25与圆有关的比例线段（补充课时）.ppt

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1、弦切角弦切角弦切角弦切角$与圆有关的比例线段与圆有关的比例线段与圆有关的比例线段与圆有关的比例线段圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半的一半圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧也相等反之，相等的圆周角所对的弧也相等推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反之，推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反之，的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径观

2、察辨析观察辨析A D CBB ACB AC（切点）切点）（切点）（切点）m（切点）切点）ABCB A DC（切点）（切点）ABm.ABCO.ABOC.ABCO顶点在圆上顶点在圆上，并且，并且一边和圆相交一边和圆相交、另一边另一边和圆相切和圆相切的角叫做的角叫做弦切角弦切角。已知：如图，已知：如图，AB切切 O于点于点A,AC与与 O相交，相交，即：即：CAB是弦切角。是弦切角。CA丙CBA乙BCA甲BOOO18027090所夹弧所夹弧的度数的度数弦切角弦切角的度数的度数9013545猜想猜想:弦切角的度数等于它所弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。夹的弧的度数的一半。动手实验，猜想命题动手

3、实验，猜想命题通过测量得到弦切角度数。通过测量得到弦切角度数。已知如图1，图2，图3，所示，AC是O的弦，AB是O的切线，是弦切角 所夹的弧，是 所对的圆周角。求证 证证明：作弦明：作弦PD/AB交交 O于于D，连结连结AD，则则 又因为 所以 由于AB是O的切线所以 从而 于是 OBDACP相交弦定理：相交弦定理：OBDACPOBDACPOBA(C,P)DOBDACP如图如图,已知点已知点P为为 O外一点外一点,割线割线PBA、PDC分别交分别交 O于于A、B和和C、D.求证求证:PAPB=PCPD.证法证法2：连接：连接AC、BD，四边形四边形ABDC为为 O 的内的内接四边形接四边形,P

4、DB=A，又又 P=P,PBD PCA.PD：PA=PB：PC.PAPB=PCPD.割线定理：割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.OCPADB点点P从圆内移动到圆外从圆内移动到圆外PAPB=PCPDOBDACPPAPB=PCPDOCPADBOA(B)PCD如图如图,已知点已知点P为为 O外一点，外一点，PA切切 O于点于点A，割线，割线PCD 交交 O于于C、D.求证：求证：PA2=PCPD.证明：连接证明：连接AC、AD，PA切切 O于点于点A,D=PAC.又又 P

5、=P,PAC PDA.PA：PD=PC：PA.PA2=PCPD.切割线定理切割线定理:从圆外一点引圆的切线和条割线从圆外一点引圆的切线和条割线,切线长切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项.ODPCA点点P P从圆内移从圆内移动到圆外动到圆外.相交弦定理相交弦定理PAPB=PCPDOBDACP割线定理割线定理PAPB=PCPDOCPADBOA(B)PCDOA(B)PC(D)思考：从这几个定理的结论里大家能发现什么共同点？思考：从这几个定理的结论里大家能发现什么共同点？1.结论都为乘积式结论都为乘积式;2.几条线段都是从同一点出发几条线段都

6、是从同一点出发;3.都是通过三角形相似来证明（都隐含着三角形相似）都是通过三角形相似来证明（都隐含着三角形相似）.PC切切O于点于点C=PAPB=PC切割线定理切割线定理OBPCA割线割线PCD、PAB交交O于点于点C、D和和A、B=PAPB=PCPD割线定理割线定理OBCADPAB交交CD于点于点P=PAPB=PCPD相交弦定理相交弦定理OBPCADOA(B)PC(D)BADCOBPCADODPATBCOCPADBE练习练习3.如图如图,A是是 O上一点上一点,过过A切线交直径切线交直径CB的延长线于点的延长线于点P,ADBC，D为垂足为垂足.求证：求证：PB:PD=PO:PC.分析：要证明

7、分析：要证明PB：PD=PO：PC,很很明显明显PB、PD、PO、PC在同一直线在同一直线上无法直接用相似证明，上无法直接用相似证明，且在圆里的且在圆里的比例线段通常化为乘积式来证明比例线段通常化为乘积式来证明,所所以可以通过证明以可以通过证明PB PC=PD PO,而而由由切割线定理有切割线定理有PA2=PB PC,只需再只需再证证PA2=PD PO，而，而PA为切线为切线,所以所以连接连接OA,由射影定理由射影定理 得到得到.OBECADFG例例3如图，两圆相交于如图，两圆相交于A、B两点，两点，P为两圆公共弦为两圆公共弦AB上任意一点，从上任意一点，从P引引两圆的切线两圆的切线PC、PD

