线性代数二次型讲义.ppt

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1、通识教育平台数学课程系列教材通识教育平台数学课程系列教材第一节第一节第一节第一节 二次型及其标准形二次型及其标准形二次型及其标准形二次型及其标准形 第二节第二节第二节第二节 正交变换法化二次型为标准形正交变换法化二次型为标准形正交变换法化二次型为标准形正交变换法化二次型为标准形第三节第三节第三节第三节 化二次型为标准形的其他方法化二次型为标准形的其他方法化二次型为标准形的其他方法化二次型为标准形的其他方法第四节第四节第四节第四节 二次型的分类二次型的分类二次型的分类二次型的分类 第五节第五节第五节第五节 二次型在直角坐标系下的分类二次型在直角坐标系下的分类二次型在直角坐标系下的分类二次型在直角

2、坐标系下的分类 1 1了解二次型及其矩阵表示。了解二次型及其矩阵表示。2 2会用正交变换法化二次型为标准形。知道化会用正交变换法化二次型为标准形。知道化二次型为标准形的配方法。二次型为标准形的配方法。3 3知道惯性定律、二次型的秩、二次型的正定知道惯性定律、二次型的秩、二次型的正定性及其判别法。性及其判别法。本章学习要求：本章学习要求：对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用“理解”、“了解”、“知道”三级来表述；对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。二次型就是二次多项式二次型就是二次多项式.在解析几何中讨论的有心二在解析几何中讨论

3、的有心二次曲线次曲线,当中心与坐标原点重合时当中心与坐标原点重合时,其一般方程是其一般方程是 ax2+2bxy+cy2=f (1)方程的左端就是方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式的一个二次齐次多项式.为了便于为了便于研究这个二次曲线的几何性质研究这个二次曲线的几何性质,通过基变换通过基变换(坐标变换坐标变换),把把方程方程(1)化为不含化为不含x,y混合项的标准方程混合项的标准方程 ax2+cy2=f (2)在二次曲面的研究中也有类似的问题在二次曲面的研究中也有类似的问题.考察：方程考察：方程表示表示 x y 平面上一条怎样的曲线？图形如何？平面上一条怎样的曲线？图形如何？将将 x y

4、坐标系逆时针旋转坐标系逆时针旋转/4，即令，即令则得此曲线在新的则得此曲线在新的 u v 坐标系下的方程坐标系下的方程上述问题从几何上看，就是通过坐标轴旋转，消去式子上述问题从几何上看，就是通过坐标轴旋转，消去式子中的交叉项，使之成为标准方程中的交叉项，使之成为标准方程.而其中坐标轴的旋转所表示的线性变换是正交变换而其中坐标轴的旋转所表示的线性变换是正交变换.综上所述，从代数学的角度看，上述过程是通过正交变综上所述，从代数学的角度看，上述过程是通过正交变换将一个二次齐次多项式化为只含有平方项的二次多项换将一个二次齐次多项式化为只含有平方项的二次多项式式.二次型就是二次齐次多项式二次型就是二次齐

5、次多项式.定义定义第七章 二次型与二次曲面二次齐次多项式二次齐次多项式f(x,y,z)=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2 a13xz+2 a23yz称为称为实二次型实二次型实二次型实二次型.其中其中aij 为实常数为实常数.一、二次型的矩阵表示一、二次型的矩阵表示一、二次型的矩阵表示一、二次型的矩阵表示 取取 a21=a12,a31=a13,a32=a23,从而从而,2a12xy=a12xy+a21yx,2a13xz=a13xz+a31zx,2a23yz=a23yz+a32zy.f =a11x2 +a12xy+a13xz +a21yx+a22y2+a23yz+a31zx+a

6、32zy+a33z2=x(a11x+a12y+a13z)+y(a21x+a22y+a23z)+z(a31x+a32y+a33z)第七章 二次型与二次曲面=XT AX.称称 A 为二次型为二次型 f 的矩阵，它是一个对称矩阵的矩阵，它是一个对称矩阵.三元实二三元实二 次型次型 f三阶实对称矩阵三阶实对称矩阵 A一一对应一一对应AX例 2 第七章 二次型与二次曲面例 11251111解解解解上一页,例 2 第七章 二次型与二次曲面上一页例 2若二次型若二次型 f 的矩阵为的矩阵为试写出试写出 f.解解解解例 2 第七章 二次型与二次曲面练习1341010解解解解上一页,例 2 第七章 二次型与二次

