高考数学复习强化双基系列课件34《数列通项的求法》.ppt

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1、高二数学第二课堂 34数列通项的求法一、公式法一、公式法二、二、迭迭加法加法若若 an+1=an+f(n),则则:若若 an+1=f(n)an,则则:三、三、叠叠乘法乘法an=S1 (n=1),Sn-Sn-1 (n2).an=a1+(ak-ak-1)=a1+f(k-1)=a1+f(k).n-1k=1 nk=2 nk=2 an=a1 =a1f(1)f(2)f(n-1)(n2).anan-1a2 a1 a3 a2 四、化归法四、化归法 通过恰当的恒等变形通过恰当的恒等变形,如配方、因式分解、取对数、取如配方、因式分解、取对数、取倒数等倒数等,转化为等比数列或等差数列转化为等比数列或等差数列.(1)

2、若若 an+1=pan+q,则则:an+1-=p(an-).(3)若若 an+1=pan+q(n),则则:(2)若若 an+1=,则则:panr+qan an+11an 1=+.prpq(4)若若 an+1=panq,则则:lgan+1=qlgan+lgp.五、归纳法五、归纳法 先计算数列的前若干项先计算数列的前若干项,通过观察规律通过观察规律,猜想通项公式猜想通项公式,进而用数学归纳法证之进而用数学归纳法证之.例例 已知数列已知数列 an 满足满足:a1=1,an+1=2an+32n-1,求求 an 的通的通项公式项公式.an=(3n-1)2n-2 an+1pn+1anpn=+.q(n)pn

3、+11.在数列在数列 an 中中,a1=1,Sn=(n2),求求 an.Sn-1 2Sn-1+1 Sn-1 2Sn-1+1 解解:由由 Sn=知知:1Sn1Sn-1-=2.1Sn 是以是以 =1 为首项为首项,公差为公差为 2 的等差数列的等差数列.1S11a11Sn =1+2(n-1)=2n-1.Sn=.2n-11a1=1,当当 n2 时时,an=Sn-Sn-1=-.(2n-1)(2n-3)2an=-,n2.1,n=1,(2n-1)(2n-3)2典型例题典型例题 2.数列数列 an 的前的前 n 项和项和 Sn=n2-7n-8,(1)求求 an 的通项公式的通项公式;(2)求求|an|的前的

4、前 n 项和项和 Tn.解解:(1)当当 n=1 时时,a1=S1=-14;当当 n2 时时,an=Sn-Sn-1=2n-8,(2)由由(1)知知,当当 n4 时时,an0;当当 n5 时时,an0;当当 n5 时时,Tn=-S4+Sn-S4=Sn-2S4故故 an=2n-8,n2.-14,n=1,=n2-7n-8-2(-20)当当 n4 时时,Tn=-Sn=-n2+7n+8,=n2-7n+32.故故 Tn=n2-7n+32,n5.-n2+7n+8,n4,3.已知数列已知数列 an 中中,a1=1,an+1=an+1(n N*),求求 an.12解法一解法一 an+1=an+1(n N*),1

5、2an=an-1+1,an-1=an-2+1.1212两式相减得两式相减得:an-an-1=(an-1-an-2)12an-an-1 是以是以 a2-a1=为首项为首项,公比为公比为 的等比数列的等比数列.1212an-an-1=()n-2=()n-1.121212an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+()2+()n-1 121212=2-21-n.即即 an=2-21-n.解法二解法二 由解法一知由解法一知 an-an-1=21-n,又又 an=an-1+1,12消去消去 an-1 得得 an=2-21-n.解法三解法三 an=an-1+1,12令令 an+=(

6、an-1+),12则则 =-2.an-2=(an-1-2).12an-2 是以是以 a1-2=-1 为首项为首项,公比为公比为 的等比数列的等比数列.1212an-2=-()n-1.即即 an=2-21-n.3.已知数列已知数列 an 中中,a1=1,an+1=an+1(n N*),求求 an.12 4.数列数列 an 的前的前 n 项和项和 Sn 满足条件满足条件 lgSn+(n-1)lgb=lg(bn+1+n-2),其中其中,b0 且且 b 1.(1)求数列求数列 an 的通项公式的通项公式;(2)若对若对n N*,n4 时时,恒有恒有 an+1an,试求试求 b 的取值范围的取值范围.解

7、解:(1)由已知得由已知得 lgSnbn-1=lg(bn+1+n-2),Snbn-1=bn+1+n-2(b1).Sn=b2+(b1).bn-1n-1-1当当 n=1 时时,a1=S1=b2-1;当当 n2 时时,an=Sn-Sn-1=b2+-b2-bn-1n-2bn-2 n-3bn-1 (1-b)n+3b-2=.bn-1 (1-b)n+3b-2 ,n2.b2-1,n=1,故故 an=(2)由已知由已知 对对 n4 恒成恒成立立.bn-1 (1-b)n+3b-2 bn (1-b)(n+1)+3b-2 即即(n-3)b2-2(n-2)b+(n-1)0 对对 n4 恒成立恒成立.亦即亦即(b-1)(

8、n-3)b-(n-1)0 对对 n4 恒成立恒成立.b1,b 对对 n4 恒恒成立成立.n-3 n-1n-3 n-1而而 当当 n=4 时有最大值时有最大值 3,b3.5.设设 Sn 是等差数列是等差数列 an 的前的前 n 项和项和.已知已知 S3 与与 S4 的等的等比中项为比中项为 S5,S3 与与 S4 的等差中项为的等差中项为 1,求等差数列求等差数列 an 的通项的通项 an.1513141314解法解法1:设等差数列设等差数列 an 的首项的首项 a1=a,公差为公差为 d,则通项公式为则通项公式为 an=a+(n-1)d,前前 n 项和为项和为 Sn=na+.n(n-1)d 2

