材料力学 轴向拉伸与压缩2.pdf

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1、材 材 材 材 料 料 料 料 力 力 力 力 学 学 学 学 工 工 程 程 力 力 学 学 教 教 研 研 室室3 3 应力应力.拉(压)杆内的应力拉(压)杆内的应力 应力的概念 受力杆件某截面上一点的内力分布疏密程度，内力集度.F1FnF3F2 应力就是单位面积 应力就是单位面积 上的上的内力内力?(工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度 工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度 的定义不仅准确而且重要，因为 的定义不仅准确而且重要，因为“破坏 破坏”或 或“失效 失效”往往 往往 从内力集度最大处开始 从内力集度最大处开始。)F 1 F 2 A F F Qy F Qz F

2、 NdAdFAFNNA=0lim dAdFAFQQA=0lim 垂直于截面 垂直于截面 的应力称为 的应力称为“正应力 正应力 正应力正应力”与截面相切的 与截面相切的 应力称为 应力称为“切应力 切应力 切应力切应力”应力的国际单位为N/m 应力的国际单位为N/m 2 2（帕斯卡（帕斯卡）1N/m2=1Pa1MPa=106Pa1N/mm21GPa=109PadAdFAFpA=0lim拉(压)杆横截面上的应力 1 1、平面假设、平面假设 实验：实验：受轴向拉伸的等截面直杆，在外力施加之前，受轴向拉伸的等截面直杆，在外力施加之前，先画上两条互相平行的横向线ab、cd，然后观察该两 先画上两条互相

3、平行的横向线ab、cd，然后观察该两 横向线在杆件受力后的变化情况。横向线在杆件受力后的变化情况。FFaabcdbcd变形前，我们在横向所作的两条平行线ab、cd，变形前，我们在横向所作的两条平行线ab、cd，在变形后，仍然保持为直线，且仍然垂直于轴线，只 在变形后，仍然保持为直线，且仍然垂直于轴线，只 是分别移至a是分别移至ab b、c、cd d位置。位置。实验现象实验现象变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面。变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面。平面假设 平面假设 实验结论实验结论FNF FNF 平面假设平面假设 拉杆所有纵向纤维的伸长相等 材料的均匀性 各纵向纤维的性质相同 横截

4、面上 内力是均 匀分布的拉(压)杆横截面上的应力公式推导 AdAdAFAAN =AFN=几何变形 平面假设 静力关系 dAdFAFNNA=0lim dAdFN =正应力 FN轴力 A横截面面积 应力的符号与F N 轴力符号相同AFN=公式的应用范围公式的应用范围：外力的合力作用必须与杆件轴线重合 外力的合力作用必须与杆件轴线重合 不适用于集中力作用点附近的区域 不适用于集中力作用点附近的区域 当杆件的横截面沿轴线方向变化缓 当杆件的横截面沿轴线方向变化缓 慢，而且外力作用线与杆件轴线重 慢，而且外力作用线与杆件轴线重 合时，也可近似地应用该公式。合时，也可近似地应用该公式。如左图如左图()()

5、()xAxFxN=试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上的正 应力.已知横截面面积A=210 3 mm 220KN20KN40KN40KN332211例题 例题 例题例题2 2.5 5 2 2.5 5?20kN40kNMPa1011 =022=MPa2033=图示支架，AB杆为圆截面杆，d=30mm，BC杆为正方形截面杆，其边长a=60mm，P=10KN，试求AB杆和BC杆横截面上的 正应力。例题 例题 例题 例题 2 2.6 6 2 2.6 6?FNABFNBCMPaAFABNABAB3.28=MPaAFBCNBCBC8.4 =FFNAB=030sinNBCNABFF =030cosC

6、dABFa030试求图示结构AB杆横截面上的正应力。已 知F=30KN，A=400mm 2FDBCAaaa例题 例题 例题 例题 2 2.7 7 2 2.7 7?FNAB02=aFaFABNFFNAB2=MPaAFNAB150=计算图示结构BC和CD杆横截面上的正应力值。已知CD杆为28的圆钢，BC杆为22的圆钢。20kN18kNDEC30OBA4m4m1m例 例 例 例 题 题 题题2.82.8?FNBC 以AB杆为研究对像 0=Am05189=NABFkNFNBC10=以CDE为研究对像 FNCD0=Em04208830sin0=NBCNCDFFkNFNCD40=BCNBCBCAF=CDN

7、CDCDAF=书中例题 书中例题 书中例题 书中例题?长为b、内径d=200mm、壁厚=5mm的薄壁圆 环，承受p=2MPa的内压力作用，如图a所示。试求圆环径向截面上的拉应力。bPP d sin)2(0 =ddpbFR22pbdFFRN=AFN=MPaPammPa401040)105(2)2.0)(102(636=bPP dNFNFymndRF d nm dpbd =0sin2pbd=22pdbpbd=FXF F 斜截面上的正应力；斜截面上的切应力 n cosp=cosAFN=2cos=sincos=sinp=2sin21=pFFF拉(压)杆斜截面上的应力 p AFN=A cosA=讨论：讨

