简单的线性规划及实际应用.doc

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1、数 学简单的线性规划及其实际应用【基础知识导引】1方程x+y+1=0在平面直角坐标系中，表示一条直线，那不等式x+y+10在平面直角坐标系中表示什么呢？2如何确定一个点在某条直线的右（或左）上方？3如何求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值？4如何用图解法可求几个变量的线性规划问题的最优解？5常见的线性规划问题有哪些？你能列举一些线性规划在生产生活中的实际应用的例子或模型吗？【重点难点解析】本两节介绍了二元一次不等式表示平面区域、简单的线性规划问题以及线性规划的实际应用，重点是二元一次不等式表示平面区域，而难点则是应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题。1关于二元一次不等式表示平面区

2、域直线1：y=kx+b把平面上的点分成三类：在直线1上方的点；在直线1下方的点，其中ykx+b表示直线上方的半平面区域，y0在直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域，对于在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点（x，y），实数Ax+By+C的符号都相同，故只需在此直线的某一侧任取一点（常取（0，0），将它的坐标代入Ax+By+C，由其值的符号可判定Ax+By+C0表示直线的那一侧，事实上，这就是所谓的“同侧同号，异侧异号”的符号法则，它闪现了数形结合思想方法的光芒。2关于线性规划问题求线性目标函数的线性约束条件下的最值问题，便是线性规划问题。线性规划问题，一般条件比

3、较繁，因此列出线性约束条件及目标函数往往较为困难。求线性目标函数在线性约束条件下的最值的一般步骤是：列出线性约束条件及写出目标函数；求出线性约束条件所表示的平面区域；通过平面区域求出满足线性条件下的可行解；用图形的直观性求最值；检验由求出的解是最优解或最优解的近似值或符合问题的实际意义。线性规划的实际问题，主要涉及以下常见类型；物资调运问题求怎样编制调运方案，能使总运费最少；产品安排问题求如何组织生产，能使利润最大；下料问题求如何下料，能使损耗最少，利用率最高。应用线性规划的图解方法，一般必须具备下列条件：能够将目标函数表示为最大化或最小化的要求；要有不同选择的可能性存在，即所有可行解不止一个

4、；所求的目标函数是约束条件的；约束条件应明确地表示为线性不等式或等式；约束条件中所涉及的变量不超过两个。【难题巧解点拨】例1 画出不等式2x3y+60所表示的平面区域。解先画出直线2x3y+6=0（画成虚线）取原点（0，0），代入2x3y+6=0中，因为2030+60，所以，原点在不等式2x3y+60所表示的平面区域内，不等式2x3y+60所表示的平面区域如图11所示。点悟：教科书中有这样的一段叙述：“由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x，y）来说，把它的坐标（x，y）代入Ax+By+C所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点，从的正负即可判断Ax+By+C0表

5、示直线哪一侧的平面区域，特殊地，当C0时，常把原点作为此特殊点。”这里强调了这样的一个重要的事实：在直线一侧所有的点都使Ax+By+C同号，另外，由于原点的代入，数值计算相对来说较简单，故当C0时，取原点作为特殊点来判断Ax+By+C的符号，那应该是最方便的，当C=0时，因原点已在直线Ax+By+C=0上，故不能通过原点来判断Ax+By+C的符号，此时其值恒为0。例2 用不等式组表示图12中的阴影部分（含边界）。解首先求出各条边所在的直线方程。可以用两点式直接写出各边的方程。AB：6x+y+15=0；BC：x2y4=0；CD：2x+y8=0；DA：x+6y15=0。原点（0，0）在直线AB的右

6、方，将（0，0）代入60+0+150，所以，直线AB的右半平面区域为：x+y+150，同理，直线BC的上半平面区域为：x2y40，直线CD的左半平面区域为：2x+y80，直线DA的下半平面区域为：x+6y150。故所求的不等式组为点悟：必须注意这里用的是“”、“”，而非“”、“”，它们的唯一的区别就是前者表示的区域包括边界，后者表示的区域不包括边界。例3 北京华欣公司计划在今年内同时出售“夜莺牌多功能”电子琴和“OK智能型”洗衣机，由于两种产品的市场需求量非常大，有多少就有销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力等）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，已知对这两种产品有直接限制

