GCT数学-线性代数精讲2.ppt

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1、 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算1 矩阵矩阵行矩阵（行向量行矩阵（行向量)，列矩阵（列向量列矩阵（列向量)，n 阶矩阵阶矩阵(n 阶方阵阶方阵).定义定义 1 由由 mn 个数个数 aij(i=1,2,m;j=1,2,n)实矩阵实矩阵称为称为mn 矩阵矩阵.排成的排成的 m 行行n 列数表列数表,记成记成 例例1 （价格矩阵）四种商品在三家商店中，单位量的售价（价格矩阵）四种商品在三家商店中，单位量的售价这里的行表示商店，列表示商品这里的行表示商店，列表示商品ai j 表示每生产一万元第表示每生产一万元第 j 类产品需要消耗的第类产品需要消耗的第 a23=0.20 就表示每生产一万元就

2、表示每生产一万元 第第 3 类产品需要消耗掉类产品需要消耗掉0.20万元万元 例例2 （投入（投入产出矩阵）设某地区有产出矩阵）设某地区有3个经济部门，假定每个个经济部门，假定每个（以某种货币单位计）可以用以下矩阵表示：（以某种货币单位计）可以用以下矩阵表示：部门只生产一类产品，每个部门生产的产品与消耗的商品都用部门只生产一类产品，每个部门生产的产品与消耗的商品都用货币来表示货币来表示,i 类产品的价值类产品的价值的第的第 2 类产品的价值类产品的价值例（通路矩阵）甲省两个城市例（通路矩阵）甲省两个城市 s1,s2 与乙省三个城市与乙省三个城市 t1,t2 ,s1s2t1t2t341322每条

3、线上的数字表示连接该两每条线上的数字表示连接该两s1s2t1 t2 t3同型矩阵同型矩阵.矩阵矩阵A与与B相等相等,记成记成 A=B.零矩阵零矩阵,记成记成 0.城市的不同通路的总数以由此得到城市的不同通路的总数以由此得到的通路信息，可用矩阵表示为：的通路信息，可用矩阵表示为：t3 的交通连接情况如下图所示，的交通连接情况如下图所示，2 矩阵的运算矩阵的运算一一 矩阵的加法矩阵的加法 定义定义 2 设设A=(aij),B=(bij)都是都是 mn 矩阵矩阵,矩阵矩阵 A 与与B 的的和和例例 1记成记成 A+B,规定为规定为 矩阵的加法运算满足规律矩阵的加法运算满足规律 2.(A+B)+C=A

4、+(B+C)(结合律结合律)3.A+0=A 4.设设A=(aij),记记 A=(aij),规定规定 A B=A+(B)二二 数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法 定义定义 3 规定为规定为 称称 A 为为 A 的负矩的负矩阵阵,1.A+B=B+A (交换律交换律)易知易知 A+(A)=0例例 2 若若那么那么3A=A3数乘矩阵的运算满足规律：数乘矩阵的运算满足规律：A,B为矩阵为矩阵.三三 矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法 定义定义4 设设 A=(aij)是一个是一个 ms 矩阵矩阵,B=(bij)是一个是一个 snA 与与 B 的乘积记成的乘积记成 AB，即即 C=AB.规定规定 A 与与 B 的积

5、为一个的积为一个 mn 矩阵矩阵 C=(cij)，其中其中 A B =ABms sn mn 矩阵矩阵,例例 3 例例 4例例 5 例例 6一般来说，一般来说，AB BA,若矩阵若矩阵 A、B 满足满足 AB=0,n 阶矩阵阶矩阵 称为称为单位矩阵单位矩阵.如果如果 A 为为 mn 矩阵，那么矩阵，那么 即矩阵的乘法不满足交换律即矩阵的乘法不满足交换律.未必有未必有 A=0 或或 B=0 的结论的结论.n 阶矩阵阶矩阵称为对角矩阵称为对角矩阵.两个对角矩阵的和是对角矩阵，两个对角矩阵的和是对角矩阵，两个对角矩阵的积也是对角矩阵两个对角矩阵的积也是对角矩阵.矩阵的乘法满足下述运算规律矩阵的乘法满足

6、下述运算规律解解1解解2矩阵的幂矩阵的幂 A 是一个是一个n 阶矩阵阶矩阵,k 是一个正整数是一个正整数,规定规定矩阵的幂满足规律矩阵的幂满足规律其中其中 k,l 为正整数为正整数.对于两个对于两个 n 阶矩阵阶矩阵 A与与 B，一般说一般说例例 8 解一解一 解二解二 例例 10 已知线性方程组已知线性方程组如果记如果记那么上述线性方程组可记成那么上述线性方程组可记成于是于是四四 矩阵的转置矩阵的转置 定义定义 5 将矩阵将矩阵 A 的各行变成同序数的列得到的矩阵称为的各行变成同序数的列得到的矩阵称为 A 矩阵的转置满足下述运算规律矩阵的转置满足下述运算规律记为记为 AT.的转置矩阵的转置矩

7、阵,解一解一 因为因为所以所以 解二解二 矩阵矩阵 A 称为对称矩阵称为对称矩阵，容易知道容易知道,A=(aij)nn是对称矩阵的充要条件是是对称矩阵的充要条件是 例例 13如果如果 A 是一个是一个 n 阶矩阵，那么，阶矩阵，那么，A+A是对称矩阵是对称矩阵i,j=1,2,n.矩阵矩阵 A 称为反对称矩阵，称为反对称矩阵，如果如果 AT=A.如果如果 AT=A.矩阵矩阵 A=(aij)nn是反对称矩阵的充要条件是是反对称矩阵的充要条件是 aij=aji,证证 因为因为A A是反对称矩阵是反对称矩阵所以所以A+A是对称矩阵是对称矩阵 aij=aji,i,j=1,2,n.因为因为所以所以A A是

