25等比数列前n项和公式的推导及性质.ppt

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1、2.52.5等比数列前等比数列前n n项和公式项和公式 细节决定成败细节决定成败 态度决定一切态度决定一切复习复习:等比数列等比数列 a an n an+1an =q(定值)(1)(1)等比数列等比数列:(2)通项公式通项公式:an=a1qn-1(4)重要性质重要性质:n-man=amqm+n=p+qanaqam=ap注:以上 m,n,p,q 均为自然数成等比数列成等比数列(3)引入：印度国际象棋发明者的故事引入：印度国际象棋发明者的故事（西（西 萨）萨）25等比数列前n项和公式的推导及性质它是以为首项公比是的等比数列，它是以为首项公比是的等比数列，分析：分析：由于每格的麦粒数都是前一格的倍，

2、共由于每格的麦粒数都是前一格的倍，共有有64格每格所放的麦粒数依次为：格每格所放的麦粒数依次为：麦粒的总数为麦粒的总数为:请同学们考虑如何求出这个和？请同学们考虑如何求出这个和？这种求和的方法,就是错位相减法!184467445 如果如果1000粒麦粒重为粒麦粒重为40克，克，那么这些麦粒的总质量就是那么这些麦粒的总质量就是7300多亿吨。根据统计资料显多亿吨。根据统计资料显示，全世界小麦的年产量约为示，全世界小麦的年产量约为6亿吨，就是说全世界都要亿吨，就是说全世界都要1000多年才能生产这么多小麦，多年才能生产这么多小麦，国王无论如何是不能实现发明国王无论如何是不能实现发明者的要求的。者的

3、要求的。如何求等比数列的如何求等比数列的Sn:Sn:，得错位相减法错位相减法1.1.使用公式求和时，需注意对使用公式求和时，需注意对 和和 的情况加以讨论；的情况加以讨论；2.2.推导公式的方法：推导公式的方法：错位相减法。错位相减法。注意：注意：显然，当q=1时，(q=1).(q1).25等比数列前n项和公式的推导及性质Sn=a1+a2+a3+.+an-1+an =a1+a1q+a1q2+.+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+.+a1qn-3+a1qn-2)=a1+q Sn-1=a1+q(Sn an)Sn=a1(1 q n)1 q 证法二：证法二：借助借助借助借助S Sn

4、n-a an n=S=Sn-1n-1 (一)用等比定理推导当当 q=1 时时 Sn=n a1因为因为所以所以 用等比定理：等比定理：证法三：证法三：已知a1、n、q时已知a1、an、q时等比数列的前n项和公式知三求二(1)(1)等比数列前等比数列前n n项和公式：项和公式：等比数列前等比数列前n项和公式项和公式你了解多少？你了解多少？Sn=1-q(q=1)(q=1)Sn=1-q(q=1)(q=1)(2)(2)等比数列前等比数列前n n项和公式的应用：项和公式的应用：1.1.在使用公式时在使用公式时.注意注意q q的取值的取值是利用公式的前提；是利用公式的前提；.在使用公式时，要根据题意，适当选

5、择公式。在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。利用“错位相减法”推导(3)(3)两个等比数列前等比数列前n n项和公式中任知其三可以求其二：项和公式中任知其三可以求其二：例1、求下列等比数列前8项的和说明：.例3.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？分析：第1年产量为 5000台第2年产量为 5000(1+10%)=50001.1台第3年产量为5000(1+10%)(1+10%)第n年产量为则n年内的总产量为：1数列2n1的前99项和为()A21001B12100C2991 D12

6、99答案：C2在等比数列an中，已知a13，an96，Sn189，则n的值为()A4 B5C6 D7答案：C3已知等比数列an中，an0，n1,2,3，a22，a48，则前5项和S5的值为_答案：314在等比数列an中，已知a1a2an2n1，则a12a22an2等于_5设数列an是等比数列，其前n项和为Sn，且S33a3，求公比q的值已知等比数列an中，前10项和S1010，前20项和S2030，求S30.题后感悟等比数列前n项和的常用性质：(1)“片断和”性质：等比数列an中，公比为q，前m项和为Sm(Sm0)，则Sm，S2mSm，S3mS2m，SkmS(k 1)m，构成公比为qm的等比数

7、列，即等比数列的前m项的和与以后依次m项的和构成等比数列各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n等于()A80 B30C26 D16解析：Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n成等比数列(S2nSn)2Sn(S3nS2n)(S2n2)22(14S2n)，解得S2n6又(S3nS2n)2(S2nSn)(S4nS3n)(146)2(62)(S4n14)S4n30.故选B.已知等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比与项数由题目可获取以下主要信息：等比数列的奇数项与偶数项分别依次构成等比数列；当项数为2n时，S偶

8、S奇q.解答本题的关键是设出项数与公比，然后建立方程组求解，得q2，代入得22n256，解得2n8，所以这个数列共8项，公比为2.4.等比数列an共2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，求该数列的公比q.1.已知数列前已知数列前n项和项和sn=2n-1，则此数列的奇数项的前，则此数列的奇数项的前n 项的和是项的和是 .2.设设an为等差数列，为等差数列，bn为等比数列，为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3分别求出分别求出an及及bn的前的前10项的和项的和S10及及T10。3.设设an为等比数列，为等比数列，Tnna1+(n一一1)a2+2an-1+an

9、，已知已知T11，T24(1)求数列求数列an的首项和公比；的首项和公比；(2)求数列求数列Tn的通项公式的通项公式点评在求含有参数的等比数列的前n项和时，容易忽略对a1和q1的讨论，从而丢掉一种情况1.1.题后感悟错位相减法2.2.一般来说，如果数列an是等差数列，公差为d；数列bn是等比数列，公比为q，则求数列anbn的前n项和就可以运用错位相减法在运用错位相减法求数列的和时，要注意以下四个问题：(1)注意对q的讨论，在前面的讨论中，我们已知q是等比数列bn的公比，所以q0，但求和Sn12x3x2nxn1时，就应分x0、x1和x0且x1三种情况讨论(2)注意相消的规律(3)注意相消后式子(1q)Sn的构成，以及其中成等比数列的一部分的和的项数(4)应用等比数列求和公式必须注意公比q1这一前提条件如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查.3求和：练习：练习：.已知数列 的首项（1）证明：数列 是等比数列（2）求数列 的前n项和