【教案】平面向量加、减数乘坐标表示教学设计高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.docx

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1、第7课时平面向量加减、数乘运算坐标表示学习指南一、教学内容解析及其解析1.内容：平面向量正交分解及平面向量加减、数乘运算坐标表示2.内容解析：内容本质：本节内容是平面向量一种新的表示方：向量的坐标表示，是本章的重点内容之一，也是培养学生自主学习能力的良好题材.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.学习这一节为以后学习数量积的坐标运算打下基础.蕴含的数学思想和方法：平面向量的坐标表示蕴含的数学思想有转化与划归，方程组思想等.本节课学习过程中，能很好的体现数形结合解

2、决几何问题的路径和方法，将几何问题代数化的表示出来，以简驭繁.知识的上下位关系：育人价值：向量是沟通几何与代数的桥梁，在数学和物理学科中具有广泛的应用向量的坐标表示建将向量表示代数化，能提升数学运算、直观想象等素养教学重点：向量的坐标表示、向量加减、数乘运算坐标表示.二、学习目标及其解析学习目标1.通过自主探究，掌握平面向量加、减，数乘运算的坐标表示；并能用向量的坐标运算解决相关问题；2.经历探究共线向量的坐标之间的关系过程，用坐标表示两个向量的充要条件，体会引入向量坐标表示可用数量关系直接刻画向量之间的关系，发展学生逻辑推理核心素养.3.通过运用向量坐标形式解决平面几何问题的过程，发现中点坐

3、标公式，体会用数的运算结果解释向量之间位置关系的思想方法.目标解析1. 学生能说出平面向量的正交分解与平面向量基本定理的内在联系，能够熟练地选择正交基底，通过建立直角坐标系，能够将向量进行坐标表示；2. 能够在平面向量坐标表示的基础上，推导出坐标表示的平面向量的加法、减法与数乘运算；能够进行坐标表示下的平面向量的加、减运算与数乘运算；3. 学生能够灵活应用平面向量加减、数乘运算的坐标表示解决问题，能够推导出两个非零向量共线的充要条件，能够推导出中点坐标公式，以及定比分点公式，掌握坐标法和基底发在解决平面几何问题中的应用.三、问题诊断分析前面学习了平面向量基本定理，正交分解是一种特殊形式，给研究

4、问题带来方便，从而引入向量的坐标表示，学生能够比较好的理解平面向量坐标表示的意义，并能够根据平面向量的坐标表示推导出平面向量加法减、数乘运算的坐标表示；能够根据共线定理获得两个非零向量共线的充要条件的代数表示，在研究定比分点公式过程中，学生可以用坐标法或者基底法进行解决，对学生的基础能力有一定要求，一些学生很难灵活应对。教学难点：平面向量坐标表示应用（定比分点公式推导）.四、 教学设计课堂小结概念应用概念延伸新知探究知识回顾第1课时平面向量加减、数乘坐标表示环节一知识回顾1、两个非零向量共线充要条件？（一维）2、平面向量的基本定理内容？（二维）环节二新知探究【问题1】给定一个向量是否可以分解为

5、互相垂直的两个向量，这种分解是唯一的吗？【预设】可以，平面向量基本定理指出，平面上给定两个不共线的向量，则任意向量均可分解为分别与它们共线的两个向量.如果这两个不共线的向量互相垂直，这是一种特殊的情况，我们把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.这种分解唯一.【追问1】直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？【预设】在直角坐标系内，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底.对于平面内任意的向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数使得这样，平面内的任意向量都可由唯一确定.我们把有序数对叫做向量的坐标，记作.其中

6、叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标,上式叫做向量的坐标表示.显然,.【追问2】给定一个向量为什么可以这样进行坐标表示？【预设】平面向量可以正交分解，当分解为轴和轴正方向时，取两个方向上的单位向量为一个基底时，这种分解存在且唯一，体现了向量与有序数对一一对应的关系.【问题2】如图，点A的坐标与向量的坐标有什么联系？【预设】在直角坐标平面内，以原点为起点作，则点的位置由向量唯一确定.设，则向量的坐标就是终点的坐标；反过来，终点的坐标也就是向量的坐标.这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系，即在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.注：相等向量坐标相同例1.如图，分别用基底