7、曲面上一页练习若二次型若二次型 f 的矩阵为的矩阵为试写出试写出 f.解解解解定义定义1 1第七章 二次型与二次曲面n n 元二次型及其矩阵表示元二次型及其矩阵表示元二次型及其矩阵表示元二次型及其矩阵表示称称 n 元实二次齐次式元实二次齐次式为为 n n 元实二次型元实二次型元实二次型元实二次型.记记 aij=aji,则则记记 X=(x1,x2,xn)T,A=(aij)n n,则则f(x1,x2,xn)=X TAX,其中其中 A 称为二次型的矩阵，称为二次型的矩阵，A A 的秩称为二次型的秩的秩称为二次型的秩的秩称为二次型的秩的秩称为二次型的秩.第七章 二次型与二次曲面 由于由于aij =aj

8、i,所以所以 A T=A,A中中 aii 是是 xi2 的系数的系数,aij 是交叉项是交叉项 xixj 系数的一半系数的一半.注注:n 元实二次型元实二次型 fn 阶实对称矩阵阶实对称矩阵 A一一对应一一对应定义定义2 2称只含平方项的二次型称只含平方项的二次型 为为标准二次型标准二次型标准二次型标准二次型.n 元标准二次型元标准二次型 fn 阶对角阶对角 矩矩 阵阵一一对应一一对应第七章 二次型与二次曲面二、矩阵间的合同关系二、矩阵间的合同关系二、矩阵间的合同关系二、矩阵间的合同关系思思思思考考考考：二二次次型型 f =X TAX 经经过过满满秩秩线线性性变变换换 X=CY 后后还是二次型

9、吗还是二次型吗?对于二次型对于二次型 f =X TAX，作满秩变换，作满秩变换 X=CY ,则则 f =X TAX=(CY)TA(CY)=Y T(C TAC)Y .而而 (C TAC)T =C TAT(C T)T=C TAC ,所以所以 f =Y T(C TAC)Y 仍是关于新变量仍是关于新变量 Y 的二次型的二次型,且二次型的矩阵为对称矩阵且二次型的矩阵为对称矩阵 B=C TAC.满秩变换满秩变换 X=CYf=X TAXF =Y TBY B =C TAC定义定义3 3第七章 二次型与二次曲面对于对于 n 阶实对称矩阵阶实对称矩阵 A 和和 B，若存在可逆矩若存在可逆矩阵阵 P 使使P TAP

10、=B则则称称称称 A A 合同于合同于合同于合同于B B，记作记作 A B 因此，二次型经满秩线性变换后所得的新二次型，因此，二次型经满秩线性变换后所得的新二次型，其矩阵与原二次型的矩阵是合同的其矩阵与原二次型的矩阵是合同的.上一页合同矩阵的性质：合同矩阵的性质：XTAXYTBY经满秩的线性变换经满秩的线性变换 X=PYAB左乘以左乘以PT且右乘以且右乘以P定义定义如果满秩变换如果满秩变换 X=CY 将二次型将二次型 f =X TAX 化化成了标准二次型成了标准二次型 的一个的一个标准形标准形标准形标准形.为为 f =X TAX上一页三、二次型的标准形三、二次型的标准形三、二次型的标准形三、二

11、次型的标准形这样的矩阵这样的矩阵 C 是否存在？是否存在？定理定理1 1对任意的实二次型对任意的实二次型 f=XTAX,一定存在满秩一定存在满秩线性变换线性变换 X=CY,使二次型化为标准形使二次型化为标准形.推论推论 1 1任意给定一个实对称矩阵任意给定一个实对称矩阵A,一定存在可逆矩阵一定存在可逆矩阵 C,使得使得 CTAC 为对角矩阵为对角矩阵.定义定义回顾：正交变换的概念回顾：正交变换的概念回顾：正交变换的概念回顾：正交变换的概念设设 是是 n 维欧氏空间维欧氏空间 Rn 上的线性变换，若对上的线性变换，若对任意的任意的 X,Y Rn,有有|(X)(Y)|=|X Y|,则称则称 为为

