平面向量练习题5023.pdf

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1、 1 平面向量练习题 1.已知ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且OAa，OBb，则DC_，BC_.(用 a，b 表示)2.在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，若 2OAOC2ODOB，则四边形 ABCD 的形状为_.3.对于非零向量 a，b，“a2b0”是“ab”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.设向量 a，b 不平行，向量 a14b 与ab 平行，则实数 _.5.在ABC 中，点 E，F 满足AE12AB，CF2FA，若EFxAByAC，则 xy _.6.给出下列命题：若两个向量相等，则它们的起

2、点相同，终点相同；若 A，B，C，D 是不共线的四点，且ABDC，则 ABCD 为平行四边形；ab 的充要条件是|a|b|且 ab；已知，为实数，若 ab，则 a 与 b 共线.其中真命题的序号是_.7.判断下列四个命题：若 ab，则 ab；若|a|b|，则 ab；若|a|b|，则 ab；若 ab，则|a|b|.其中正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4 8.设非零向量 a，b 满足|ab|ab|，则()A.ab B.|a|b|C.ab D.|a|b|9.在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB等于()A.34AB14AC B.14AB34AC C.34A

3、B14AC D.14AB34AC 10.在ABC 中，BDDC，AP2PD，BPABAC，则 等于()A.13 B.13 C.12 D.12 11.如图所示，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，F 为 CE 的中点，则AF等于()A.34AB14AD B.14AB34AD C.12ABAD D.34AB12AD 12.在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 BC，CD 的中点，若ABxAEyAF(x，yR)，则 xy_.13.已知 O，A，B 是不共线的三点，且OPmOAnOB(m，nR).(1)若 mn1，求证：A，P，B 三点共线；(2)若 A，P，B 三点共线，求证：mn

4、1.14.设两个非零向量 a 与 b 不共线.若 kab 与 akb 共线，求k的值.15.如图所示，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交 AB，AC 所在直线于不同的两点 M，N，若ABmAM，ACnAN，求 mn 的值.2 参考答案 1.已知ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且OAa，OBb，则DCba，BCab.(用 a，b 表示)解析 如图，DCABOBOAba，BCOCOBOAOBab.2.在四边形ABCD中，对角线 AC与 BD交于点 O，若2OAOC2ODOB，则四边形ABCD的形状为梯形.解析 2OAOC2ODOB，2(OAOD)OBO

5、C，即 2DACB，DACB，且|DA|12|CB|，四边形 ABCD 是梯形.3.对于非零向量 a，b，“a2b0”是“ab”的(A)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析 若 a2b0，则 a2b，所以 ab.若 ab，则 a2b0 不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件.4.设向量 a，b 不平行，向量 a14b 与ab 平行，则实数-4 解析 a，b 不平行，ab0.又 a14b 与ab 平行.存在实数，使 a14b(ab).根据平面向量基本定理得，1，14，4.5.在ABC 中，点 E，F 满足AE12AB，CF2FA，若EFxAByA

6、C，则 xy _ 16_.解析 依题意有EFEAAF12AB13AC，所以 x12，y13，所以 xy16.6.给出下列命题：若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若 A，B，C，D 是不共线的四点，且ABDC，则 ABCD 为平行四边形；ab 的充要条件是|a|b|且 ab；已知，为实数，若 ab，则 a 与 b 共线.其中真命题的序号是_.解析 错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；正确，因为ABDC，所以|AB|DC|且ABDC，又 A，B，C，D 是不共线的四点，所以四边形 ABCD 为平行四边形；错误，当 ab 且方向相反时

7、，即使|a|b|，也不能得到 ab，所以|a|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件；错误，当 0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足 ab，但 a 与 b 不一定共线.故填.7.判断下列四个命题：若 ab，则 ab；若|a|b|，则 ab；若|a|b|，则 ab；若 ab，则|a|b|.其中正确的个数是(A)3 A.1 B.2 C.3 D.4 解析 只有正确.8.设非零向量 a，b 满足|ab|ab|，则(A)A.ab B.|a|b|C.ab D.|a|b|解析 方法一 利用向量加法的平行四边形法则.在ABCD 中，设ABa，ADb，由|ab|ab|知，|AC|DB|，从

8、而四边形 ABCD 为矩形，即 ABAD，故 ab.方法二|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.9.在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB等于(A)A.34AB14AC B.14AB34AC C.34AB14AC D.14AB34AC 解析 作出示意图如图所示.EBEDDB12AD12CB1212(ABAC)12(ABAC)34AB14AC.10.在ABC 中，BDDC，AP2PD，BPABAC，则 等于(A)A.13 B.13 C.12 D.12 解析 因为BDDC，AP2PD，所以AD12AB12AC32AP，所以

9、AP13AB13AC，所以BPAPAB23AB13AC，因为BPABAC，所以 23，13，所以 13.故选 A.11.如图所示，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，F 为 CE 的中点，则AF等于(D)A.34AB14AD B.14AB34AD C.12ABAD D.34AB12AD 解析 根据题意得，AF12(ACAE)，又ACABAD，AE12AB，所以AF12ABAD12AB34AB12AD.故选 D.12.在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 BC，CD 的中点，若ABxAEyAF(x，yR)，则 xy2 解析 由题意得AEABBEAB12AD，AFADDFAD12

10、AB，因为ABxAEyAF，所以ABxy2ABx2y AD，所以 xy21，x2y0，解得 x43，y23，所以 xy2.13.已知 O，A，B 是不共线的三点，且OPmOAnOB(m，nR).(1)若 mn1，求证：A，P，B 三点共线；4(2)若 A，P，B 三点共线，求证：mn1.证明(1)若 mn1，则OPmOA(1m)OBOBm(OAOB)，OPOBm(OAOB)，即BPmBA，BP与BA共线.又BP与BA有公共点 B，则 A，P，B 三点共线.(2)若 A，P，B 三点共线，则存在实数，使BPBA，OPOB(OAOB).又OPmOAnOB.故有 mOA(n1)OBOAOB，即(m)

11、OA(n1)OB0.O，A，B 不共线，OA，OB不共线，m0，n10，mn1.14.设两个非零向量 a 与 b 不共线.若 kab 与 akb 共线，则 k 1 解析 kab 与 akb 共线，则存在实数，使 kab(akb)，即(k)a(k1)b.又 a，b 是两个不共线的非零向量，kk10.消去，得 k210，k1.15.如图所示，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交 AB，AC 所在直线于不同的两点 M，N，若ABmAM，ACnAN，则 mn 的值为(B)A.1 B.2 C.3 D.4 解析 方法一 连接 AO，则AO12(ABAC)m2AMn2AN，因为 M，O，N 三点共线，所以m2n21，所以 mn2.方法二 连接 AO(图略).由于 O 为 BC 的中点，故AO12(ABAC)，MOAOAM12(ABAC)1mAB121mAB12AC，同理，NO12AB121nAC.由于向量MO，NO共线，故存在实数 使得MONO，即121mAB12AC12AB121nAC.由于AB，AC不共线，故得121m12 且12121n，消掉，得(m2)(n2)mn，化简即得 mn2.