7、表示向量,并求出它们的坐标. 路径1 ，所以.同理路径2 ，则.利用对称性可得.设计意图：通过类比平面直角坐标系中点的坐标可以用有序数对表示，从平面向量正交分解的角度考虑平面向量的坐标表示，得到平面向量坐标表示的方法.并通过建立向量坐标表示过程，加深对平面向量基本定理的理解和认识.环节三概念延伸【问题3】根据向量坐标表示的定义，已知向量向量你能推导出的坐标吗？【预设】在平面直角坐标系中，设与轴，轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为一组正交分解的基底，则向量可以分解为.同理，向量的坐标为，即向量可由与轴、轴方向相同的两个单位向量向量和向量表示为得到，从而得到向量的坐标表示，即向量.同理，我们也

8、可利用上述方法，得到向量和向量的差为.，所以.文字语言：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设计意图：学生自主推导，从已知向量出发，利用向量的正交分解，将向量分解为用向量和向量的表达式，通过向量已有的加、减、数乘运算，得到和向量、差向量、以及数乘运算后所得向量的表达式.在正交分解情景下，从而得到加、减、数乘运算的坐标表示.实现了从已知向量坐标到向量线性运算后所得向量坐标的研究路径.【追问1】如图，已知向量，你能用的坐标表示出的坐标吗？【预设】=-.所以.结论1任意向量坐标=终点坐标-起点坐标设计意图：运用向量的减法获得

9、向量用起点和终点来进行坐标化表示的结论.向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与向量所在的位置无关；当一个向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变；在求一个向量的坐标时，可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再用终点坐标减去起点坐标即可得到该向量的坐标.对于求向量坐标转化为确定起点和终点坐标.【问题5】设（其中），如何用坐标表示两个向量共线的条件？【预设】向量共线的充要条件是存在唯一实数，使，用坐标表示为即得到当时，由方程得，此时，条件成立.当时，由方程得，此时，条件仍然成立.这就是说，向量共线的充要条件是.结论2向量（其中），共线的充要条件是.方法总结：将

10、已有的向量形式的充要条件坐标化，利用坐标运算，得到坐标形式下的充要条件，本质上是将几何的问题代数化的一个过程，这也为我们后续解决向量共线问题提供了两条路径.【追问】已知判断三点之间的关系.【预设】因为，又所以.直线，直线有公共点，所以三点共线.方法总结：首先将证明三点共线的问题转化为证明具有公共点的两个向量，向量，共线的问题，应用了坐标形式下的向量共线的充要条件，证明了向量，共线.设计意图：平面向量的坐标表示建立了向量几何与代数运算的关系，通过用坐标表示两个非零向量共线的充要条件的推导，代数运算对向量位置关系的刻画.证明三点共线，体会用代数运算证明几何图形关系的基本方法和路径.环节四概念应用例

11、2.如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，试求顶点的坐标.【预设】解法1：设顶点坐标为.因为；所以即，解得所以顶点的坐标为.解法2：由向量加法的平行四边形法则可知所以顶点的坐标为.方法总结：解法1找寻题目中的等量关系，直接设未知量求解，解题过程中应用了方程思想.解法2利用平面向量加法的平三角形法则，通过求解向量OD的坐标，进而得到点D的坐标，解题过程中应用了数形结合的思想方法.两种方法的解题核心是不变的，都是通过找寻一组相等的向量，其中一个向量已知，另一个未知，利用坐标的相等，建立方程组求解.设计意图：设点的坐标，通过向量相等建立方程组，平面向量三角形法则和平行四边形法则的运用等，体会坐

