弹性力学基本概念和考点汇总37421.pdf

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1、基本概念：(1)面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定(2)切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上，并且垂直丁改两面交线的切应力是互等的(大 小相等，正负号也相同)。(3)弹性力学的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。(4)平面应力与平面应变；设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行丁板面并且不沿厚度变化的 面力或约束。同时，体力也 平行与板 面并且不沿 厚度方向变化。这 时，bz=0,Ezx=0,Ezy=0，由切应力互等,bz=0,Exz=0,Tyz=0,这样只剩下平行丁 xy面的三个平面应力分量，即bx,by,Ly=Tyx,所以这种问题称为平面应力问题。设有很长

2、的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行丁横截 面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行丁横截面且不沿长度变化，由对称性可知，必=0,命=0，根据切应力互等，7xz=0,Eyz=0。由胡克定律，：zx=0,：zy=0,乂由丁 z方向的位移w处处为零，即耳z=0。因此，只剩下平行 丁 xy面的三个应变分量，即取,&y,：xy,所以这种问题习惯上称为平面应变问题。(5)一点的应力状态；过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。(6)圣维南原理；(提边界条件)如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力(主失相同，主矩也相同)，那么，近处的应力分布将有

3、显著的改变，但是远处 所受到的影响可以忽略不计。(7)轴对称；在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都 是对称丁某一轴(通过该轴的任一平面都是对称面)，则所有的应力、变形和位 移也就对称丁这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。平衡微分方程:(1)平面问题的平衡微分方程;(2)平面问题的平衡微分方程(极坐标)：-.1二.fr.f n T 0 己 p P 料 p K 1 V2:T=0 P 梆 cP P 1、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是 平衡的。2、平衡方程也反映了应力分量与体力(自重或惯性力)的关系。二、几何方程；(1)平面问题的几何

4、方程；.:u.x（记）-y(2)平面问题的几何方程(极坐标).u cP-v-u.二-：.1，二2-1-2:1、几何方程反映了位移和应变之间的关系。2、当位移完全确定时，应变也确定；反之，当应变完全确定时，位移并不能确 定。(刚体位移)三、物理方程；(1)平面应力的物理方程；mfx=。日剧(记)三 fy=0:x:y xy 1=E；x-七 y 1=匚（_心x）（I己）xy(3)极坐标的物理方程(平面应力)(4)极坐标的物理方程(平面应变)1-W,、r=-、)E I-1-W ;=E(专_二;-)2(1)四、边界条件；(1)几何边界条件；U=u s 平面I可题：s_ v s=v V(2)应力边界条件；

5、匕 m.yx=平面问题：s(Ihy+my =xy 在su上;fx-（记）fy(2)平面应变的物理方程;2J1 xy xy（3）接触条件；光滑接触：（7）=（。；）n为接触面的法线方向 非光滑接触：2n）=（4）n为接触面的法线方向 Un=L（4）位移单值条件；U/U2*（5）对称性条件：在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称丁某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和 位移也就对称丁这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。一、概念 1.弹性力学，也称弹性理论，是固体力学学科的一个分支。2.固体力学包括理论力学、材料力学、结构力学、塑性力学、振动

6、理论、断裂力学、复合材 料力学。3 基本任务：研究由于受外力、边界约束或温度改变等原因，在弹性体内部所产生的应力、形变和位移及其分布情况等。.4 研究对象是完全弹性体，包括杆件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围 更为广泛 5.弹性力学基本方法：差分法、变分法、有限元法、实验法 6 弹性力学研究问题、在弹性体内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界 上考虑边界条件，求解微分方程得出较精确的解答;.7.弹性力学中的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形假定。8.几何方程反映的是形变分量与位移分量之间的关系。9.物理方程反映的是应力分量与形变分量之间的关系。10

7、.平衡微分方程反映的是应力分量与体力分量之间的关系。11 当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。12.边界条件表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系式。它可以分为位移边界 条件、应力边界条件和混合边界条件。13.圣维南原理主要内容：如果把物体表面一小部分边界上作用的外力力系，变换为分布不 同但静力等效的力系（主失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界近处的应 力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处，其影响可以忽略不计。14.圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主失量和主矩都 等于零），那