12、Rn 上的上的正交变换正交变换正交变换正交变换.第七章 二次型与二次曲面定理定理设设 是是欧欧氏氏空空间间 Rn 上上的的线线性性变变换换，则则下下列列四四个条件等价个条件等价(互为充分必要条件互为充分必要条件).(1)为正交变换为正交变换.(2)把把 Rn 的标准正交基变为标准正交基的标准正交基变为标准正交基.(3)|()|=|,Rn(保持向量长度不变保持向量长度不变).(4)(X),(Y)=(X,Y)(保内积不变保内积不变).定义定义正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交变换在标准正交基下所对应的矩阵正交变换在标准正交基下所对应的矩阵称为称为正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵.第七章 二次型与

13、二次曲面定理定理 A 是正交矩阵是正交矩阵 ATA=E(或或AAT=E).正交矩阵有如下性质：正交矩阵有如下性质：定理定理 定理定理 设设 A 是正交矩阵是正交矩阵，则，则(1)|A|=1.(2)A 1=AT.设设 A 是正交矩阵是正交矩阵 A 的列的列(行行)向量组向量组为相互正交的单位向量组为相互正交的单位向量组.一、实对称方阵的对角化一、实对称方阵的对角化一、实对称方阵的对角化一、实对称方阵的对角化定理定理 1 1实对称方阵的特征值都是实数实对称方阵的特征值都是实数.证证设设 是实对称方阵是实对称方阵 A 的特征值，的特征值，X 是对应的特征是对应的特征向量，即向量，即将上式两边同时转置

14、，由将上式两边同时转置，由 A 的对称性，得的对称性，得而而因此，因此，定理定理 2 2实对称方阵的不同的特征值对应的特征向量实对称方阵的不同的特征值对应的特征向量必正交必正交.证证 设设 1,2 是实对称方阵是实对称方阵 A 的两个不同的特征值，的两个不同的特征值，X1,X2 是对应的特征向量，即是对应的特征向量，即因为因为 A 的对称性，得的对称性，得从而，从而，因此，因此，定理定理 3 3 若若 是是 n 阶实对称方阵阶实对称方阵 A 的的 k 重特征值，则重特征值，则 A 对对应于应于 的线性无关特征向量的最大个数均为的线性无关特征向量的最大个数均为 k.实对称方阵相似于一实对称方阵相

15、似于一 个对角阵吗？个对角阵吗？回答是肯定的！回答是肯定的！单击单击 此处此处 可查阅进一步内容可查阅进一步内容定理定理 4 4对对于于任任一一个个n 阶阶实实对对称称方方阵阵 A,必必存存在在一一个个正正交交方方阵阵 P 使使 PTAP 为为对对角角形形，且且 PTAP 的的对对角角线线上上的的元元素素均均为为 A 的的 n 个个特特征征值值(重重数数计计算算在在内内),P 的的列列向向量量为为相相应应于于 n 个个特特征征值值的的标标准准正正交交特特征征向量向量.证证证证证证设实对称方阵设实对称方阵 A 的特征值为的特征值为（重根计算在内），则由定理（重根计算在内），则由定理3 知，知，记

16、记从而，从而，定理定理 5 5任意一个任意一个 n 元实二次型元实二次型都存在正交变换都存在正交变换 X =QY 使得使得其中其中 1,2,n 就是就是 A 的全部特征值的全部特征值,Q 的的 n 个列向量是个列向量是 A 的对应于特征值的对应于特征值 1,2,n 的标准正交特征向量的标准正交特征向量.第七章 二次型与二次曲面例 1求正交矩阵求正交矩阵 Q 使使 QTAQ 成对角形矩阵，并求此成对角形矩阵，并求此对角形矩阵对角形矩阵.其中其中 解解解解=(2)(2 6 +5)=0,A 的特征值为的特征值为 1=1,2=2,3=5.1=1 时时,由由(E A)X=0,即即上一页第七章 二次型与二

