河北省2022年中考数学复习专题2图形变式与拓展课件.ppt

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1、专题专题2 2图形变式与拓展图形变式与拓展常考类型常考类型分析分析考查类型考查类型年份年份考查形式考查形式题型题型 分值分值三角形的变式和拓展20122015此类题目以三角形为主要载体，通过图形的变化呈现出不同的状态，利用全等或相似的知识探究线段间的位置和数量关系，解题时通常遵循“猜想简单结论观察变式特征类比原题解法转化解决问题”解答题 9分四边形的变化和拓展2017以四边形为主要构图元素，通过某点或线段的位置与数量变化，探究由此所产生的线段间的数量和位置变化，各角之间的变化，图形形状的变换及成立的条件等，综合运用特殊四边形的性质和判定来解决解答题 11分圆的变化与拓展201320142016

2、以圆为主体探究题的解题策略主要涉及垂径定理、圆周角定理、切线的性质和判定、弧长及扇形面积，通过图形的折叠、旋转出现的弦长、角和特殊位置关系及轨迹(弧长)、扫过的面积的计算和证明，常用相似、锐角三角函数及勾股定理等相关知识来解题解答题 10分 专题类型专题类型突破突破类型类型1 关于三角形的变式拓展问题关于三角形的变式拓展问题【例1】在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，1245.(1)如图1，若AOOB，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系；(2)将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AOOB.求证：ACBD，AC BD；(3)将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求【思路分

3、析】通过观察可以猜想AO与BD 相等且互相垂直；在后面的问题中，通过添加BD的垂线，使问题转化为全等三角形和相似三角形问题加以解决【解】(1)AOBD，AOBD.(2)证明：如图1，过点B作BECA交DO于点E，延长AC交DB的延长线于点F.ACOBEO.又AOOB，AOCBOE，AOC BOE.ACBE.又145，ACOBEO135.DEB45.245，BEBD，EBD90.ACBD.BEAC，AFD90.ACBD.(3)如图2，过点B作BECA交DO于点E，BEOACO.又BOEAOC，BOE AOC.又OBkAO，由(2)的方法易得 BEBD.满分技法满分技法图形拓展类问题的解答往往需要

4、借助几何直观、转化、类比的思想方法在原图形中具备的位置和数量关系，在图形变化后这种关系是否存在或又存在着怎样的新的关系，可通过类比进行推理、验证，所用方法和第(1)问所用方法相似，可借鉴原结论方法，并进行拓展，只要沿着这样的思路进行即可解决 满分必练满分必练1.2017邢台模拟已知ABC中，ABAC，BC6.点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.(1)如图1，过点P作PFAQ交BC于点F，求证：PDFQDC；(2)如图2，当点P为AB的中点时，求CD的长；(3)如图3，过点P作PEBC于点E，在点P从点B向点A

5、移动的过程中，线段DE的长度是否保持不变？若保持不变，请求出DE的长度，若改变，请说明理由解：(1)ABAC，BACB.PFAC，PFBACB.BPFB.BPFP.由题意，得BPCQ，FPCQ.PFAC，DPFDQC.又PDFQDC，PDFQDC.(2)如图，过点P作PFAC交BC于点F.点P为AB的中点，(3)线段DE的长度保持不变如图，过点P作PFAC交BC于点F.由(1)知，PBPF.PEBC，BEEF.由(1)知，PDFQDC，CDDF.2.2016成都中考如图1，ABC中，ABC45，AHBC于点H，点D在AH上，且DHCH，连接BD.(1)求证：BDAC；(2)将BHD绕点H顺时针

6、旋转，得到EHF(点B，D分别与点E，F对应)，连接AE.如图2，当点F落在AC上时(F不与C重合)，若BC4，tanC3，求AE的长；如图3，当EHF是由BHD绕点H逆时针旋转30得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由解：(1)在RtAHB中，ABC45，AHBH.在BHD和AHC中，BHDAHC(SAS)BDAC.(2)在RtAHC中，tanC3，设CHx，则BHAH3x.BC4，3xx4.x1.AH3，CH1.由旋转，知EHFBHDAHC90，EHAH3，FHDHCH1，EHAFHC.EAHC.tanEAHtanC3.如图，过点H