8、么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。这是因 为主失量和主矩都等于零的面力，与无面力状态是静力等效的，只能在近处产生显著的应力。15.求解平面问题的两种基本方法：位移法、应力法。16.弹性力学的基本原理：解的唯一忤原理、解的叠加原理、圣维南原理 会推导两种平衡微分方程 17.逆解法步骤：(1)先假设一满足相容方程(2-25)的应力函数(2)由式(2-24),根据应力函数求得应力分量(3)在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的弹性体，根据主 要边界上的面力边界条件(2-15)或次要边界上的积分边界条件，分析这 些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的

9、应力函数可 以解决什么样的问题。(或者根据已知面力确定应力函数或应力分量表 达式中的待定系数 18.半逆解法步骤：(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、受力特征和变形 的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假设部 分或全部应力分量的函数形式(2)按式(2-24)，由应力推出应力函数 f 的一般形式(含待定函数项)；(3)将应力函数 f 代入相容方程进行校核，进而求得应力函数 f 的具体表达 形式；(4)将应力函数 f 代入式(2-24),由应力函数求得应力分量(5)根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力分量是否满足全 、单项选择题（按题意将正确答案的编号填

10、在括弧中，每小题2分，共10分）1、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（C）求 解这些微分方程，以求得具体问题的5.平面问题的应力边界条件为(。xym)s=fx(s)(xyl；ym)s=fy(s)填空 7.圣维南原理的三个积分式 h/2 h/2-x)xndy 1 fx(y)dy 1-h/2 h/2 h/2 h/2 x)x”ydy 1=fx(y)ydy 1 一 h/2 h/2 h/2 h/2-(xy)x=Idy 1=-fy(y)dy 1 _h/2 xy x 1 h/2 y 计 算 理 解 如果给出单位宽度上面力的主矢量和主矩，则三个积分边界条件变为 h/2/x)x=idy 1=FN

11、 h/2 W x)x=i ydy 1=M h/2/2(xy)xdy 1=Fs 8.艾里应力函数 Bx=_xl_fxx,%=i_ fyy,Txy=_ 尝楠(X，y)登y2 ex2 泌 y 计算 应力、应变、位移。A.相容方程 B.近似方法 C.边界条件 D.附加假定 2、根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（B）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不 计。A.几何上等效 B.静力上等效 C.平衡 D.任意 3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本 方程不完全相同，其比较关系为（B）。A.平衡方程、几何方程、物理方程完全相同 B.平

12、衡方程、几何方程相同，物理方程不同 C.平衡方程、物理方程相同，几何方程不同 D.平衡方程相同，物理方程、几何方程不同 在研究方法方面：材力考虑有限体V的平衡，结果是近似的；弹力考虑微 分体dV的平，结果比较精确 4、常体力情况下，用应力函数表示的相容方程形式为 粤+2工X十g=0,一 x:x:y:y c、兀qx2 i,y3+q y+qy2；y3 6、设有函数=存4广3厂1M2h（1）判断该函数可否作为应力函数？（3分）（2）选择该函数为应力函数时，考察其在图中所示的矩形板和坐标系（见 题九图）中能解决什么问题（l h）。（15分）解：（1）将4代入相容方程+2:2+三善=0，显然满足。因此，

13、该函数可以作为;x:x:y:y 应力函数。2-2,3 八 技弋6qx y 4qy 3qy；:y2h3h3 3h 考察边界条件：在主要边界y=h/2上，应精确满足应力边界条件 在次要边界x=。上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件:h/2 42 xy xdy=0 在次要边界x=l上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件:(2)应力分量的表达式:h/2 h/2 x xdy=*2 零+普-翌dy=(奇函数)h/2 h/2 xxydy、2 6ql2y.h3 qi孙 6qx ih2 2 一ny 一 h3 4 y=0 h/2 h/2 n,nPr/2 V d*y=（奇函数）票 ydy=0

14、3h y=&广代）ydy=h/2-h/2 x=0 h/2 2 京）一成#%21 对于如图所示的矩形板和坐标系，结合边界上面力与应力的关系，当板内发 生上述应力时，由主边界和次边界上的应力边界条件可知，左边、下边无面力；而上边界上受有向下的均布压力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力 偶和铅直面力。所以，能够解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均布荷载 q的问题。2009 2010 学年第二学期期末考试试卷（A）卷 一.名词解释（共 10 分，每小题 5 分）1.弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。2.圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，

15、变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远 处所受的影响可以不计。应力符号的规定为：正面正向、负面负向为正，反之为负。4.弹性力学中，正面 是指 外法向方向沿坐标轴正向 的面，负面是指 外法向方向沿坐标轴负向的 面。1.（8 分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有 哪些特征？答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的 弹性体和特征分别为：平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行 于 xy 平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力

