17.1勾股定理的证明(比较全的证明方法)_课件.ppt

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1、北北京京欢欢送送您您！20022002年北京国际数学家大会会标年北京国际数学家大会会标 同学们！三角形的知识之前我们已学习了不少。直角三角形是一种特殊的三角形，从今天开始，我们尝试着研究直角三角形直角三角形三边之间的关系。三边之间的关系。171勾股定理一勾股定理一1，掌握直角三角形三边之间的关系即勾股定理的内容。2，通过探究，了解勾股定理的证明过 程，并掌握1-2种证明方法。学习目标学习目标为了实现本节的学习目标，请同学们按照以下要求来自学。为了实现本节的学习目标，请同学们按照以下要求来自学。认真看课本认真看课本P22P24P22P24，注意：，注意：1 1、结合、结合P22P22思考前的故事

2、及思考前的故事及“黄色书签黄色书签,你在知识的认知上应该养成怎样你在知识的认知上应该养成怎样的品质？的品质？2 2、结合、结合P22P22思考和图形思考和图形17.1-217.1-2，你认为老毕先生发现了什么？跨越两千多，你认为老毕先生发现了什么？跨越两千多年的时空，看你和老毕是否有心灵的默契？之后用年的时空，看你和老毕是否有心灵的默契？之后用P22P22下面三行小字验下面三行小字验证你的发现。证你的发现。3 3、用数形结合与面积法思想，借助、用数形结合与面积法思想，借助P22P22探究与网格再验证其它直角三角形探究与网格再验证其它直角三角形三边是否有同样的性质三边是否有同样的性质4 4、准确

3、记忆、准确记忆P23P23命题命题1 1勾股定理勾股定理，分清题设与结论。，分清题设与结论。猜测猜测5 5、利用、利用P23“P23“赵爽弦图和面积法证明勾股定理赵爽弦图和面积法证明勾股定理 6 6、务必明确勾股定理的两个关于：关于直角三角形与关于该种图形边的、务必明确勾股定理的两个关于：关于直角三角形与关于该种图形边的关系关系自学时间自学时间1010分钟之后比谁能做对检测题。不会的可小声讨论或举手问老师。分钟之后比谁能做对检测题。不会的可小声讨论或举手问老师。自研共探：自研共探：自研共探：自研共探：看看一一看看 相相传传两两千千五五百百年年前前，一一次次毕毕达达哥哥拉拉斯斯去去朋朋友友家家作

4、作客客，发发现现朋朋友友家家用用砖砖铺铺成成的的地地面面反反映映直直角角三三角角形形三三边边的的某某种种数数量量关关系系，同同学学们们，我我们们也也来来观观察察下下面面的的图图案案，看看看看你你能能发发现现什什么么？两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明因此不断出现关上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明因此不断出现关于勾股定理的新证法于勾股定理的新证法1 1传说中毕达哥拉斯的证法传说中毕

5、达哥拉斯的证法2 2赵爽弦图的证法赵爽弦图的证法4 4美国第美国第2020任总统茄菲尔德的证法任总统茄菲尔德的证法3 3刘徽的证法刘徽的证法勾股定理的证明勾股定理的证明5 5其他证法其他证法 这棵树漂亮吗？如果在树上挂上这棵树漂亮吗？如果在树上挂上几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不是更像一棵圣诞树是更像一棵圣诞树 也许有人会问：也许有人会问：“它与勾股定理它与勾股定理有什么关系吗？有什么关系吗？仔细看看，你会发现，微妙在树仔细看看，你会发现，微妙在树干和树枝上，整棵树都是由下方的这干和树枝上，整棵树都

6、是由下方的这个根本图形组成的：一个直角三角形个根本图形组成的：一个直角三角形以及分别以它的每边为一边向外所作以及分别以它的每边为一边向外所作的正方形的正方形 这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理 关于勾股定理的关于勾股定理的证明，明，现在人在人类保存下来的最早的保存下来的最早的文字文字资料是欧几里得公元前料是欧几里得公元前300年左右所著的年左右所著的?几何几何原本原本?第一卷中的命第一卷中的命题47：“直角三角形斜直角三角形斜边上的正方上的正方形等于

7、两直角形等于两直角边上的两个正方形之和其上的两个正方形之和其证明是用面明是用面积来来进行的行的传说中毕达哥拉斯的证法传说中毕达哥拉斯的证法：如图，以在：如图，以在RtABC中，中，ACB=90，分别以，分别以a、b、c为为边向外作正方形边向外作正方形 求证：求证：a2+b2=c2 S矩形矩形ADNM2SADC又又正方形正方形ACHK和和ABK同底同底AK、等高、等高即平行线即平行线AK和和BH间的距离，间的距离，S正方形正方形ACHK2SABK ADAB，ACAK，CADKAB，ADCABK 由此可得由此可得S矩形矩形ADNMS正方形正方形ACHK 同理可证同理可证S矩形矩形MNEBS正方形正

