江苏省无锡市第一中学2020-2021学年度第一学期高二数学期中试卷(解析版)5557.pdf

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1、1 无锡市第一中学 20202021 学年度第一学期期中试卷 高 二 数 学 2020.11 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果命题2:xp，命题2:xq，那么命题p是命题q的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2.在平面内，到直线2x与到定点)0,2(P的距离相等的点的轨迹是 A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.直线 3.在等差数列na中，6543aaa，则71aa A.2 B.3 C.4 D.5 4.已知等比数列na的各项均为正实数，其前n项和为nS，若43a，

2、6462aa，则5S A.32 B.31 C.64 D.63 5.若椭圆13922myx的焦距为 2，则实数m的值为 A.5 B.2 C.2 或 9 D.5 或 7 6.南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列 1,3,6,10，前后两项之差得到新数列 2,3,4，新数列2,3,4 为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前 7 项分别为 3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第 1

3、9 项为 A.184 B.174 C.188 D.160 7.已知数列na满足211a，)(21*1Nnaann 设nnanb2，*Nn，且数列nb是单调递增数列，则实数的取值范围是 A.)1,(B.)23,1(C.)23,(D.)2,1(8.数列na是等差数列，06125 aa，数列nb满足321nnnnaaab，*Nn，设nS为nb的前n项和，则当nS取得最大值时，n的值等于 A.9 B.10 C.11 D.12 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.9.设等

4、差数列na的前n项和为nS，若03S，84a，则有 2 A.nnSn622 B.nnSn32 C.84 nan D.nan2 10.已知双曲线C过点3,2且渐近线方程为33yx，则下列结论正确的是 A.双曲线C的方程为2213xy B.双曲线C的离心率为3 C.曲线12xey经过双曲线C的一个焦点 D.焦点到渐近线的距离为1 11.下列说法正确的是 A.“ba”是“22bcac”的必要不充分条件 B.“1x”是“12x”的充分不必要条件 C.“2bac”是“cba、成等比数列”的充要条件 D.设na是公比为q的等比数列，则“1q”是“na为递增数列”的充分必要条件 12.已知BA,两监测点间距

5、离为 800 米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟 2秒，设声速为 340 米/秒，下列说法正确的是 A.爆炸点在以BA,为焦点的椭圆上 B.爆炸点在以BA,为焦点的双曲线的一支上 C.若B监测点的声强是A监测点的 4 倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到B监测点的距离为3680米 D.若B监测点的声强是A监测点的 4 倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到B监测点的距离为680米 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.命题“02xRx，”的否定是 .14.椭圆1422 yx的右焦点为F，以点F为焦点的抛物线的标准方程

6、是 .15.已知F是椭圆)0(1:2222babyaxC的一个焦点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，若POF为等边三角形，则椭圆C的离心率为 .16.如图，在ABC中，4|AB，点E为AB的中点，点D为线段AB垂直平分线上的一点，且53|DE，固定边AB，在平面ABD内移动顶点C，使得ABC的内切圆始终与AB切于线段BE的中点，且DC、在直线AB的异侧，在移动过程中，当|CACD 取得最大值时，ABC的面积为 .四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.请在答题卡指定区域内作答。解答时应3 写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）已知公差不为零的等差数列na的前n项和

7、为nS，11a且842,aaa成等比数列.(1)求na的通项公式；(2)已知nannSb21，求数列nb的前n项和nT.18.（本小题满分 10 分）已知命题p：“曲线134:2221mymxC表示焦点在x轴上的椭圆”，命题q：“曲线11:222tmytmxC表示双曲线”.（1）若p是真命题，求实数m的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数t的取值范围 19.（本小题满分 12 分）已知直线mkxyl:与椭圆1422 yx交于BA,两点.（1）在0k，10 m条件下，求AOB的面积S的最大值；（2）当1k，564|AB时，求直线l的方程.20.（本小题满分 12 分）已知各项均为正数

8、的数列 na，其前n项和为nS，满足22nnnaaS（1）求数列 na的通项公式；（2）若nannab2)13(，求数列nb的前n项和nT 21.（本小题满分 12 分）4 某同学尝试用数学模型来说明隔离和医疗两大因素在对抗传染病时的作用.模型假设如下：假设 1、传染病在人群中的表现有潜伏期和爆发期两种形式，潜伏期无症状，爆发期可以被人识别，无论在潜伏期还是爆发期的病人都具有相同的传染性.潜伏期时间记为 m0，以潜伏期时间 m0为一个传染周期；假设 2、记 r0为一个病人在一个传染周期内平均感染人数；假设 3、某一固定区域（如某个城市）的人群，保持原有的生活习惯，即 r0不变.（1）第一模型：