16、分量 bx,cr y注xy存在，且仅为 x,y 的函数。平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平 行于 xy 平面，夕卜力沿 z 轴无变化，只有平面应变分量 3x,8yxy存在，且仅为 x,y 的函数。2.（8 分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数 中求解，应力 函数中必须满足哪些条件？答：（1）相容方程：壕=0（2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，S=%）:Sx+myx =fx，（在 S=SJ上）m；y 1xy S=fy（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。二.问答题（36）1.（12 分）试列出图 5-1 的全部边界条件，

17、在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积 分的应力边界条件。（板厚 5=1）解：在主要边界 y=h,；2上，应精确满足下列边界条件:在次要边界x=0上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件,时，h 2 h 2 h 2 L.2(OxLdy=-FN,L.2 0 xLydy=-M,RhxyLdyFs 在次要边界x=l上，有位移边界条件：（u=,（v Lt=0。这两个位移边界条 件可以改用三个积分的应力边界条件代替：h 2 上2J xdy=FN ql h 2 q|上2-图 5-2.：4：.-4：、.-4.力 解：（1）相容条件：将=cxy3代入相容方程 一+2 +=0,显然满足。4 2-2 4:x

18、:x:y：y 体力），画出图 5-2 所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢 和主矩。Sy Lh2=qx/1，(TyxLh2=；(心 y)=恂 2=，h yx)52=q1 2 h 2 q|2“Ox xydyM-Fsl-七-.0 2 qlh 2 3,c0,能满足相谷方程，并求出应力分重（不计 图 5-1(2)应力分量表达式：sx=M=6cxy,by=0,Exy=_3cy4:V 3.(14 分)设有矩形截面的长竖柱，密度为 P,在一边侧面上受均布剪力 q,如图 5-3 所示，试求应力分量。(提示：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假 设材料符合简单的胡克定律，故可认

19、为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力 分量 CTx=。)图 5-3 解：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定 律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量 x=。，4（10 分）试考察应力函数 6=cxy h(3)边界条件：在王要边界y=上，即上下边，面力为。v 2 y y=_ _h 2=3chx,xy y=h2-3c2 4 在次要边界x=0,x=1上，面力的主失和主矩为 2 L.qLdy=。+2 2(OxLydy=。+.-2 顼 2 xy x 迫dy=%2.c.3-顼23cy dy=-了-*/2 此.2(叫+/2 H(。顼2、如2 h

20、2 x：tdy=u/clydy=。h 2 2clh3 xldy=Ji26cly dy 2 h2 一 2,%3 一 2.7-h 上2 4 x=0,x=l上面力的主失量和主矩如解图所示。x&dy=-.上23cy dy=-弹性体边界上的面力分布及在次要边界 0(1)假设应力分量的函数形式。x=。(2)推求应力函数的形式。此时，体力分量为 fx=。，fy=电。将x=。代入应 力公式 汀x有bx=0对x积分，得 =f(x),:y:v:y(a)中=yf(x)+fi(x)。(b)其中f(x),f(x 是x的待定函数。(3)由相容方程求解应力函数。将式(b)代入相容方程 中4=0,得 yI兰亦x=0 y 4

21、4 dx4 dx4 这是 y 的一次方程，相容方程要求它有无数多的根(全部竖柱内的 足)，可见它的系数和自由项都必须等于零。d f4x)dx 程要求 f(x)=Ax+Bx2+Cx,fi(x)=Dx，+Ex2(c)f(x)中的常数项，f1(x)中的一次和常数项已被略去，因为这三项在 中的表达式 中成为 y 的一次和常数项，不影响应力分量。得应力函数、=y Ax3 Bx2 Cx 广Dx Ex2(d)(4)由应力函数求应力分量。一=x xfx=0,:y：2：.：_yfy=6Axy+2By+6Dx+2E _ Pgy,x 2 刈=_-_3Ax-2Bx-C.入y xy(5)考察边界条件。利用边界条件确定待