17、次曲面解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为 1 =(0,1,1)T;2 =2 时时,由由(2E A)X=0,解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为 2 =(1,0,0)T;3 =5 时时,由由(5E A)X=0,解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为 3=(0,1,1)T.上一页将将 1,2,3 单位化，得单位化，得故所求的正交变换矩阵为故所求的正交变换矩阵为Q=01000对对应应于于特特征征值值1 1对对应应于于特特征征值值2 2对对应应于于特特征征值值5 5且且Q TAQ=第七章 二次型与二次曲面上一页第七章 二次型与二次曲面二、正交变换法化二次型为标准形二、正交变换法化二次型为标

18、准形二、正交变换法化二次型为标准形二、正交变换法化二次型为标准形1.写出二次型写出二次型 f 的矩阵的矩阵 A,并求并求 A 的全部特征值的全部特征值 1,2,n(重数计算在内重数计算在内).2.求求出出各各特特征征值值的的特特征征向向量量；若若 i 是是 k 重重根根时时，找找出出 i 的的 k 个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量，并并用用施施特特正正交化方法将它们正交化交化方法将它们正交化.步骤：步骤：3.将将所所得得的的 n 个个正正交交向向量量再再单单位位化化，得得 n 个个两两两两正正交交的单位向量的单位向量 P1,P2,Pn,记记 P=P1,P2,Pn.则则 X=PY 为所求

19、正交变换，为所求正交变换，f 的标准形为的标准形为例 1求一个正交变换求一个正交变换 X=QY 化二次型化二次型成标准形成标准形.二次型的矩阵二次型的矩阵解解解解A 的特征值是的特征值是 1=2=3=1,4=-3.上一页对于对于 4=-3,从而可取特征向量从而可取特征向量 1=(1,1,0,0)T,2=(0,0,1,1)T 和和 3=(1,-1,1,-1)T.上一页对于对于 1=2=3=1,通过求齐次线性方程组通过求齐次线性方程组(A-E)X=0,得到其基础解系得到其基础解系并正交化并正交化:从而可取特征向量从而可取特征向量4=(1,-1,-1,1)T.将上述相互正交的特征向量单位化，得将上述

20、相互正交的特征向量单位化，得则在正交变换则在正交变换下，二次标准形为下，二次标准形为第七章 二次型与二次曲面例 2求一个正交变换化二次型求一个正交变换化二次型成标准形成标准形.二次型的矩阵二次型的矩阵解解解解A 的特征多项式为的特征多项式为A 的特征值是的特征值是 1=2=0,3=9.上一页第七章 二次型与二次曲面对于对于 1=2=0,从而可取特征向量从而可取特征向量 p 1=(0,1,1)T及与及与 p1 正交的另一特征向量正交的另一特征向量 p2=(4,1,1)T.上一页对于对于 3=9,取特征向量取特征向量 p3=(1,2,2)T.第七章 二次型与二次曲面将上述相互正交的特征向量单位化，

21、得将上述相互正交的特征向量单位化，得属于特征属于特征值值0属于特征属于特征值值9则存在正交变换则存在正交变换使二次型化为标准形使二次型化为标准形上一页练习解解解解第七章 二次型与二次曲面 已知二次型已知二次型通过正交变换化成标准形通过正交变换化成标准形求参数求参数 a 及及有所用的正交变换矩阵有所用的正交变换矩阵.二次型二次型 f 的矩阵的矩阵特征方程为特征方程为=(2)(2 6 +9 a2)=0,A 的特征值为的特征值为 1=1,2=2,3=5.第七章 二次型与二次曲面将将 =1(或或 =5)代入特征方程，得代入特征方程，得a2 4=0,a=2.因因 a 0,故取故取 a=2.这时，这时，1

22、=1 时时,由由(E A)X=0,即即解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为 1=(0,1,1)T,2=2 时时,由由(2E A)X=0,解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为 2=(1,0,0)T,第七章 二次型与二次曲面 3=5时时,由由(5E A)X=0,解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为 3=(0,1,1)T.将将 1,2,3 单位化，得单位化，得故所求的正交变换矩阵为故所求的正交变换矩阵为T=01000上一页第七章 二次型与二次曲面练习解解解解已知二次型已知二次型的秩为的秩为 2,(1)求参数求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值及此二次型对应矩阵的特征值.(2)指出方程指