12、标法为向量的运算带来的方便，掌握坐标法求解向量问题的基本方法.例3.设点是线段上的一点，点的坐标分别为 ,（1）当是线段的中点时，求点的坐标；（2）当是线段的一个三等分点时，求点的坐标.【预设】方法1.（1）当是线段的中点时，因为的坐标分别是，所以向量由向量的线性运算可知所以点的坐标是.（2）有两种情况，当时，如左图同理当时，可求得综上，的坐标为或【追问1】如图，线段的端点的坐标分别为，点是直线上的一点，当时，点的坐标是什么？【追问2】参数变化，有什么样的位置关系？【预设】时，在的右侧；时，在的左侧；特别的，时，(重合)重合，与已知条件为线段的端点矛盾，因此.【预设】由得，（O为原点）于是，因

13、此，注意：这就是定比分点公式的向量形式为了得到公式的坐标形式，我们把向量的坐标代入：设，则，于是有这就是线段的定比分点公式当1时，就得到中点坐标公式归纳总结：（1）定义：设是直线上的两点，点是上不同于的任意一点，则存在一个实数使,叫做点分有向线段所成的比.点叫做定比分点.（2）公式：设，则点坐标为，（）称为定比分点坐标公式，当时，点的坐标是显然，中点坐标公式是定比分点坐标公式的一种特例.方法总结：将所求的点坐标转化为一个向量的坐标，利用几何关系，找到向量的线性运算表达式，再将向量表达式坐标化，得到所求向量的坐标，最终求出所求点的坐标.形成了从代数问题，转化为几何图形问题，再回到代数问题的一个回

14、路.环节五课堂小结1、 通过本节课的学习你有哪些收获？2、 在用向量法解决平面几何问题中，你有哪些新的启示？3、 通过本节课学习你对平面向量既是代数研究对象又是几何研究对象有哪些认识？环节六课堂检测1.已知，求，的坐标.2.当为何值时，共线3.若点，则是否共线4.已知点，向量，点是线段的三等分点，求点的坐标.环节七拓展提升问题1：推导两点间距离公式问题2：如图，在直角梯形中，是线段上的动点，则的最小值为（）A. B.6 C. D. 4【预设】坐标法：建立平面直角坐标系，写出各个点对应坐标设，因为，所以，所以所以，所以当且仅当，即时，最小值为6 .方法2：所以时最小，此时，所以最小值为6. 归纳

15、总结：坐标法求平面几何问题基本步骤：（1）建立合适直角坐标系；（2）写出对应点在坐标，运用平面几何中的位置关系和数量关系用向量进行计算和表示；并利用向量计算进行证明；（3）将证明问题转化成平面几何问题进行回答.环节八课后作业A组1.向量，则=()A.10B.(5,5)C.(5,6)D.(5,7)2.已知，若，则等于()A.(-2,6)B.(-4,0)C.(7,6)D.(-2,0)3.已知向量若与非零向量共线,则mn等于()A.B.2C.D.4.已知向量.若,则=.5.已知OA=(-2,m),OB=(n,1),OC=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n=.B组1.已知

16、三个顶点的坐标分别为，为的重心，求点的坐标.2.在矩形中，为矩形（不含边界）一点，且，若，则的最大值为_.一、选择题1.答案：B解析：向量a=(2,3),b=(1,-1),2a+b=(5,5),故选B.2.答案D解析a-3b+2c=0,(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),即2x-5+9=0,2y+6-6=0,x=-2,y=0,即c=(-2,0).故选D.3.答案C解析因为向量a=(2,3),b=(-1,2),所以a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),ma+nb=(2m-n,3m+2n).因为a-2b与非零向量ma+nb共线,所以2m-n4=3m+2n-1,解得14m=-7n,mn=-12.4.答案12解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,),由c(2a+b),得4-2=0,得=12.5.答案9或92解析AB=OB-OA=(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),BC=OC-OB=(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2).因为A,B,C共线,所以AB与BC共线,所以-2(n+2)=(1-m)(5-n).又m=2n,解组成的方程组得m=6,n=3或m=3,n=32.所以m+n=9或m+n=92.学科网（北京）股份有限公司