9、 1314依题意有依题意有S3 S4=(S5)2,(S5 0)15S3+S4=2,1314由此可得由此可得:1314(3a+3d)(4a+6d)=(5a+10d)2,14(3a+3d)+(4a+6d)=2.13251整理得整理得 3ad+5d2=0,4a+5d=4.解得解得 d=0,a=1,或或 a=4.d=-,512an=1 或或 an=-n+.512532经验证知经验证知 an=1 时时,Sn=5;另一种情况时另一种情况时,Sn=-4,均合题意均合题意.an=1 或或 an=-n+即为所求数列即为所求数列 an 的通项公式的通项公式.512532解法解法2:Sn 是等差数列的前是等差数列的

10、前 n 项和项和,故可设故可设 Sn=an2+bn,依题意得依题意得:1314(a 32+b 3)(a 42+b 4)=(a 52+b 5)2,14(a 32+b 3)+(a 42+b 4)=2.13251解得解得 a=0,b=1,或或 b=.a=-,52665Sn=n 或或 Sn=-n2+n.52665在等差数列中在等差数列中,n2 时时,an=Sn-Sn-1,a1 亦适合公式亦适合公式.an=1 或或 an=-n+.512532整理得整理得 13a2+3ab=0,7a+2b=2.5.设设 Sn 是等差数列是等差数列 an 的前的前 n 项和项和.已知已知 S3 与与 S4 的等的等比中项为

11、比中项为 S5,S3 与与 S4 的等差中项为的等差中项为 1,求等差数列求等差数列 an 的通项的通项 an.1513141314解法解法3:Sn 是等差数列的前是等差数列的前 n 项和项和,数列数列 是等差数列是等差数列.Snn+=2 ,S33S55S44依题意得依题意得:=()2,S55S33S44+=2,S33S44解得解得:S4=4,S3=3,S5=5,或或 S4=,S3=,S5=-4,85524a4=S4-S3=1,a5=S5-S4=1 或或 a4=-,a5=-.528516an=1 或或 an=-n+.512532 5.设设 Sn 是等差数列是等差数列 an 的前的前 n 项和项

12、和.已知已知 S3 与与 S4 的等的等比中项为比中项为 S5,S3 与与 S4 的等差中项为的等差中项为 1,求等差数列求等差数列 an 的通项的通项 an.1513141314解法解法4:依题意依题意 S3=3a2,S4=2(a2+a3),S5=5a3,整理得整理得:3a2+a3=4,a2(a2+a3)=2a32,代入代入 S55S33S44+=2,S33S44 =()2,45解得解得 a2=1,a3=1,或或 a3=-.a2=,85an=1 或或 an=-n+.512532 5.设设 Sn 是等差数列是等差数列 an 的前的前 n 项和项和.已知已知 S3 与与 S4 的等的等比中项为比

13、中项为 S5,S3 与与 S4 的等差中项为的等差中项为 1,求等差数列求等差数列 an 的通项的通项 an.15131413146.已知已知 an+1=2+an(nN+),且且 a1=a,求求 an.12解解:a1=a a2=2+a 12=4-21+2-1a,故猜想故猜想:an=4-23-n+21-na,用数学用数学归纳归纳法法证证明如下明如下:a5=2+a4 12a3=2+a2=3+a 1214=4-20+2-2a,a4=2+a3=+a 127218=4-2-1+2-3a,=4-2-2+2-4a,=4-22+20a,证证明从略明从略.故故 an=4-23-n+21-na.解法二解法二:构造

14、等比数列求解构造等比数列求解(略略).7.设设数列数列 an 是公差不为是公差不为 0 的等差数列的等差数列,Sn 是数列是数列 an 的前的前 n 项和项和,且且 S32=9S2,S4=4S2,求数列求数列 an 的通项公式的通项公式.解解:设等差数列设等差数列 an 的公差为的公差为 d,由由 Sn=na1+及已知条件得及已知条件得:n(n-1)d 2(3a1+3d)2=9(2a1+d),4a1+6d=4(2a1+d),由由 得得:d=2a1,代入代入 有有:9a12=4a1.解得解得:a1=0 或或 a1=.49当当 a1=0 时时,d=0,与已知条件矛盾与已知条件矛盾,舍去舍去;当当

15、a1=时时,d=.4989an=+(n-1)=n-.49894989故数列故数列 an 的通项公式为的通项公式为 an=n-.4989 8.已知数列已知数列 an 是等差数列是等差数列,且且 a1=2,a1+a2+a3=12,(1)求数求数列列 an 的通项公式的通项公式;(2)令令 bn=an 3n,求数列求数列 bn 前前 n 项和的项和的公式公式.解解:(1)设数列设数列 an 的公差为的公差为 d,则由已知得则由已知得 3a1+3d=12,d=2.an=2+(n-1)2=2n.故数列故数列 an 的通项公式的通项公式为为 an=2n.(2)由由 bn=an 3n=2n 3n 得数列得数列 bn 前前 n 项和项和 Sn=2 3+4 32+(2n-2)3n-1+2n 3n 3Sn=2 32+4 33+(2n-2)3n+2n 3n+1 将将 式减式减 式得式得:-2Sn=2(3+32+3n)-2n 3n+1=3(3n-1)-2n 3n+1.Sn=+n 3n+1.3(1-3n)2又又 a1=2,