23、出方程 f(x1,x2,x3)=1 表示何种二次曲面表示何种二次曲面.(1)此二次型对应矩阵为此二次型对应矩阵为因因 r(A)=2,解得解得 c=3.第七章 二次型与二次曲面这时，这时，=(4)(9),故所求特征值为故所求特征值为 =0,=4,=9.(2)由上述特征值可知二次型由上述特征值可知二次型 f 通过变换，可化通过变换，可化为标准形为为标准形为那么那么 f(x1,x2,x3)=1 表示椭圆柱面表示椭圆柱面.三、正交变换法化二次型为标准形在几何方面的应用三、正交变换法化二次型为标准形在几何方面的应用三、正交变换法化二次型为标准形在几何方面的应用三、正交变换法化二次型为标准形在几何方面的应

24、用设设 X=(x,y,z)T，则三元二次型，则三元二次型 XTAX 可以看作空间向量可以看作空间向量的函数，其中的函数，其中在标准基在标准基1，2，3下的坐标就是下的坐标就是 X.作满秩线性变换作满秩线性变换 X=CY，所得新的二次型，所得新的二次型 YTCTACY 就是就是关于空间向量关于空间向量在另一组基在另一组基1，2，3下的坐标下的坐标 同一空间曲面在不同空间直角坐标系中的方程同一空间曲面在不同空间直角坐标系中的方程第七章 二次型与二次曲面当当 n=1 时，二次型时，二次型已经是标准形已经是标准形.证证证证一、配方法一、配方法一、配方法一、配方法定理定理1 1对任意的实二次型对任意的实

25、二次型 f=XTAX,一定存在满秩一定存在满秩线性变换线性变换 X=CY,使二次型化为标准形使二次型化为标准形.假设对假设对n-1-1元的二次型，结论成立元的二次型，结论成立.考虑考虑n元二次型元二次型当上面的二次型的矩阵当上面的二次型的矩阵 A 为零矩阵时，结论成立为零矩阵时，结论成立.下面假定下面假定 A 不为零矩阵不为零矩阵.分两种情形讨论：分两种情形讨论：情形情形情形情形 I.I.I.I.A 的主对角元中至少有一个不为零，不妨设的主对角元中至少有一个不为零，不妨设a1111不为零不为零.这时这时其中，其中，令令或或显然上述变换为一个满秩的线性变换，将原二次型化为显然上述变换为一个满秩的

26、线性变换，将原二次型化为由归纳假定，对于由归纳假定，对于n-1-1二次型二次型存在满秩线性变换存在满秩线性变换使之成为标准形，即使之成为标准形，即于是满秩的线性变换于是满秩的线性变换将原二次型化为标准形，即将原二次型化为标准形，即情形情形情形情形 II.II.II.II.A 的主对角元全为零的主对角元全为零.此时此时 A 中至少有一个中至少有一个元素元素 aijij （i j）不为零，不妨设）不为零，不妨设 a1212 0.0.令令则它是一个满秩线性变换，且使得原二次型化为则它是一个满秩线性变换，且使得原二次型化为这时，上式右端关于变量这时，上式右端关于变量的二次型中的二次型中的系数不为零，故

27、可视为情形的系数不为零，故可视为情形 I I 处理处理.定理得证定理得证.第七章 二次型与二次曲面例 1化二次型化二次型因为标准形因为标准形中只含有平方项中只含有平方项.因此逐个将变量配成因此逐个将变量配成一个完全平方的形式一个完全平方的形式.令令解解解解为标准形，并写出所作的满秩线性变换为标准形，并写出所作的满秩线性变换.则则所作的满秩线性变换为所作的满秩线性变换为练习用配方法化二次型用配方法化二次型第七章 二次型与二次曲面因因 f 中含有中含有 x 的平方项的平方项.可将含可将含 x 的项归到一起的项归到一起,配配成一个完全平方的形式成一个完全平方的形式.f =(x2+2xy+2xz)+2