7、作HPAE于点P，HP3AP，AE2AP.在RtAHP中，AP2HP2AH2，AP2(3AP)29.EF2GH.理由如下：设AH与CG交于点Q，由知，AEH和FHC都为等腰三角形又旋转角为30，FHDBHE30.EHAFHC120.HCGGAH30.AGQCHQ.AGQCHQ90.又GQHAQC，GQHAQC.3.教材改编题(1)问题发现：如图1，ACB和DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，则AEB的度数为_，线段AD，BE之间的关系为_；(2)拓展探究：如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A，D，E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接

8、BE.请判断AEB的度数，并说明理由；当CM5时，AC比BE的长度多6时，求AE的长解：(1)60相等(2)AEB90.理由如下：ACB和DCE均为等腰直角三角形，CACB，CDCE，ACBDCE90.ACDBCE.在ACD和BCE中，ACDBCE(SAS)ADBE，ADCBEC.DCE为等腰直角三角形，CDECED45.点A，D，E在同一直线上，ADC135，BEC135.AEBBECCED90.在等腰RtDCE中，DCE90，CMDE，则有DMCMME5.在RtACM中，AM2CM2AC2.设BEADx，则AC6x.(x5)252(x6)2，解得x7.AEADDMME17.【例2】2017

9、长春中考【再现】如图1，在ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DEBC，且DE (不需要证明)【探究】如图2，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明【应用】(1)在【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：.(只添加一个条件)(2)如图3，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O.若AOOC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为.类型类型2 关于四边形的变式拓展问题关于四边形的变式拓展问题 【

10、思路分析】【探究】利用三角形的中位线定理可得出EFHG，EFGH，继而可判断出四边形EFGH的形状【应用】(1)同【探究】的方法判断出 即可判断出EFFG，即可得出结论；(2)先判断出SBCD4SCFG，同理：SABD4SAEH，进而得出 再判断出OMON，进而得出解：【探究】四边形EFGH是平行四边形证明：如图1，连接AC.E是AB的中点，F是BC的中点，EFAC，综上，EFHG，EFHG.故四边形EFGH是平行四边形【应用】(1)添加ACBD.理由：连接AC，BD，ACBD，EFFG.又四边形EFGH是平行四边形，EFGH是菱形故答案为：ACBD.(2)如图2，由【探究】，得四边形EFGH

11、是平行四边形F，G分别是BC，CD的中点，SBCD4SCFG.同理，SABD4SAEH.四边形ABCD面积为5，设AC与FG，EH相交于点M，N，EF与BD相交于点P.OAOC，OMON.易知，四边形ENOP，FMOP是面积相等的平行四边形满分技法此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，解【探究】的关键是判断出 解【应用】的关键是判断出 是一道基础题目 满分必练4.2016兰州中考阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗

12、？小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.结合小敏的思路作答：(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题；(2)如图2，在(1)的条件下，若连接AC，BD.当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论解：(1)四边形EFGH是平行四边形，理由如下：如图，连接AC，E是AB的中点，F是BC的中点，EFHG，EFHG.故四边形EFGH是平行四边形(2)当ACBD时，四边形EFGH为菱形理由如下：由(1)知，四边形EFGH是平行四边

13、形，当ACBD时，FGHG.EFGH是菱形当ACBD时，四边形EFGH为矩形 5.2017兰州中考如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：BDF是等腰三角形；(2)如图2，过点D作DGBE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.判断四边形BFDG的形状，并说明理由；若AB6，AD8，求FG的长解：(1)证明：根据折叠的性质，得DBCDBE.又ADBC，DBCADB，DBEADB，DFBF，BDF是等腰三角形(2)四边形ABCD是矩形，ADBC.FDBG.又DGBE，即DGBF，四边形BFDG是平行四边形DFBF，四边形BFDG是菱形A

14、B6，AD8，假设DFBFx，AFADDF8x.在RtABF中，AB2AF2BF2，即62(8x)2x2.6.2016临沂中考如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CEBF.连接DE，过点E作EGDE，使EGDE，连接FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是，位置关系是 ；(2)如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；(3)如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断解：(1)FGCEFGCE(2)成立证明：如图，过点G作GH