7、的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于两种产品有关数据如下表：资金单位产品所需资金（百元）月资金供应量（百元）电子琴洗衣机成本3020300劳动力（工资）510110单位利润68试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？解设电子琴和洗衣机月供应量分别为x架、y台，总利润为百元，根据题意，有=6x+8y，作出以上不等式组所表示的平面区域，即图13中的阴影部分，作动直线=6x+8y，如图中的虚线部分，显然当动直线过图中的M点时，取最大值。解方程组得M（4，9）即当供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，公司可获最大利润，最大利润是46+89=96（百元）。【拓展延伸探究】例1 预

8、算有2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数量尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子和椅子各购买多少？分析这是生活实际中的一个物资采购问题，可归结为线性规划问题，利用图解法进行求解。解设桌子和椅子各购买x、y张，则x、y必须满足线性约束条件其目标函数z=x+y。由 解得故图14中点A的坐标为。由 解得故图中点B的坐标为。满足以上条件的可行域为如图所示的阴影部分（包括边界和内部），以A、B、O为顶点三角形区域。动直线z=x+y表示斜率为1，在y轴上的截距为z的直线，如图所示的虚线，当动直线运动到如图所示的B点时，z的取值最大，此时x=25，。但

9、由于x、y的取值均为整数，故y应取37，即购买25张桌子、椅子37张，是最优选择。点悟：由于本题是一个实际问题，当求得最优解后，显然它不满足题意，故应取最优解的近似值，这便是实际问题与一般的非应用问题的最大区别。例2 私人办学是教育发展的方向，某人准备投资1200万元举办一所中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据，列表如下（以班级为单位）：市场调查表班级学生数配备教师数硬件建设费（万元）教师年薪（万元）初中502.0281.2高中402.5581.6根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办公费，初中每生每年可收取600元，

10、高中每生每年可收取1500元。因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜（含20个与30个）。教师实行聘任制。初、高中的教育周期均为三年。请你合理地安排招生计划，使年利润最大，大约经过多少年可以收回全部投资？分析这是一道线性规划问题，可假设初中编制为x个班级，高中编制为y个班级，利用题设先列出不等式组，求出目标函数，然后画出它在直角坐标平面内所表示的区域，利用图形法加以求解。解设初中编制为x个班，高中编制为y个班。则依题意有 （）又设年利润为s万元，那么s=（5060010000）x（40150010000）y-2.4x-4y，即s=0.6x+2y。现在直角坐标系中作出（）所表示的可

11、行域，如图15所示。问题转化为在如图15所示的阴影部分中，求直线s =0.6x+2y在y轴上的截距的最大值，如图，虚线所示的为一组斜率为0.3的直线，显然当直线过图中的A点时，纵截距取最大值。解联立方程组得将x=18，y=12代入s中得，。设经过n年可收回投资，则第1年利润为 65060010000621.244015001000042.51.6=11.6（万元）；第2年利润为211.6=23.2（万元），以后每年的利润均为34.8万元，故依题意应有11.6+23.2+34.8（n2）=1200。解得n35.5。故学校规模以初中18个班、高中12个班为宜，第一年初中招生6个班约300人，高中招

12、生4个班约160，从第三年开始年利润为34.8万元，约经过36年可以收回全部投资。点悟：读懂问题，正确理解“教育周期为三年”的含义（办学第三年，学校班级数才达到正常的办学规模；而刚开办的第一年和第二年中，都有班给空缺），正确理解表格所赋予的内含，是解题的关键，另外，这是一个实际问题，最后对n的取值应采用“进1法”，而不应采用“舍尾法”。例3 已知函数满足4f（1）1，1f（2）5，试求f（3）的取值范围。分析由4f（1）1，1f（2）5，可求出a、c的可行域，然后将f（3）表示成关于a、c的目标函数，即就是求该目标函数的最大值与最小值。解由4f（1）1，得4ac1，由1f（2）5，得14ac5