8、，求证：，求证：PC=PD.PC2=PAPB,PD2=PAPB.CPADB PC2=PD2.即即PC=PD例例4如图，如图，AB是是O的直径，过的直径，过A、B引两条弦引两条弦AD和和BE，相交于点，相交于点C求证：求证：ACAD+BCBE=AB2AEDCBFO证明：连接证明：连接AC、AD，过，过C作作CF AB,与与AB交于交于FAB是是 O的直径，的直径，AEB=ADB=900.又又 AFC=900,A、F、C、E四点共圆四点共圆.BCBE=BFBA.(1)同理可证同理可证F、B、D、C四点共圆四点共圆.ACAD=AFAB.(2)(1)+(2)可得可得 ACAD+BCBE=AB(AF+B

9、F)=AB2.例例5如图，如图，AB、AC是是 O的切线，的切线，ADE是是 O的割线，连接的割线，连接CD、BD、BE、CE.CD:CE=AC:AE,CDAE=ACCE.(2)同理可证同理可证BDAE=ACCE.(3)AC=AB,由由(2)(3)可得可得BECD=BDCE.(4)探究探究1:由已知条件可知由已知条件可知ACD=AEC,而而CAD=EAC,ADCACE.(1)CAOBEDCAOBEDCAOBEDGF探究探究2:连接连接FG.与探究与探究1所得到的结论相比较所得到的结论相比较,可以猜想可以猜想ACD AEC.下面给出证明下面给出证明.AB2=ADAE,而而AB=AC,ADCACE

10、.(5)而而CAD=EAC,AC2=ADAE,同探究同探究1的思路，还可得到探究的思路，还可得到探究1得出的结论得出的结论(2)(3)(4).另一方面，由于另一方面，由于F、G、E、D四点共圆四点共圆.CFG=AEC.又又 ACF=AEC.CFG=ACF.故故FG/AC.(6)你还能推出其他结论吗？你还能推出其他结论吗？探究探究3:可以推出探究可以推出探究1 1、2 2中得到的中得到的(1)(6)(1)(6)的所有的所有结论结论.CAOBEDGFCAOBEDPQG AC/DG.ADCACE.连接连接BD、BE,延长延长GC到到P,延长延长BD交交AC于于Q,则则PCQ=PGD DBE,所以所以

11、C、E、B、Q四点共圆四点共圆.你还能推出其他结论吗？你还能推出其他结论吗？练习练习4.如图如图,过过 O外一点外一点P作两条割线作两条割线,分别交分别交 O于点于点A、B和和C、D.再作再作 O的切线的切线PE,E为切点为切点,连接连接CE、DE.已知已知AB=3cm,PA=2cm,CD=4cm.（1）求）求PC的长的长;（2）设）设CE=a,试用试用含含a的代数式表示的代数式表示DE.解：（解：（1）由切割线定理，得）由切割线定理，得PC PD=PA PBOPDEBAC解得：解得：(负数不合题意，舍去负数不合题意，舍去)OPDEC练习练习5.如图：过点如图：过点A作作 O的两条割线的两条割

12、线,分别分别交交 O于于B、C和和D、E.已知已知AD=4,DE=2,CE=5,AB=BC.求求AB、BD.练习练习6.如图：如图：PA切切 O于于A，PBC是是 O的割线的割线.已知已知 O的半的半径为径为8，PB=4，PC=9.求求PA、PO.OAECDBOPCAB课堂小结课堂小结1、这节课我们学习了相交弦定理、割线定理、切割线定、这节课我们学习了相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理，要特别注意它们之间的联系与区别。理、切线长定理，要特别注意它们之间的联系与区别。2、要注意圆中的比例线段的结论的特点及实际中的用。、要注意圆中的比例线段的结论的特点及实际中的用。3、圆中的比例线段在实际应用中也非常重要，注意与、圆中的比例线段在实际应用中也非常重要，注意与 代数、几何等知识的联系及应用代数、几何等知识的联系及应用