9、无干预模型.在上述模型假设中，取 m0=1 天，r0=1.2，假设初始的潜伏期人数为 1 万人，那么 1 天后将有 1 万人处于爆发期，1.2 万人处于潜伏期，感染总人数为2.2 万人，请问 9 天后感染总人数是多少？（2）第二模型：无限医疗模型.增加两个模型假设：假设 4、政府和社会加大医疗投入，将所有爆发期的病人“应收尽收”；假设 5、潜伏期病人在传染健康人群后转为爆发期病人，然后被收入医院，收入医院的病人即失去传染性；在第二模型中，取 m0=1 天，r0=1.2，假设初始的潜伏期人数为 1 万人，请问多少天后感染总人数将超过 1000 万？（参考数据：3.42.18，2.52.19，2.

10、62.110，3.382.120，4.2372.130 5492.28，12072.29，26552.210）.22.（本小题满分 14 分）已知椭圆)0(1:2222babyaxC的离心率为22，椭圆C的上顶点到右顶点的距离为3，O为坐标原点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若TS,是椭圆C上两点（异于顶点），且OST的面积为22，设射线OS，OT的斜率分别为21,kk，求21kk 的值；（3）设直线l与椭圆交于NM,两点（直线l不过顶点），且以线段MN为直径的 圆过椭圆的右顶点A，求证：直线l过定点.5 无锡市第一中学 20202021 学年度第一学期期中试卷 高 二 数 学 2020.1

11、1 命题：吴明飞 审核：程言峰 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1如果命题2:xp，命题2:xq，那么命题p是命题q的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案：A 解析：22xx，但22xx，命题p是命题q的充分不必要条件，故选 A 2在平面内，到直线2x与到定点)0,2(P的距离相等的点的轨迹是 A抛物线 B双曲线 C椭圆 D直线 答案：A 解析：根据抛物线的定义即可判断出来，选 A 3在等差数列na中，6543aaa，则71aa A2 B3 C4 D5 答案：C 解析：

12、345462aaaa，17424aaa 4已知等比数列na的各项均为正实数，其前n项和为nS，若43a，6462aa，则5S A32 B31 C64 D63 答案：B 解析：数列na的各项均为正实数，264648aaa，5123451248 1631Saaaaa 5若椭圆13922myx的焦距为 2，则实数m的值为 A5 B2 C2 或 9 D5 或 7 答案：D 解析：9(m3)1，解得 m5 或 7 6南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列 1,3,6,

13、10，前后两项之差得到新数列 2,3,4，新数列 2,3,4 为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前 7 项分别为 3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第 19 项为 A184 B174 C188 D160 答案：B 解析：由题意知：11()()1nnnnaaaa，故数列1nnaa是以 1 为首项，1 为公6 差的等差数列，故1nnaan，121321()()()nnnaaaaaaaa 263(121)2nnn，所以219191961932a 7已知数列na满足211a，)(21*1Nnaann设nnanb2，

14、*Nn，且数列nb是单调递增数列，则实数的取值范围是 A)1,(B)23,1(C)23,(D)2,1(答案：C 解析：1()2nna，2(2)2nnnnbna，10nnbb对*nN 恒成立，参变分离得，min23()22n，故选 C 8数列na是等差数列，06125 aa，数列nb满足321nnnnaaab，*Nn，设nS为nb的前n项和，则当nS取得最大值时，n的值等于 A9 B10 C11 D12 答案：D 解析：5121626760()55naaadand，0d，当 1n13 时，nb0；当 n14 时，nb0，又1314151213140a a aa a a，故当 n12 时，nS取得

15、最大值 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.9设等差数列na的前n项和为nS，若03S，84a，则有 AnnSn622 BnnSn32 C84 nan Dnan2 答案：AC 解析：3200Sa，42442aad，48nan，nnSn622 10已知双曲线C过点3,2且渐近线方程为33yx，则下列结论正确的是 A双曲线C的方程为2213xy B双曲线C的离心率为3 7 C曲线12xey经过双曲线C的一个焦点 D焦点到渐近线的距离为1 答案：ACD 解析：设双曲线

16、方程为：223xy，双曲线 C 过点3,2，923，即1，所以双曲线 C 的方程为2213xy，A 正确；22 333cea，故 B 错误；曲线12xey经过点(2，0)，该点为双曲线的右焦点，故 C 正确；焦点到渐近线的距离为 1，故 D 正确故选 ACD 11下列说法正确的是 A“ba”是“22bcac”的必要不充分条件 B“1x”是“12x”的充分不必要条件 C“2bac”是“cba、成等比数列”的充要条件 D设na是公比为q的等比数列，则“1q”是“na为递增数列”的充分必要条件 答案：AB 解析：22acbcba，ab22bcac，故 A 正确；1x 12x，21x 1x，故 B 正