15、CB的延长线于点H，EGDE，GEHDEC90.GEHHGE90，DECHGE.在HGE与CED中，HGECED(AAS)GHCE，HECD.CEBF，GHBF.GHBF，四边形GHBF是平行四边形FGBH，FGCH.FGCE.四边形ABCD是正方形，CDBC.HEBC.HEEBBCEB.BHEC.FGEC.(3)仍然成立【例3】如图1至图4中，两平行线AB，CD间的距离均为6，点M为AB上一定点思考思考如图1，圆心为O的半圆形纸片在AB，CD之间(包括AB，CD)，其直径MN在AB上，MN8，点P为半圆上一点，设MOP.当 度时，点P到CD的距离最小，最小值为.探究一探究一在图1的基础上，以

16、点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角BMO 度，此时点N到CD的距离是.探究二探究二将图1中的扇形纸片NOP按下面对的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转(1)如图3，当60时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角BMO的最大值；(2)如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定的取值范围类型类型3 关于圆的变式拓展问题关于圆的变式拓展问题【思路分析】在“思考”的图1中，当OPCD时，点P到CD的距离最小；在“探究一”的图2中，半圆形纸片不能再转动时，O与CD相切于点Y；

17、在“探究二”的图3中，当PMAB时，点P到CD的距离最小；当 与AB相切时，旋转角BMO的度数最大图4中，当弦MP6时，取最小值；当 与CD相切于点P时，即半径OPCD于点P时，取最大值解：思考：根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当90度时，点P到CD的距离最小MN8，OP4.点P到CD的距离最小值为642.故答案为：90,2.探究一：以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图1，MN8，MO4，OY4.UO2.得到最大旋转角BMO30度，此时点N到CD的距离是2.故答案为：30,2.探究二：(1)由已知得M与P的距离为4，当MPAB时，点P到

18、AB的最大距离为4，从而点P到CD的最小距离为642.当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，与AB相切，此时旋转角最大，BMO的最大值为90.(2)如图2，由探究一可知，点P是 与CD的切点时，达到最大，即OPCD.此时延长PO交AB于点H，最大值为OMH图1OHM3090120.如图3，当点P在CD上且与AB距离最小时，MPCD，达到最小，连接MP，作OHMP于点H，由垂径定理，得MH3，在RtMOH中，MO4，MOH49.2MOH98，最小为98.的取值范围是98120.图2满分技法在拓展变化的图形中求最值(比如最大(小)距离，角的最大(小)度数，线段的最大(小)长度等)，关键是确

19、定相关图形的特殊位置；确定几何图形中角度的取值范围，要考查它的最大角度和最小角度两种极端情况另外，几何直观与生活经验的积累与训练也是不容忽视的，本题中很多结论如果用纯粹的数学原理严格论证起来，是很困难的，比如“思考”中，为什么OPAB时图3点P到CD的距离最小？“探究一”中，怎样说明半圆形纸片不能再转动时，O与CD相切于点P？“探究二”(1)中，为什么MPAB时点P到CD的距离最小？为什么当 与CD相切于点P时，旋转角BMO的度数最大？(2)中，为什么当弦MP6时，取最小值；为什么当半径OPCD于点P时，取最大值？对于这些问题，在考场上是没有时间、也没有必要深究的，其结论的得出主要依靠几何直观

20、与生活经验 满分必练7.2017宝应一模如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，ACB90，BAC30，OD3cm，开始的时候BD1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动(1)当点B与点O重合时，求三角板运动的时间；(2)三角板继续向右运动，当B点和E点重合时，AC与半圆相切于点F，连接EF，如图2所示求证：EF平分AEC；求EF的长解：(1)当点B与点O重合时，BOODBD4(cm)，三角板运动的时间为2s.(2)证明：如图，连接点O与切点F，则OFAC.ACE90，ECAC.OFCE.OFECEF.OFOE，OFEOEF.OEFCEF，即E

