=4n=4，n=4n=4时，时，S Sn n的最大值是的最大值是32.32.答案答案：3232(2)a(2)a1 1+a+a7 7=2a=2a4 4=a=a2 2+a+a6 6，a a1 1+a+a4 4+a+a7 7=3a=3a4 4=15=15，a a4 4=5=5，a a2 2+

15、a+a6 6=10=10，a a2 2a a6 6=9=9，【思考思考】求解题求解题1 1的关键点在哪？题的关键点在哪？题2 2在转化过程中主要应用了在转化过程中主要应用了等差数列的什么性质？等差数列的什么性质？提示：提示：(1)(1)关键是利用等差数列的前关键是利用等差数列的前n n项和的性质以及等比数列项和的性质以及等比数列前前n n项和的性质特点先求得项和的性质特点先求得a a，b b的值的值.(2)(2)利用了等差中项进行转化利用了等差中项进行转化.分类讨论思想分类讨论思想【技法点拨技法点拨】分类讨论思想在数列中的运用分类讨论思想在数列中的运用数列中的分类讨论常出现在等比数列中数列中的

16、分类讨论常出现在等比数列中,这是因为等比数列的公这是因为等比数列的公比不能为比不能为0,0,且前且前n n项和是一个分段函数项和是一个分段函数,当当q=1q=1和和q1q1时时,求和公式求和公式不同不同.(1)(1)分类的原则：分类必须满足互斥、无漏、最简的原则分类的原则：分类必须满足互斥、无漏、最简的原则,用集合、用集合、子集来看待分类讨论子集来看待分类讨论,应该是应该是“交空并全交空并全”的完全分类的完全分类.(2)(2)常用的分类讨论方法有常用的分类讨论方法有:分段讨论法；分段讨论法；公比讨论法；公比讨论法；奇偶讨论法奇偶讨论法.【典例典例4 4】(1)S(1)Sn n=-1+3-5+7

17、-=-1+3-5+7-+(-1)+(-1)n n(2n-1)=_.(2n-1)=_.(2)(2)已知等比数列已知等比数列aan n 中，中，a a1 1=，a a2 2，a a3 3，a a4 4又是一个等差数又是一个等差数列的第列的第7 7项，第项，第3 3项，第项，第1 1项，求等比数列项，求等比数列aan n 的通项公式的通项公式.【解析解析】(1)n(1)n为偶数时，为偶数时，S Sn n=(-1+3)+(-5+7)+=(-1+3)+(-5+7)+-(2n-3)+(2n-1)=n+-(2n-3)+(2n-1)=n，n n为奇数时，为奇数时，S Sn n=(-1+3)+(-5+7)+=(

18、-1+3)+(-5+7)+-(2n-5)+(2n-3)-(2n-1)=-n+-(2n-5)+(2n-3)-(2n-1)=-n，综上知，综上知，S Sn n=(-1)=(-1)n nn.n.答案：答案：(-1)(-1)n nn n(2)(2)当当q=1q=1时，时，a an n=适合题意；适合题意；当当q1q1时，设题中等差数列的公差为时，设题中等差数列的公差为d d，依题意，依题意，a a2 2=a=a4 4+6d+6d，a a3 3=a=a4 4+2d+2d，a a2 2=3a=3a3 3-2a-2a4 4,aa1 1q=3aq=3a1 1q q2 2-2a-2a1 1q q3 3，即，即(

19、q-1)(2q-1)=0(q-1)(2q-1)=0，所以，所以q=q=，此时，此时a an n=()=()n n.综上知，综上知，a an n=【想一想想一想】解决题解决题1 1的突破口以及求解题的突破口以及求解题2 2易出现何种失误？易出现何种失误？提示：提示：(1)(1)通过观察，如何处理好符号，由此想到需要对通过观察，如何处理好符号，由此想到需要对n n进行进行分类是解决此题的关键分类是解决此题的关键.(2)(2)容易出现直接按照容易出现直接按照q1q1时的情况进行计算的错误时的情况进行计算的错误.1.1.在等比数列在等比数列aan n 中，中，a a3 3=6=6，前三项和，前三项和S