8、论：轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。轴向拉压杆件的最大切应力发生在与 杆轴线成45 0 截面上。在平行于杆轴线的截面上、均为零。001=、=max0452=、21max=0903=、0090=0090=2cos=2sin21=045 =21min =F045 045 045 045 切应力互等定理公式的适用范围表明：公式的适用范围表明：公式不适用于集中力作用点附近的区 公式不适用于集中力作用点附近的区 域。因为作用点附近横截面上的应力分布是非均匀的。随着 域。因为作用点附近横截面上的应力分布是非均匀的。随着 加载方式的不同。这点附近的应力分布方式就会发生变化。加载方式的不同。这点附近的

9、应力分布方式就会发生变化。理论和实践研究表明：理论和实践研究表明：加力方式不同，只对力作用点附近区 加力方式不同，只对力作用点附近区 域的应力分布有显著影响，而在距力作用点稍远处，应力都 域的应力分布有显著影响，而在距力作用点稍远处，应力都 趋于均匀分布，从而得出如下结论，即圣维南原理。趋于均匀分布，从而得出如下结论，即圣维南原理。3、圣维南原理、圣维南原理 （1）问题的提出 1）问题的提出 AFN=作用于弹性体上某一局部区域内的外力系，可以用与 作用于弹性体上某一局部区域内的外力系，可以用与 它静力等效的力系来代替。经过代替，只对原力系作用区 它静力等效的力系来代替。经过代替，只对原力系作用

10、区 域附近有显著影响，但对较远处，其影响即可不计。域附近有显著影响，但对较远处，其影响即可不计。由圣维南原理可知：下图中的(b)、(c)、(d)都可以 由圣维南原理可知：下图中的(b)、(c)、(d)都可以 用同一计算简图（a）来代替，从而图形得到很大程度的简 用同一计算简图（a）来代替，从而图形得到很大程度的简 化。化。（2）圣维南原理 2）圣维南原理（3）圣维南原理运用 3）圣维南原理运用 FFF/2F/2F/2F/2F FFF圣维南原理圣维南原理7 强度条件.安全因数.许用应力 1.拉压杆的强度条件 u n =u =s b max强度条件 AFN max 强度计算的三类问题：(1)、强度

11、校核 =AFN max(2)、截面设计 maxNFA(3)、确定许用荷载 AFN max圆截面等直杆沿轴向受力如图示，材料为 铸铁，抗拉许用应力 60Mpa，抗压许用 应力 120MPa，设计横截面直径。c t 20KN20KN30KN30KN20KN例 例 例 例 题 题 题题2.142.14?30KN td 41020213 mmdt6.201020431=mmd6.201 cd 41030223 mmdc8.171030432=mmd8.172 mmd21=图示石柱桥墩，压力F=1000kN，石料重度g=25kN/m3，许用 应力=1MPa。试比较下列三种情况下所需石料面积（1）等截 面

12、石柱；（2）三段等长度的阶梯石柱；（3）等强度石柱（柱的 每个截面的应力都等于许用应力）15mF5mF5m5mF例题 例题 例题例题2.152.15?采用等截面石柱 gAlFFN +=AFN=AgAlF +=glAF +=glFA mmNmNN15/1025/10110100033263 =26.1 m=AlV=1mm156.12 =324m=图示石柱桥墩，压力F=1000kN，石料重度g=25kN/m3，许用应力=1MPa。试比较下列三种情况下所需石料体积（1）等截面石柱；（2）三段等长度的阶梯石柱；（3）等强度石柱（柱的每个截面的应 力都等于许用应力）15mF例题 例题 例题例题2.152

13、.15?NF采用三段等长度阶梯石柱 111lgAFFN +=22112lgAlgAFFN +=3322113lgAlgAlgAFFN +=11glFA mmNmNN5/1025/10110100033263 =214.1m=2112gllgAFA +mmNmNmmmNN5/1025/101514.1/102510100033262333 +=231.1m=322113gllgAlgAFA +mmNmNmmmNmmmNN5/1025/101531.1/1025514.1/102510100033262332333 +=()13212lAAAV+=()mmmm549.131.141.1222 +=