28、y2+6z2+6yz=(x2+2xy+2xz+2yz+y2+z2)+(2y2 y2)+(6z2 z2)+(6yz 2yz)=(x +y+z)2+y2+5z2+4yz =(x+y+z)2+(y2+4yz)+5z2=(x+y+z)2+(y +2z)2 +z2 ,令令解解解解则则第七章 二次型与二次曲面例 2解解解解用配方法化用配方法化 f =2xy+2xz 6yz 为标准形为标准形.令令再令再令上一页练习用配方法化二次型用配方法化二次型解解解解令令所用变换矩阵为所用变换矩阵为第七章 二次型与二次曲面二、初等变换法二、初等变换法二、初等变换法二、初等变换法设设 A 为为 n 阶实对称矩阵，由第一节定

29、理阶实对称矩阵，由第一节定理 1 知，存在可知，存在可逆矩阵逆矩阵 C,使得使得 CTAC 为对角阵，即为对角阵，即而可逆矩阵可以表示成一系列初等矩阵的乘积，即而可逆矩阵可以表示成一系列初等矩阵的乘积，即因此，因此，定理定理 1 1对对任任意意实实对对称称矩矩阵阵 A,存存在在一一系系列列初初等等矩矩阵阵 P1，P2,Ps,使使由于由于说明，若矩阵说明，若矩阵 A 经过一系列合同变换经过一系列合同变换(进行初等列变换进行初等列变换后再进行同样的初等行变换后再进行同样的初等行变换)化为对角矩阵化为对角矩阵 D,则单位矩则单位矩阵阵 E 经过相同的一系列列变换化为矩阵经过相同的一系列列变换化为矩阵

30、 C.这样，我们就得到利用矩阵初等变换化二次型为标准这样，我们就得到利用矩阵初等变换化二次型为标准形的方法，即形的方法，即初等变换法初等变换法初等变换法初等变换法.或者，若矩阵或者，若矩阵 A 经过一系列合同变换经过一系列合同变换(进行初等列变换进行初等列变换后再进行同样的初等行变换后再进行同样的初等行变换)化为对角矩阵化为对角矩阵 D,则单位矩则单位矩阵阵 E 经过相同的一系列行变换化为矩阵经过相同的一系列行变换化为矩阵 CT.例 3解解解解故当故当 时，可使时，可使 例 4解解解解所以，所以，第七章 二次型与二次曲面但但是是通通过过配配方方法法将将二二次次型型 f 化化成成标标准准形形后后

31、,对对应应矩矩阵阵的的秩秩不不变变,即即二二次次型型 f 的的秩秩就就等等于于它它的的标标准准形形的的秩秩,也就等于标准形中的项数也就等于标准形中的项数.配配方方法法不不能能保保持持 R3 中中向向量量的的长长度度,从从而而不不能能保保持持几何图形不变几何图形不变.也就是变成了也就是变成了xy平面上一个半径为平面上一个半径为比如比如,xy 面上圆周面上圆周 x2+y2=1,在变换在变换 x=x+y,y=x y 下下,变成变成(x+y)2+(x y)2=1.即即上一页比如比如,第二节例题第二节例题2中所给的二次型中所给的二次型在正交变换下的标准形为在正交变换下的标准形为 而用配方法得到而用配方法

32、得到故经过满秩线性变换故经过满秩线性变换可将二次型化为标准形可将二次型化为标准形注：注：同一个二次型有不同形式的标准形，但标准形的秩同一个二次型有不同形式的标准形，但标准形的秩相同，即平方项的个数相同，并且正系数的平方项个数也相相同，即平方项的个数相同，并且正系数的平方项个数也相同！同！这就是所谓的惯性定理这就是所谓的惯性定理.定义定义1 1第七章 二次型与二次曲面一、惯性定理和二次型的规范形一、惯性定理和二次型的规范形一、惯性定理和二次型的规范形一、惯性定理和二次型的规范形定理定理1 1一个一个 n 元元二次型二次型 f=XTAX 经过不同的满秩线性经过不同的满秩线性变换化为标准形后，标准形