17、确；当 abc0 时，cba、不成等比数列，故 C 错误；当10a，1q时，等比数列na为递减数列，故 D 错误故选 AB 12已知BA,两监测点间距离为 800 米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟 2秒，设声速为 340 米/秒，下列说法正确的是 A爆炸点在以BA,为焦点的椭圆上 B爆炸点在以BA,为焦点的双曲线的一支上 C若B监测点的声强是A监测点的 4 倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到B监测点的距离为3680米 D若B监测点的声强是A监测点的 4 倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到B监测点的距离为680米 答案：BD 解析：设爆炸点为 P，由题意知 PAPB680，

18、故爆炸点在以BA,为焦点的双曲线的一8 支上，A 错，B 正确；若B监测点的声强是A监测点的 4 倍（声强与距离的平方成反比），PA24PB2，即 PA2PB，PAPB680，PB680，故 C 错，D 正确故选 BD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13命题“02xRx，”的否定是 答案：02xRx，解析：全称量词命题的否定，首先全称量词变为存在量词，其次否定结论 14椭圆1422 yx的右焦点为F，以点F为焦点的抛物线的标准方程是 答案：xy342 解析：首先求得 F(3，0)，则抛物线方程为xy342 15已知F是椭圆)0(

19、1:2222babyaxC的一个焦点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，若POF为等边三角形，则椭圆C的离心率为 答案：13 解析：由题意知点(2c，32c)在椭圆上，所以22223144ccab，222223144()ccaac，42840ee，242 331ee 16如图，在ABC中，4|AB，点E为AB的中点，点D为线段AB垂直平分线上的一点，且53|DE，固定边AB，在平面ABD内移动顶点C，使得ABC的内切圆始终与AB切于线段BE的中点，且DC、在直线AB的异侧，在移动过程中，当|CACD 取得最大值时，ABC的面积为 答案：6 5 解析：首先判断出点 C 在以 A、B 为焦点的双曲线

20、的右支上，以 E 为坐标原点建立平面直角坐标系，得动点 C 的轨迹 方程为：2213yx，从而 CACB2，CDCACDCB2，当 C、B、D 三点共线时取最大值，此时求得点 C 纵坐标9 为3 5，此时三角形 ABC 的面积为6 5 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）已知公差不为零的等差数列na的前n项和为nS，11a且842,aaa成等比数列.(1)求na的通项公式；(2)已知nannSb21，求数列nb的前n项和nT.解：（1）设公差为)0(dd，由842,aaa成等比数列 所以8

21、224aaa，所以)17)(1()13(2ddd，所以dd 2，所以1d 所以nan （2）由（1）得nan，2)1(nnSn 所以nnnnnnnb2)111(22)1(2 所以21)21(2)1113121211(2nnnnT 所以12222)111(211nnTnnn 18.（本小题满分 10 分）已知命题p：“曲线134:2221mymxC表示焦点在x轴上的椭圆”，命题q：“曲线11:222tmytmxC表示双曲线”.（1）若p是真命题，求实数m的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数t的取值范围 解：（1）若p是真命题，所以03422mmm 所以m的取值范围是31 m。10（

22、2）由（1）得，p是真命题时，m的取值范围是31 m q为真命题时，0)1)(tmtm，所以m的取值范围是1tmt 因为p是q的必要不充分条件，所以311tt，所以21t，等号不同时取得 所以21t 19.（本小题满分 12 分）已知直线mkxyl:与椭圆1422 yx交于BA,两点.（3）在0k，10 m条件下，求AOB的面积S的最大值；（4）当1k，564|AB时，求直线l的方程.解：当0k时，my，所以BA,两点关于y轴对称，设),(0mxA，),(0mxB 所以)1(4220mx 所以2014|2mxAB 所以12121221222mmmmmABS 当且仅当21 mm，即22m，等号成

23、立，所以AOB的面积S的最大值为 1（1）当1k时，设),(),(2211yxByxA 1422yxmxy，得0448522mmxx 11 所以05445822121mxxmxx，所以5168024)(2|2|22122121mxxxxxxAB 又因为564|AB 所以3416802m，所以2m 所以直线l的方程为2 xy 20.（本小题满分 12 分）已知各项均为正数的数列 na，其前n项和为nS，满足22nnnaaS（1）求数列 na的通项公式；（2）若nannab2)13(，求数列nb的前n项和nT 解：因为22nnnaaS，当1n时，11a，nnnaaS22)2(21211naaSnn