22、定系数 先来考虑左右两边 x=b/2的主要边界条件：仅 x击=0,hxy K2=，xy=七2=q。f I 将应力分量式(e)和(g)代入，这些边界条件要求：(气)哉2=0,自然满足；hxylD.2=3Ab2+BbC=0(h)3 9 xyx=b2=-4Ab2-Bb-C=q 由(h)(i)得 B=命(j)y 值都应该满 c d4 f1 x=0,f=0,两个万 dx(e)(f)(g)(i)考察次要边界y=0的边界条件，应用圣维南原理，三个积分的应力边界条 件为 b 2,2(6Dx+2E dx=2Eb=0；产知)xdx=广5678(6。乂+2E Ndx=D=0,得 D=0 上2心 劣22 3(Ly)d

23、x=j 3Ax2十9xC dx=一bC=0(k)0 5、七 b J 4 由(h)(j)(k)得 A=-2,C=将所得A、B、C、D、E代入式(e)(f)(g)得应力分量为：x=0,0=-6斜)y-电y，膈=3*2 b b b 填空题(每个 1 分，共 10 x 1=10 分)。1.弹性力学的研究方法是在弹性区域内部，考虑静力学、几何学和物理学方面建立三套 方程，即方程、方程以及方程；在弹性体的边界上，还 要建立边界条件，即 边界条件和 边界条件。2.弹性力学基本假定包括 假定、假定、假定、假定和 假定。B.位移分量。5 平衡微分 几何 物理 应力 位移 2连续 均匀 各向同忤 完全弹忤 小变形

24、、单项选择题(每个 2 分，共 5X 2=10 分)。1.关于弹性力学的正确认识是工一。A.弹性力学在工程结构设计中的作用日益重要。B.弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题 作假设。C.任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象。D.弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。2.所谓完全弹性体”是指 B O A.材料应力应变关系满足胡克定律。B.材料的应力应变关系与加载时间历史无关。C.本构关系为非线性弹性关系。D.应力应变关系满足线性弹性关系。3.所谓应力状态”是指_B_O A.斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同。B.一点不同截面的应力随着截面

25、方位变化而改变。C.3 个主应力作用平面相互垂直。D.不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。8.弹性力学的基本未知量没有 _C_O A.应变分量。b 2 I I dx=上2 y心 q q x-b 4 C.面力分量。D.应力分量。5.下列关于圣维南原理的正确叙述是 D A.边界等效力系替换不影响弹性体内部的应力分布。B.等效力系替换将不影响弹性体的变形。C.圣维南原理说明弹性体的作用载荷可以任意 平移。D.等效力系替换主要影响载荷作用区附近的应 力分布，对于远离边界的弹性体内部的影响 比较小。二、计算题(共 15 分)如图所示的三角形截面水坝，其左侧作用着比重为 的液体，右侧为自由表面。

26、试写出以应力分量表示的边界 条件。解：在平面应力边界条件下，应力须满足 f xl yxm=fx xyl 5=fy(1).(5)在 x=ytgP 表面处,l=cosB,.(1)m=sin 8；(1)fx=0,.(1)fy=0 代入公式(1),得 oxcosE esin E=0 x yx wCos sin：=0 xy y 在 X=一ytga 处 l=cosot m=sina.fx Kycos：fy=；y sin:代入公式(1),得 J-bx cosa Tyx sina=y cos Txycosa Bysina=Yysina 四、计算题(共 10 分)试考虑下面平面问题的应变分量有否可能存在，若存在

27、，需满足什么条件?3 2%=Axy,$y=By,xy=CDy；解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即 驾+乌=兰 .y；x 芸 v 将各分量分别代入，得；：2；x T=o,:y 己y-=o,:x xy -=0 Xy 无论 A、B、C、D 取何值，都满足形变协调条件。基本概念解释(24 分，6 小题)弹性力学的基本假定 平面应变问题 平面应力问题 圣维南原理(5)逆解法 1、简单题(40 分，4 题)(1)列出图示全部边界条件。2、综合题(36分)(1)设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用(如图)，体力不计,用应力函数=Axy+By2+Cy3+Dxy3求解应力分量。(2)矩形截面的长柱，密度为 P,在一边侧面上受均布正应力 q,试求应力分量，体力 不计。I 1(4)(1)(2)(3)(4)A:B:iiiiiTirriiniriNriinimiiimrrii 力出下列应力函数的应力分量，并考察该应力函数是否满足相容方程 F 4 2/=3 x y 2h(3h2 4y2)2 3 qx y：J=(4 3 4 h3 2 3 _3y _n.qy _i.3 1)(2 3)h 10 h h 根据圣维南原理，比较图示中 OA 边的面力是否等效，hb。