33、中正平方项的项数变换化为标准形后，标准形中正平方项的项数 p 和和负平方项的项数负平方项的项数 q 都是由原二次型唯一确定的，且都是由原二次型唯一确定的，且其中其中 r(A)为矩阵为矩阵 A 的秩的秩.称二次型称二次型 f 的标准形中正平方项的项数的标准形中正平方项的项数 p 为为二次型二次型 f 的正惯性指数，负平方项的项数的正惯性指数，负平方项的项数 q 为负惯为负惯性指数性指数.若二次型若二次型 f 的标准形为如下形式的标准形为如下形式则称为则称为规范标准形规范标准形规范标准形规范标准形，简称，简称规范形规范形规范形规范形.其中其中 r 为二次为二次型的秩型的秩.（规范形是唯一的规范形是

34、唯一的）定义定义2 2第七章 二次型与二次曲面对于两个对于两个 n 元二次型元二次型若它们的秩若它们的秩 r 相同，且正惯性指数相同，且正惯性指数 p 相同（从而负惯相同（从而负惯性指数也相同），则这两个二次型可以通过满秩线性指数也相同），则这两个二次型可以通过满秩线性变换相互转化性变换相互转化.也就可以归为一类也就可以归为一类.参数参数 r 和和 p 提供提供的分类的一个标准的分类的一个标准.设秩为设秩为 r 的的 n 元二次型元二次型 f =X TAX 经满秩线经满秩线性变换化为规范形性变换化为规范形则则(2)若若 p=r 0;因因 A 是正定阵是正定阵,存在可逆阵存在可逆阵 P,使使PT

35、AP=E X Rn,X 0,而而 P 可逆，可逆，即即 A=(PT)1P 1,故故 X TAX=X T(P T)-1 P 1 X=X T(P 1)T P 1 X=(P 1 X)T(P 1 X)0.故故 PX 0,同理同理 P 1X 0,(1)A 是正定矩阵是正定矩阵;(2)对任意的非零向量对任意的非零向量 X,有有 X TAX 0.证证证证(3)A 的所有特征值都大于零的所有特征值都大于零.正定二次型的规范形的矩阵显然是个单位矩阵正定二次型的规范形的矩阵显然是个单位矩阵.即单即单位矩阵是正定矩阵位矩阵是正定矩阵.那么，那么，怎么判断正定矩阵？怎么判断正定矩阵？怎么判断正定矩阵？怎么判断正定矩阵

36、？第七章 二次型与二次曲面 若若A有一个非正的特征值，不妨设有一个非正的特征值，不妨设 i 0,存在正交阵存在正交阵P,使得使得(2)对任意的非零向量对任意的非零向量 X,有有 X TAX 0;(3)A 的所有特征值都大于零的所有特征值都大于零.令令 X=P 1 ,其中其中 =(0,0,0,1,0,0),X TAX =(P 1 )T A P 1 则则 的第的第 i 个分量是个分量是 1，其余分量全为，其余分量全为 0.=i 0.=T(P 1)T AP 1 =T 矛盾矛盾!=T P AP T 证证证证上一页第七章 二次型与二次曲面因因为为 A 的的全全部部特特征征值值都都大大于于 0，则则 A

37、所所对对应应的的二二次次型型的的规规范范形形的的正正惯惯性性指指数数就就是是 n,故故 A 是是正正定矩阵定矩阵.(1)A 是正定矩阵是正定矩阵(3)A 的所有特征值都大于零的所有特征值都大于零.证证证证上一页例 1解解解解f 的矩阵为的矩阵为所以所以 f 是正定二次型是正定二次型.第七章 二次型与二次曲面(1)设设证证证证定理定理 3 3 若二次型若二次型 XTAX 正定，则正定，则上一页(2)又因为又因为A正定，故存在可逆矩阵正定，故存在可逆矩阵C,使使 CTAC=E,即即第七章 二次型与二次曲面例 2故故 A,B,C,D 不是不是 正定矩阵正定矩阵.解解解解上一页另外，另外，C 的对角元

38、的对角元第七章 二次型与二次曲面定理定理 4 4 n 元二次型元二次型 f=XTAX 正定的充要条件是正定的充要条件是 A 的各的各阶顺序主子式阶顺序主子式|A k|0,k=1,2,n.其中其中,上一页例 2解解解解f 的矩阵为的矩阵为因为因为 A 的顺序主子式为的顺序主子式为所以，二次型所以，二次型 f 是正定的是正定的.第七章 二次型与二次曲面练习f 的矩阵的矩阵由于由于 A1=1 0,|A3|=|A|=3A2 =3 0.故故 f 正定正定.解解解解上一页定义定义3 3第七章 二次型与二次曲面(1)若若 p=0,r n 时时,则称则称 f 为为半负定二次型半负定二次型半负定二次型半负定二次