13、。作出它们的可行域如图16阴影部分所示（含边界）。目标函数f（3）=9ac，它表示斜率为9，在c轴的截距为f（3）的直线。由解得A（0，1）。由解得B（3，7）。由图可知，当动直线过点A时，f（3）取最小值为1；当动直线过点B时，f（3）取最大值为20。故f（3）的取值范围为1，20。点悟：常有如下“解法”：由4f（1）1，得4ac1，于是1ca4。 由1f（2）5，得14ac5。 +，得03a9，故0a3。4+，得33c21，故1c7。于是，f（3）=9ac，当a=3、c=1时取最大值为26，当a=0、c=7时取最小值为7。故f（3）的取值范围为7，26。试分析以上的解答，是正确的还是错误的

14、？为什么？【命题趋势分析】对于Ax+By+C0或Ax+By+C（0B0表示直线Ax+By+C=0的上方区域表示直线Ax+By+C=0的下方区域Ax+By+C（0A0表示直线Ax+C=0的右侧区域表示直线Ax+C=0的左侧区域Ax+C0表示直线Ax+C=0的左侧区域表示直线Ax+C=0的右侧区域【同步达纲练习】1下列命题正确的是（ ）A线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x或y的值B线性规划中最优解指的是使目标函数的最大值或最小值C线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域D线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解2设E为平面上以A（4，1）

15、，B（-1，-6），C（-3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则z=4x-3y的最大值与最小值分别为（ ）A14，-18 B-14，-18C18，14 D18，-143不等式|x|y2|x|所表示的平面区域（均含边界）为图17中的（ ）4若不等式ax+（2a-1）y+10表示直线ax+（2a-1）y+1=0的下方区域，则实数a的取值范围为_。5某工厂可以制造三种产品，每单位产品分别获利润10元，6元，4元，每件产品生产需要消耗原材料1个单位，劳动力消耗分别为10个，4个，5个，设备消耗工时分别是2小时，2小时，6小时，现有原料100个单位，劳动力600个，设备可利用工时为300小时，试建立

16、使总利润达到最大的生产利润模型。6家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子、一小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，试根据以上条件，问怎样安排生产能获得最大利润？7某厂能够生产甲、乙两种产品，已知生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如表所示，但是国家每天分配给该厂的煤和电力有限制，每天供煤至多56吨，供电至多45千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日值最大？用煤（吨）用电（千瓦）产

17、值（万元）甲种产品728乙种产品35118在约束条件：2x+5y10，2x3y6，2x+y10下，求的最小值。参考答案【同步达纲练习】1D （点拨：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，是线性规划问题，满足线性约束条件的解叫可行解，由所有可行解组成的集合叫可行域，使目标函数取得最大值或最小值的可行解便是最优解）2A （点拨：当动直线z=4x3y通过点B时，z取最大值，通过点C时，z取最小值）3A （点拨：可取特殊点法进行判断排除）4（点拨：因直线ax+（2a1）y+1=0恒过定点（2，1），而显然点（2，0）在点（2，1）的下方，故它应满足不等式，将点（2，0）代入不等式，即得

18、2a+10。）5设x、y、z分别是三种产品的计划制造产品，则约束条件为，求=10x+6y+4z的最大值。6生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21000元（点拨：设每星期生产x把椅子、y张书桌，那么利润P=15x+20y，而x、y必须满足约束条件：在直角坐标系内作出它的表示的区域，它围成一个封闭的四边形，其四个顶点分别为（0，0），（650，0），（200，900），（0，1000），而直线P=15x+20y，当P变化时，它是一组斜率为的平行直线，当纵截距最大时，利润亦最大，在上述区域内平行移动的直线，易见当直线过点（200，900）时，P值最大。）7每天生产甲种产品5吨，乙种产品7吨，日产值到达最大值117万元（点拨：设每天生产甲种产品x吨，乙种产品y号，则7x+3y56，2x+5y45，x、y0，目标函数z=8x+11y，作出线性约束条件所表示的平面区域，即可求得当 x=5，y=7时，z取最大值117万元）8线性约束条件2x+5y10，2x3y6，2x+y10所表示的区域恰好围成一个三角形区域（含边界），其三个顶点为（5，0），（3，4），（0，2），而表示原点到点（x，y）距离d的平方，故问题等价于原点到可行域内的点的距离d的平方的最小值，由图形不难得出当d为原点到直线2x+5y=10的距离时，所求值最小，故最小值为。