1.7定积分在几何中应用(1).ppt

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1、1.7定定积分在几何中分在几何中应用用(1)一一.定积分的几何意义是什么？定积分的几何意义是什么？A A 1、如果函数如果函数f（x）在）在a，b上连续且上连续且f（x）0时，那么：时，那么：定积分定积分 就表示以就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积）为曲边的曲边梯形面积。曲边梯形的面积曲边梯形的面积复习引入复习引入曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值 2、定积分定积分 的数值在的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示。代数和来表示。A A定理定理 （微积分基本定理）（微积分基本定理）牛顿莱布尼茨公式 如果如果f(x)f(x)是区间是区间a,ba,b

2、上的连续函数上的连续函数,并且并且F F(x)=f(x),(x)=f(x),则则复习回顾1.计算由与x轴及x=1，x1所围成的面积xyNMOabABCD2用定积分表示阴影部分面积热身练习A2ab曲边梯形（三条直边，一条曲边）abXA0y曲边形面积 A=A1-A2ab1问题探究:曲边形面积的求解思路新课新课 ：一一.定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用例计算由曲线与所围图形的面积解：作出草图，所求面积为阴影部分的面积解方程组得交点横坐标为及曲边梯形曲边梯形ABCDxyO11-1-1归纳求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：（1）画草图，求出曲线的交点坐标（3）确定被积函数及积分区间（4）计算

3、定积分，求出面积（2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积直线直线y=x-4与与x轴交点为轴交点为(4,0)解解:作出作出y=x-4,的图象的图象如图所示如图所示:S1S2方法方法2：方法方法3：Y型求解法型求解法解解:求两曲线的交点求两曲线的交点:82解解:求两曲线的交点求两曲线的交点:于是所求面积于是所求面积知识回顾知识回顾:求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(1)(1)作出示意图作出示意图;(;(弄清相对位置关系弄清相对位置关系)(2)(2)求交点坐标求交点坐标;(;(确定积分的上限确定积分的上限,下限下限)(3)(3)确定积分变量及被积函数确定积分

4、变量及被积函数;（4 4）计算定积分，求出面积）计算定积分，求出面积定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用1.求下列曲线所围成的图形的面积求下列曲线所围成的图形的面积:(1)y=x2,y=2x+3;(2)y=ex,y=e,x=0.练习：设设物物体体运运动动的的速速度度v=v(t)(v(t)0)，则则此此物体在时间区间物体在时间区间a,b内运动的距离内运动的距离s为为1、变速直线运动的路程、变速直线运动的路程二二.定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用v/m/st/s10406030OABC解：解：由速度时间曲线可知：由速度时间曲线可知：2、变力所做的功 物体在变力物体在变力F(x)的作用下

5、做直线运动，并的作用下做直线运动，并且物体沿着与且物体沿着与F(x)相同的方向从相同的方向从x=a点移动到点移动到x=b点，则变力点，则变力F(x)所做的功为所做的功为:例例2 2 如图：在弹性限度内，将一弹簧从如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置平衡位置拉到离水平位置L L 米处，求克米处，求克服弹力所作的功服弹力所作的功解：解：由胡克定律知由胡克定律知在在弹性弹性限度内，拉伸（或压缩）弹限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力（簧所需的力（x x）与弹簧）与弹簧拉伸（或压缩）的长度拉伸（或压缩）的长度x x成成正比正比即：即：F(x)=kxF(x)=kx所以据变力作功公式有所以据

6、变力作功公式有1、一物体在力、一物体在力F(x)=3x+4(单位单位:N)的作用下的作用下,沿着沿着与力与力F相同的方向相同的方向,从从x=0处运动到处运动到 x=4处处(单位单位:m),求求F(x)所作的功所作的功.练习:40J2.一物体沿直线以一物体沿直线以v=2t+3(t的单位为的单位为s,v的单位为的单位为m/s)的速度运动的速度运动,求该物体在求该物体在35s间行进的路程间行进的路程.3.一物体以速度一物体以速度v=3t2+2t(m/s)作直线运动，计算作直线运动，计算它在它在t=0到到t=3s这段时间内的平均速度。这段时间内的平均速度。12m/s定积分在物理中的应用定积分在物理中的

7、应用练习：见教材P60-3题.4题.5题.6题三三.小结小结求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(1)(1)作出示意图作出示意图;(;(弄清相对位置关系弄清相对位置关系)(2)(2)求交点坐标求交点坐标;(;(确定积分的上限确定积分的上限,下限下限)(3)(3)确定积分变量及被积函数确定积分变量及被积函数;四四.作业作业:P58 3题题,4题题（4 4）计算定积分，求出面积）计算定积分，求出面积解解:求两曲线的交点求两曲线的交点:82解解:求两曲线的交点求两曲线的交点:于是所求面积于是所求面积二、二、微积分基本定理内容是什么？设函数设函数f(x)在区间

8、在区间a,b上连续，并且上连续，并且F(x)f（x)，则，则，这个结论叫这个结论叫微积分基本定理微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫，又叫牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).解解:作出作出y2=x,y=x2的图象如图所示的图象如图所示:即两曲线的交点为即两曲线的交点为(0,0),(1,1)oxyABCDO点评：点评：求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(1)(1)作出示意图作出示意图;(;(弄清相对位置关系弄清相对位置关系)(2)(2)求交点坐标求交点坐标;(;(确定积分的上限确定积分的上限,下限下限)(3)(3)确定积分变量及被积函数确定积分变量及被积函数;(4)(4)列式求解列式求解.思考题：思考题：在曲线在曲线y=xy=x2 2(x0)(x0)上某点上某点A A处作切线处作切线,使之与曲线及使之与曲线及x x轴围成图形的面积为轴围成图形的面积为1/121/12。求过点求过点A A的切线方程的切线方程.A Ax xy yo oy=xy=x2 2谢谢！