39、型，(2)A 为为半负定矩阵半负定矩阵半负定矩阵半负定矩阵.(2)若若 p=0,r =n 时时,则称则称 f 为为负定二次型负定二次型负定二次型负定二次型，A 为为负定矩阵负定矩阵负定矩阵负定矩阵.(3)若若 0 p r n 时时,则称则称 f 为为不定二次型不定二次型不定二次型不定二次型，A 为为不定矩阵不定矩阵不定矩阵不定矩阵.三、二次型的其他类型：三、二次型的其他类型：三、二次型的其他类型：三、二次型的其他类型：设秩为设秩为 r 的的 n 元二次型元二次型 f =X TAX 经满秩线经满秩线性变换化为规范形性变换化为规范形定理定理 5 5设设A是是n阶实对称矩阵阶实对称矩阵,则下列命题等

40、价则下列命题等价:(i)XTAX是负定二次型是负定二次型(或或A是负定矩阵是负定矩阵);(ii)对任意的非零向量对任意的非零向量 X，XTAX 0,故取故取 a=2.这时，这时，1=1 时时,由由(I A)X=0,即即解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为 1=(0,1,1)T；第七章 二次型与二次曲面 2=2 时时,由由(2I A)X=0,解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为 2=(1,0,0)T,3=5时时,由由(5I A)X=0,解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为 3=(0,1,1)T.将将 1,2,3 单位化，得单位化，得故所求的正交变换矩阵为故所求的正交变换矩阵为T=01

41、000上一页练习解解解解已知二次型已知二次型的秩为的秩为 2,(1)求参数求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值及此二次型对应矩阵的特征值.(2)指出方程指出方程 f(x1,x2,x3)=1 表示何种二次曲面表示何种二次曲面.(1)此二次型对应矩阵为此二次型对应矩阵为因因 r(A)=2,解得解得 c=3.这时，这时，=(4)(9),故所求特征值为故所求特征值为 =0,=4,=9.(2)由上述特征值可知二次型由上述特征值可知二次型 f 通过变换，可化为标准通过变换，可化为标准形为形为那么那么 f(x1,x2,x3)=1 表示椭圆柱面表示椭圆柱面.第七章 二次型与二次曲面XTAX 为为正定二正定二

42、次型次型实对称方实对称方阵阵 A 为正为正定矩阵定矩阵A 合同合同于单位于单位阵阵下面三个命题等价：下面三个命题等价：第七章 二次型与二次曲面n 阶实对称方阵阶实对称方阵 A 有有 n 个实特征值个实特征值(重数计算在内重数计算在内).n 阶实对称方阵必有阶实对称方阵必有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.矩阵矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的的属于不同特征值的特征向量是线性无关的.实对称方阵一定可以对角化实对称方阵一定可以对角化(相似于对角矩阵相似于对角矩阵).矩阵矩阵 A 的可对角化的充要条件是的可对角化的充要条件是 A 有有 n 个线个线性无关特征向量性无关特征

43、向量.A 的对应于的对应于 k 重特征值重特征值 的线性无关特征向量最大的线性无关特征向量最大个数为个数为 k.A相似于对角阵，即存在在可逆矩阵相似于对角阵，即存在在可逆矩阵P，使得使得若若 P 又是正交阵又是正交阵,则则第七章 二次型与二次曲面n 阶实对称方阵阶实对称方阵 A.A 有有 n 个实特征值个实特征值 i (重数在内重数在内).A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 Xi 分别属于分别属于 I .将将 Xi 单位化正交化后得单位化正交化后得 Pi,Pi 仍是属于仍是属于 I 的特征向量的特征向量.记记 P=P1,P2,Pn,P 是一个正交矩阵是一个正交矩阵.Api =iPi (i=1,2,n),AP=P .证明思路：证明思路：证明思路：证明思路：