21、F平分AEC.由知，OFAC.AFO是直角三角形BAC30，OFOD3cm，8.2017裕华区模拟如图所示，点A为半圆O直径MN所在直线上一点，射线AB垂直于MN，垂足为A，半圆绕M点顺时针转动，转过的角度记作；设半圆O的半径为R，AM的长度为m，回答下列问题：探究：(1)若R2，m1，如图1，当旋转30时，圆心O到射线AB的距离是 .如图2，当时，半圆O与射线AB相切；(2)如图3，在(1)的条件下，为了使得半圆O转动30即能与射线AB相切，在保持线段AM长度不变的条件下，调整半径R的大小，请你求出满足要求的R，并说明理由；发现：(3)如图4，在090时，为了对任意旋转角都保证半圆O与射线A

22、B能够相切，小明探究了cos 与R，m两个量的关系，请你帮助他直接写出这个关系；cos；(用含有R，m的代数式表示)拓展：(4)如图5，若Rm，当半圆弧线与射线AB有两个交点时，的取值范围是，并求出在这个变化过程中阴影部分(弓形)面积的最大值(用m表示)解：(1)如图1，作OEAB于点E，MFOE于点F，则四边形AMFE是矩形，EFAM1.在RtMFO中，MOF30，MO2，如图2，设切点为F，连接OF，作OEOA于点E，则四边形OEAF是矩形AEOF2.AM1，EM1.(2)如图3，设切点为P，连接OP，作MQOP，则四边形APQM是矩形在RtOMQ中，OMR，MOQ30，(3)如图4，设切

23、点为P，连接OP，作MQOP，则四边形APQM是矩形在RtOQM中，OQRcos，QPm.OPR，RcosmR.(4)如图5，当半圆与射线AB相切时，此时90，之后开始出现两个交点；当N落在AB上时，为半圆与AB有两个交点的最后时刻，此时，MN2AM，AMN60.120.当半圆弧线与射线AB有两个交点时，的取值范围是90120.故答案为：90120.当N落在AB上时，阴影部分面积最大，9.如图1至图5，O均作无滑动滚动，O1、O 2、O3、O4均表示O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，O的周长为C.阅读理解：(1)如图1，O从O1的位置出发，沿AB滚动到O2的位置，当ABc时，O恰好自转1

24、周；(2)如图2，ABC相邻的补角是n，O在ABC外部沿ABC滚动，在点B处，必须由O1的位置旋转到O2的位置，O绕点B旋转的角O1BO2n，O在点B处自 实践应用：实践应用：(1)在阅读理解的(1)中，若AB2c，则O自转周；若ABl，则O自转周在阅读理解的(2)中，若ABC120，则O在点B处自转周；若ABC60，则O在点B处自转周；(2)如图3，ABC90，O从O1的位置出发，在ABC外部沿ABC滚动到O4的位置，O自转周拓展联想：拓展联想：(1)如图4，ABC的周长为l，O从与AB相切于点D的位置出发，在ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，O自转了多少周

25、？请说明理由；(2)如图5，多边形的周长为l，O从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出O自转的周数 10.平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放，分别延长DA和QP交于点O，且DOQ60，OQOD3，OP2，OAAB1.让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为(060)发现(1)当0，即初始位置时，点P_直线AB上(填“在”或“不在”)求当是多少时，OQ经过点B?(2)在OQ旋转过程中，简要说明是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；图1图2(3

26、)如图2，当点P恰好落在BC边上时求及S阴影拓展如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BMx(x0)，用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围探究当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sin的值解：发现(1)在当OQ过点B时，在RtOAB中，AOAB，得DOQABO45，604515.故15时，OQ经过点B.(2)如图1，连接AP，有OAAPOP，当OP过点A，即60时，等号成立APOPOA211.当60时，点P，A间的距离最小PA的最小值为1.(3)如图1，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PHAD于点H，过点R作REKQ于点E.在RtOPH中，PHAB1，OP2，POH30.603030.由ADBC知，RPQPOH30.RKQ23060.拓展OANMBN90，ANOBNM，AONBMN.探究半圆与矩形相切，分三种情况：如图3，半圆K与BC切于点T，设直线KT与AD和OQ的初始位置所在直线分别交于点S，O，则KSOKTB90，作KGOO于点G.在RtOSK中，