24、n 所以12122nnnnnaaaaa 所以111)(nnnnnnaaaaaa 因为0na，所以01nnaa（没写的扣一分）所以11nnaa（常数）12 所以na是首项为 1，公差为 1 的等差数列（不下结论的扣一分）所以nan （1）由题得nnnb2)13(nnnT2)13(282522321 14322)13(2825222nnnT 13212)13()222(322nnnnT 112)13(21)21(434nnnnT 12)34(8nnnT 12)43(8nnnT 21.（本小题满分 12 分）某同学尝试用数学模型来说明隔离和医疗两大因素在对抗传染病时的作用.模型假设如下：假设 1、传

25、染病在人群中的表现有潜伏期和爆发期两种形式，潜伏期无症状，爆发期可以被人识别，无论在潜伏期还是爆发期的病人都具有相同的传染性.潜伏期时间记为 m0，以潜伏期时间 m0为一个传染周期；假设 2、记 r0为一个病人在一个传染周期内平均感染人数；假设 3、某一固定区域（如某个城市）的人群，保持原有的生活习惯，即 r0不变.（1）第一模型：无干预模型.在上述模型假设中，取 m0=1 天，r0=1.2，假设初始的潜伏期人数为 1 万人，那么 1 天后将有 1 万人处于爆发期，1.2 万人处于潜伏期，感染总人数为2.2 万人，请问 9 天后感染总人数是多少？（2）第二模型：无限医疗模型.增加两个模型假设：

26、假设 4、政府和社会加大医疗投入，将所有爆发期的病人“应收尽收”；假设 5、潜伏期病人在传染健康人群后转为爆发期病人，然后被收入医院，收入医院的病人即失去传染性；在第二模型中，取 m0=1 天，r0=1.2，假设初始的潜伏期人数为 1 万人，请问多少天后感染总人数将超过 1000 万？（参考数据：3.42.18，2.52.19，2.62.110，3.382.120，4.2372.130 5492.28，12072.29，26552.210）.解：（1）记na为n天后感染总人数，13 则2.21a，222.2a，所以12072.299a 答：9 天后感染总人数是 1207 万人 注：若用递推关系

27、得12.2nnaa，求通项公式得最终结果同样得分（2）记nb为第n天收入医院的人数 所以11b，2.12b，由题易得nb为首项为 1，公比为 1.2 的等比数列 所以12.1nnb 若n天后总感染人数超过 1000 万 即10002.121nnbbbb 所以10002.12.12.112n 所以2012.11n 又因为2014.2372.130，2018.1972.129 所以301n，所以29n 答：29 天后感染总人数将超过 1000 万 22.（本小题满分 14 分）已知椭圆)0(1:2222babyaxC的离心率为22，椭圆C的上顶点到右顶点的距离为3，O为坐标原点.（1）求椭圆C的标

28、准方程；（2）若TS,是椭圆C上两点（异于顶点），且OST的面积为22，设射线OS，OT的斜率分别为21,kk，求21kk 的值；（3）设直线l与椭圆交于NM,两点（直线l不过顶点），且以线段MN为直径的 圆过椭圆的右顶点A，求证：直线l过定点.解：由题得32222baac，所以1,2ba 14 所以椭圆的标准方程为1222 yx（1）设),(),(2211yxTyxS 设直线xkyOS1:，直线xkyOT2:12221yxxky，所以2121212kx，同理得2222212kx 点T到直线OS的距离21221212211|1|kxkkkyxkd，|1121xkOS 所以22)21)(21(|

29、21222121kkkkdOSSOST 平方得0)12(221kk 所以2121kk（3）设),(11yxM，),(22yxN（i）直线l的斜率存在时，设直线mkxyl:1222yxmkxy，得0224)21(222mkmxxk 所以021222142221221kmxxkkmxx 15 由题得0 ANAM 所以0)2)(2(2121yyxx 化简得02)(2()1(221212mxxkmxxk 代入韦达定理得 0242322kmkm 0)2)(23(kmkm 所以km2或km32 当km2时，kkxyl2:，定点为)0,2(，为右顶点（舍）。当km32时，kkxyl32:，定点为)0,32(，满足题意（ii）直线l的斜率不存在时，设直线2|,:ttxl 1222yxtx，所以)22,(),22,(22ttNttM（不妨设M在第一象限）又因为)0,2(A 所以0 ANAM 化简得022432tt，所以0)2)(23(tt 所以32t或2t（舍）所以32t，直线l过点)0,32(16 综上（i）（ii）所得直线l过定点)0,32(