14、37.19 m=图示石柱桥墩，压力F=1000kN，石料重度g=25kN/m3，许用应力=1MPa。试比较下列三种情况下所需石料体积（1）等截面石柱；（2）三段等长度的阶梯石柱；（3）等强度石柱（柱的每个截面的应 力都等于许用应力）5mF5m5m例题 例题 例题例题2.152.15?1NF249.1m=2NF3NF采用等强度石柱()()()=xAxFxN()()()()dxxgAxAxdAxA +=+()()dxxgAxdA =()()dxgxAxdA =()xgAxA exp0=A0：桥墩顶端截面的面积 FA=0263/101101000mNN =21m=()glAlAexp0=26332/

15、10115/1025exp1mNmmNm =245.1m=()GFlFN+=3gVG =()=+=lAGF ()FlAG =3VgG ()gFlA 33326/102510100045.1101mNNmPa 318m18:7.19:24 这种设计使得各截面的正应 力均达到许用应力，使材料 得到充分利用。图示石柱桥墩，压力F=1000kN，石料重度g=25kN/m3，许用应力=1MPa。试比较下列三种情况下所需石料体积（1）等截面石柱；（2）三段等长度的阶梯石柱；（3）等强度石柱（柱的每个截面的应 力都等于许用应力）F例题 例题 例题例题2.152.15?xdx dxxgA)(图示三角形托架，A

16、C为刚性杆，BD为斜撑杆，荷载F可 沿水平梁移动。为使斜撑杆重量为最轻，问斜撑杆与梁 之间夹角应取何值？不考虑BD杆的稳定。lhADBFC 例 例 例 例 题 题 题题2.162.16?设F的作用线到A点的距离为x x 取ABC杆为研究对象 FNBD0=Am0sin=+hctgFFxNBD coshFxFNBD=Lx=cosmaxhFLFNBD=BD杆：NBDBDFA coshFL=BDBDBDLAV sincoshhFL =2sin2FL=045=minVACAC为50505的等边角钢，为50505的等边角钢，ABAB为10 为10 号槽钢，号槽钢，=120MPa。求=120MPa。求F F

17、。=0yFFFFN2sin/1=解：解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水平杆 1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水平杆 为2杆）用截面法取节点A为研究对象为2杆）用截面法取节点A为研究对象FFFNN3cos12 =0 xF0cos21=+NNFF 0sin1=FFN 2、根据斜杆的强度，求许可载荷2、根据斜杆的强度，求许可载荷 kN6.57N106.57108.4210120212134611=AF A A F F1NF2NFxy 查表得斜杆查表得斜杆ACAC的面积为的面积为A A 1 1=24.8cm=24.8cm 2 2 11AFN 例 例 例 例 题 题 题题2.172.17?FFFN2si

18、n/1=FFFNN3cos12 =3、根据水平杆的强度，求许可载荷3、根据水平杆的强度，求许可载荷 kN7.176N107.1761074.12210120732.113134622=AF A A F F1NF2NFxy 查表得水平杆查表得水平杆ABAB的面积为的面积为A A 2 2=212.74cm=212.74cm 2 2 22AFN 4、许可载荷4、许可载荷 kN6.57176.7kNkN6.57minmin=iFF=0yF解：解：1、研究节点A的平衡，计算轴力。1、研究节点A的平衡，计算轴力。N1032.520cos2101000cos253 =?FFN由于结构几何和受力的对称性，两

19、由于结构几何和受力的对称性，两 斜杆的轴力相等，根据平衡方程斜杆的轴力相等，根据平衡方程 F F=1000kN，=1000kN，b b=25mm，=25mm，h h=90mm，=90mm，=20=20 0 0。=120MPa。试校核斜杆的强度。=120MPa。试校核斜杆的强度。F F F Fb hABC0cos2=NFF得得A2、强度校核 2、强度校核 由于斜杆由两个矩 由于斜杆由两个矩 形杆构成，故形杆构成，故A A=2=2bhbh，工作应力为，工作应力为 MPa120MPa2.118P102.11810902521032.52665=abhFAFNN斜杆强度足够斜杆强度足够 F FxyNF

20、NF 例 例 例 例 题 题 题题2.182.18?应力集中现象：应力集中现象：由于构件截面突然变化而引起的局部应力 由于构件截面突然变化而引起的局部应力 发生骤然变化的现象。发生骤然变化的现象。FFdb maxFFF max 8 应力集中的概念静载下，静载下，塑性材料可不考虑，脆性材料（除特殊的，塑性材料可不考虑，脆性材料（除特殊的，如铸铁）应考虑。如铸铁）应考虑。动载下，动载下，塑性和脆性材料均需考虑。塑性和脆性材料均需考虑。应力集中程度与外形的突变程度直接相关，突变越剧 应力集中程度与外形的突变程度直接相关，突变越剧 烈，应力集中程度越剧烈。烈，应力集中程度越剧烈。理想应力集中系数:理想应力集中系数:nommaxk =其中：其中：最大局部应力最大局部应力名义应力（平均应力）名义应力（平均应力）nommax 目录目录