8、方形CBFG S矩形矩形ADNMS矩形矩形MNEBS正方形正方形ACHKS正方形正方形CBFG 即即S正方形正方形ADEBS正方形正方形ACHKS正方形正方形CBFG，也就是也就是 a2+b2=c2传说中毕达哥拉斯的证法传说中毕达哥拉斯的证法证明：从证明：从RtABC的三边向外各作一个正方形如图，作的三边向外各作一个正方形如图，作CNDE交交AB于于M，那么正方形，那么正方形ABED被分成两个矩形连结被分成两个矩形连结CD和和KB返回由于矩形由于矩形ADNM和和ADC同底同底AD，等高，等高(即平行线即平行线AD和和CN间的距离间的距离)，我国对勾股定理的证明采取的是割我国对勾股定理的证明采取

9、的是割补法，最早的形式见于公元三、四世纪补法，最早的形式见于公元三、四世纪赵爽的赵爽的?勾股圆方图注勾股圆方图注?在这篇短文中，在这篇短文中，赵爽画了一张他所谓的赵爽画了一张他所谓的“弦图，其中弦图，其中每一个直角三角形称为每一个直角三角形称为“朱实，中间朱实，中间的一个正方形称为的一个正方形称为“中黄实，以弦为中黄实，以弦为边的大正方形叫边的大正方形叫“弦实，所以，如果弦实，所以，如果以以a a、b b、c c分别表示勾、股、弦之长，分别表示勾、股、弦之长，那么：那么：赵爽弦图的证法赵爽弦图的证法得：得：c2=a2+b2返回cabcabcabcabc2=b2-2ab+a2+2ab=a2+b2

10、a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为；也可以表示为也可以表示为c2 该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意图，取材于我国古代数学著作?勾股圆方图?。证明证明1：刘徽在刘徽在?九章算术九章算术?中对勾股定理的证明：勾中对勾股定理的证明：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开方其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开方除之，即弦也除之，即弦也令正方形令正方形ABCD为朱方，正方为朱方，正方形形BEFG为青方在为青方在BG间取一点间取一点H，使，使AH=BG，裁下，裁下AD

11、H，移至，移至CDI，裁下，裁下HGF，移至，移至IEF，是为，是为“出入相补，各从其类，出入相补，各从其类，其余不动，那么形成弦方正方形其余不动，那么形成弦方正方形DHFI勾股定理由此得证勾股定理由此得证 刘徽的证法刘徽的证法返回学过几何的人都知道勾股定理它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛学过几何的人都知道勾股定理它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种其中，美国第二十任总统伽菲余种其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话尔德的证法在数学史上被传为佳话总统为什么会想到去证明勾股定理呢？

12、难道他是数学家或数学爱好者？答案是否总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否认的事情的经过是这样的：认的事情的经过是这样的：1876年一个周末的黄昏，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣年一个周末的黄昏，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他走着走着，突然发赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨由于

13、好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底而小声探讨由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为形的两条直角边分别为3和和4，那么斜边长为多少呢？伽菲尔德答到：，那么斜边长为多少呢？伽菲尔德答到：“是是5呀呀小男孩又问道：小男孩又问道：“如果两条直角边分别为如

14、果两条直角边分别为5和和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？伽菲尔德不加思索地答复到：少？伽菲尔德不加思索地答复到：“那斜边的平方一定等于那斜边的平方一定等于5的平方加上的平方加上7的平方的平方小男孩又说道：小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？伽菲尔德一时语塞，无法解释先生，你能说出其中的道理吗？伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味了，心理很不是滋味 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题他经过反于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证

15、明方法复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法总统巧证勾股定理总统巧证勾股定理美国第二十任美国第二十任总统伽菲尔德总统伽菲尔德总统巧证勾股定理总统巧证勾股定理aabbccADCBE返回abcbacABCDEv1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统证法勾股定理勾股定理证明证明：你能只用这两个你能只用这两个直角三角形直角三角形说明说明a2+b2=c2吗？吗？向常春的证明方法向常春的证明方法 注注:这一方法是向常春这一方法是向常春于于1994年年3月月20日设想发日设想发现的新法现的新法abc

16、ba-bADCBEccabcabcabcab(a+b)2=a2+2ab+b2=2ab+c2a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为；也可以表示为也可以表示为(a+b)2C2勾股定理勾股定理证明证明：C2 我们用拼图的方法来说明我们用拼图的方法来说明勾股定理是正确的勾股定理是正确的试试 一一 试试证明证明:上面的大正方形的面积为：上面的大正方形的面积为：下面大的正方形的面积为：下面大的正方形的面积为：从右图中我们可以看出，这两个正方形的从右图中我们可以看出，这两个正方形的边长都是边长都是ab，所以面积相等，即，所以面积相等，即观察下面的图形，你还能发现什么吗？观察下面的图形，你还能发现什么吗？