20、 S3 3=18=18，则公比，则公比q q的值的值为为()()(A)1 (B)(A)1 (B)(C)1(C)1或或 (D)-1(D)-1或或【解析解析】选选C.SC.S3 31818，a a1 1+a+a2 2=(1+q)=12=(1+q)=12 2q2q2 2-q-1=0-q-1=0 q=1q=1或或q=.q=.2.2.已知数列已知数列aan n 的通项公式是的通项公式是a an n=(-1)=(-1)n n(n+1)(n+1)，则，则a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a1010=()=()(A)-55 (B)-5 (C)5 (D)55(A)-55 (B)-5 (C)5 (D)

21、55【解析解析】选选C.C.a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a1010=-2+3-4+5-=-2+3-4+5-10+11-10+11=5=51=5.1=5.3.(20123.(2012潍坊高二检测潍坊高二检测)设设aan n 是公差不为是公差不为0 0的等差数列，的等差数列，a a1 1=2=2且且a a1 1,a,a3 3,a,a6 6成等比数列，则成等比数列，则aan n 的前的前n n项和项和S Sn n()()(A)(B)(A)(B)(C)(D)n(C)(D)n2 2+n+n【解析解析】选选A.A.由题意设等差数列公差为由题意设等差数列公差为d d，则，则a a1 1=2

22、=2，a a3 3=2+2d=2+2d，a a6 6=2+5d.=2+5d.又又a a1 1，a a3 3，a a6 6成等比数列，成等比数列，(2+2d)(2+2d)2 2=2(2+5d),=2(2+5d),解得解得d=d=或或d=0(d=0(舍舍),),4.4.等差数列等差数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=2n+1=2n+1，其前，其前n n项和为项和为S Sn n，则数，则数列列 的前的前1010项的和为项的和为_._.【解析解析】S Sn n=n=n2 2+2n+2n，=n+2=n+2，数列数列 前前1010项的和为：项的和为：(1(12 210)10)202075

23、.75.答案答案:75755.5.若若S Sn n1-21-23-43-4(-1)(-1)n-1n-1n n，则，则S S5050_._.【解析解析】S S50501 12 23 34 449495050(1)1)252525.25.答案答案:25256.6.数列数列aan n 对任意对任意nNnN*，满足，满足a an+1n+1=a an n+1+1，a a3 3=2.=2.(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式；的通项公式；(2)(2)若若b bn n=，求，求 b bn n 的通项公式及前的通项公式及前n n项和项和.【解析解析】(1)(1)由已知得由已知得a an+1n+1-a

24、-an n=1,=1,数列数列aan n 是等差数列，是等差数列，且公差且公差d=1,d=1,又又a a3 3=2=2，得，得a a1 1=0=0，所以，所以a an n=n-1.=n-1.(2)(2)由由(1)(1)得，得，b bn n=所以所以S Sn n=(1+1)+(+2)+=(1+1)+(+2)+()+()n-1n-1+n+n7.7.已知函数已知函数f(xf(x)=)=，且数列，且数列 f(af(an n)是首项为是首项为2 2，公差为，公差为2 2的等差数列的等差数列.(1)(1)求证：数列求证：数列aan n 是等比数列；是等比数列；(2)(2)设设b bn n=a an nf(

25、af(an n)，求数列，求数列 b bn n 的前的前n n项和项和S Sn n的最小值的最小值.【解析解析】(1)(1)由题意由题意f(af(an n)=2+(n-1)=2+(n-1)2=2n2=2n，即即 =2n=2n，数列数列aan n 是以是以2 2为首项，为首项，2 2为公比的等比数列为公比的等比数列.(2)(2)由由(1)(1)知，知，b bn n=a an nf(af(an n)=n)=n2 2n+1n+1,S Sn n=1=12 22 2+2+22 23 3+3+32 24 4+n+n2 2n+1n+1，2S2Sn n=1=12 23 3+2+22 24 4+3+32 25 5+n+n2 2n+2n+2，得得S Sn n=-2=-22 2-2-23 3-2-24 4-2-2n+1n+1+n+n2 2n+2n+2S Sn n=(n-1)2=(n-1)2n+2n+2+4.+4.因为因为 S Sn n 是递增数列，所以是递增数列，所以S Sn n的最小值等于的最小值等于S S1 1=4.=4.