8、反对称矩阵是反对称矩阵 例例 14 设设 A 为为 mn 矩阵矩阵,证证 由矩阵的乘法可知由矩阵的乘法可知 AA是是 m 阶的阶的.所以所以 AA是对称矩阵是对称矩阵.1.证明证明 H 为对称矩阵为对称矩阵.1.证证 因为因为所以所以H 为对称矩阵为对称矩阵.因为因为2.计算计算 H2.=E.方阵的行列式运算满足下述规律方阵的行列式运算满足下述规律，例例 16 设设 A 是是 n 阶矩阵，阶矩阵，称为矩阵称为矩阵A的伴随矩阵的伴随矩阵.式式 Aij 所构成的矩阵所构成的矩阵 五五 方阵的行列式方阵的行列式 定义定义6 由由 n 阶矩阵阶矩阵 A 的元素（按原来的位置）构成的行列式，的元素（按原

9、来的位置）构成的行列式，称为方阵称为方阵 A 的行列式的行列式,证明证明 由行列式由行列式|A|的各元素的代数余子的各元素的代数余子那么那么于是于是2.设设 A 为为 3 阶矩阵阶矩阵,那么那么于是于是 先就先就 3 阶矩阵给出证明阶矩阵给出证明.证证 设设于是有于是有因此因此同理可证，同理可证，=0=0=0 证证 设设 A=(a i j)nn,也就是也就是于是有于是有因此因此同理可证同理可证，3 逆矩阵逆矩阵 定义定义 7 设设 A 是是 n 阶矩阵，如果有阶矩阵，如果有 n 阶矩阵阶矩阵 B，使，使 如果矩阵如果矩阵 A 是可逆的，则是可逆的，则 A 的逆矩阵是唯一的，记其为的逆矩阵是唯一

10、的，记其为 A-1.定理定理 1 若矩阵若矩阵 A 是可逆的，是可逆的，证证 因为因为 A 可逆，可逆，定理定理 2 若若|A|0，则则 A 可逆可逆,且且则称则称 A 是可逆矩阵，是可逆矩阵，且称且称 B 为为 A 的逆矩阵的逆矩阵.AB=BA=E 即有即有 A-1 使使 A A-1=E.所以所以|A|0.则则|A|0.证证 由由2的的 例例 16 可知可知根据逆矩阵的定义，即有根据逆矩阵的定义，即有所以有所以有因为因为|A|0，设设 A 是是 n 阶矩阵，如果阶矩阵，如果|A|0,那么那么A称为非奇异矩阵称为非奇异矩阵.A 是可逆矩阵的充分必要条件是是可逆矩阵的充分必要条件是|A|0 A

11、是可逆矩阵的充分必要条件是是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异的为非奇异的 例例1 判断下列矩阵判断下列矩阵是否为可逆矩阵？是否为可逆矩阵？推论推论 设设 A,B 都为都为 n 阶矩阵阶矩阵,于是于是则则 A 为可逆矩阵，为可逆矩阵，若若 AB=E（或或 B A=E），），所以所以|A|0，解解 因为因为所以所以A 为可逆矩阵，为可逆矩阵，B是不可逆矩阵是不可逆矩阵 证证 因为因为|A|B|=|AB|=|E|=1,例例2 因为因为所以所以方阵的逆矩阵满足下述运算规律方阵的逆矩阵满足下述运算规律：因为因为因为因为3.设设A,B 为同阶可逆矩阵为同阶可逆矩阵,则则 AB 也可逆，且也可逆，且3.设

12、设A,B 为同阶可逆矩阵为同阶可逆矩阵,例例 3 求矩阵求矩阵的逆矩阵的逆矩阵.解解 由由知知 A 的逆矩阵的逆矩阵 A-1 存在存在.4.设设A 为可逆矩阵为可逆矩阵,因为因为再由再由得得 例例 4 已知已知求矩阵求矩阵 X 满足满足 AX=C.解解 由例由例3 知知 A-1存在，于是存在，于是得得 X=A-1C，即即 4 矩阵的分块法矩阵的分块法子子块块 用分块法计算矩阵用分块法计算矩阵 A 与与 B的乘积的乘积,左矩阵左矩阵 A 的列的分法与右的列的分法与右 解解 把把 A，B 分块成分块成其运算规则与普通矩阵的运算规则类似其运算规则与普通矩阵的运算规则类似.矩阵矩阵 B 的行的分法一致的行的分法一致.分块矩阵分块矩阵 分块法计算矩阵分块法计算矩阵 的乘积的乘积 则则其中其中而而所以所以分块矩阵的转置分块矩阵的转置设分块矩阵设分块矩阵那么那么分块矩阵分块矩阵其中其中 Ai 都是方阵，都是方阵，则则A是可逆矩阵，并有是可逆矩阵，并有称为分块对角矩阵称为分块对角矩阵解解 用分块法用分块法.令令可得可得 例例3 设设B 为为n 阶矩阵，若把按阶矩阵，若把按 B 列分块为列分块为则则于是于是若若 A 也是也是 n 阶矩阵阶矩阵,便有便有AB=