线性代数 矩阵的特征值与特征向量.ppt

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1、1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵第五章第五章 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵可对角化的条件、实对称 矩阵的对角化矩阵的对角化1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵一、特征值与特征向量一、特征值与特征向量 二、相似矩阵二、相似矩阵1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵 1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵一、特征值与特征向量一、特征值与特征向量 定义定义定义定

2、义1 1：列向量列向量，使得，使得则称数则称数 为方阵为方阵A的一个特征值，非零向量的一个特征值，非零向量 称为称为设设A是是n阶方阵，若对于数阶方阵，若对于数 ，存在，存在n维非零维非零A的属于特征值的属于特征值 的一个特征向量的一个特征向量.注：注：存在非零向量存在非零向量存在非零向量存在非零向量 使使使使 1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵设设 是一个未知量，矩阵称为是一个未知量，矩阵称为A的的定义定义2:特征矩阵特征矩阵，它的行列式，它的行列式 特征方程，其根称为特征方程，其根称为A的特征根，即的特征根，即A

3、的特征值的特征值.称为称为A的的特征多项式特征多项式.方程方程 称为称为A的的注注.n阶方阵阶方阵A在复数范围内有在复数范围内有n n个特征值个特征值.1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵（1 1）若若 是是A的属于特征的属于特征值值的特征向量，的特征向量，则则也是也是A的属于的特征向量的属于的特征向量.（3）特征向量不是被特征值所唯一确定的特征向量不是被特征值所唯一确定的.（4）特征值是被特征向量所唯一确定的特征值是被特征向量所唯一确定的.（一个（一个 特征值可以有多个特征向量）特征值可以有多个特征向量）（一个特征向

4、量只能属于一个特征值）（一个特征向量只能属于一个特征值）（2 2）也是也是A的属于的特征向量的属于的特征向量.若若 是是A的属于特征的属于特征值值的特征向量，的特征向量，则则 不全为零不全为零1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵求矩阵的特征值与特征向量的一般步骤求矩阵的特征值与特征向量的一般步骤ii)把所求得的特征值逐个代入方程组把所求得的特征值逐个代入方程组的全部线性无关的特征向量的全部线性无关的特征向量.并求出它的一组基础解系并求出它的一组基础解系，它们就是属于这个特征值，它们就是属于这个特征值全部特征值全部特征值

5、.i)求求A的特征多项式的特征多项式 的全部根，它们就是的全部根，它们就是A A的的1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵例例1.求矩求矩阵阵 的特征值与特征向量的特征值与特征向量.例例2.求矩求矩阵阵 的特征值与特征向量的特征值与特征向量.例例3.求矩求矩阵阵 的特征值与特征向量的特征值与特征向量.例题（例题（P160-163）1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵性性性性质质质质1 1：n n n n阶阶阶阶矩矩矩矩阵阵阵阵A A与它的与它的转

6、转置矩置矩阵阵 的特征的特征值值相同相同.性性性性质质质质3 3：已知已知为为n n阶阶矩矩阵阵A A的一个特征的一个特征值值，则则（1）必有一个特征值为必有一个特征值为;（2）必有一个特征值为必有一个特征值为;主要性质主要性质 A的全体特征值的和的全体特征值的和 A的的全体特征值的积全体特征值的积性质性质性质性质2 2：设设设设n n n n阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵 ，则，则1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵（3）必有一个特征值为必有一个特征值为;（4）A可逆时，必有一个特征值为可逆时，必有一个特征值为;（5）A可

7、逆时，必有一个特征值为可逆时，必有一个特征值为；（6）多项式）多项式 必有一个特征值为必有一个特征值为.1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵例例4 4.设设3 3阶阶矩矩阵阵A A满满足足 ，则则A A的特征的特征值值只能是只能是1 1或或2.2.证明：由证明：由 得得即，即，从而，从而，或或 即即A A的特征值只能是的特征值只能是1 1或或2.2.1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵例例例例6 6 6 6.已知已知3 3阶阶矩矩阵阵A A的特

8、征的特征值为值为：1 1，2 2，3 3，求，求行列式行列式 .例例例例5 5 5 5：已知已知3 3阶阶矩矩阵阵A A的特征的特征值为值为：1 1，1 1，2 2，则则矩矩阵阵的特征的特征值为值为：，行列式行列式.1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值特征值 的特征向量，则的特征向量，则 定理定理定理定理1.1.设设 是是 阶矩阵阶矩阵A的属于互不相同的的属于互不相同的线性无关线性无关.（属于矩阵属于矩阵A的不同特征值的特征向量线性无关的不同特征值的特征向量线性无关.）1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特

9、征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵值，值，是是A的属于特征值的属于特征值 定理定理定理定理2.2.设设 是是 阶矩阵阶矩阵A的互不相同的特征的互不相同的特征的线性无关特征向量，则向量组的线性无关特征向量，则向量组线线线线性无关性无关性无关性无关.（对一个矩阵，属于每个特征值的线性无关特征向量，（对一个矩阵，属于每个特征值的线性无关特征向量，合在一起仍为线性无关）合在一起仍为线性无关）.1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵二、相似矩阵1 1定义定义定义定义设设A，B为两个为两个n阶矩阵，

10、若存在可逆矩阵阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得使得 则称矩阵则称矩阵A相似于相似于B，P称为相似变换矩阵称为相似变换矩阵.2 2基本性质基本性质基本性质基本性质（1）相似矩阵的转置矩阵也相似相似矩阵的转置矩阵也相似.（2）相似矩阵的幂矩阵也相似相似矩阵的幂矩阵也相似.1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵（3）相似矩阵的多项式也相似相似矩阵的多项式也相似.（4）相似矩阵的秩相等相似矩阵的秩相等.（5）相似矩阵的行列式相等相似矩阵的行列式相等.（6）相似矩阵的可逆性相同，当它们可逆时，其相似矩阵的可逆性相同，当它们可逆时，其

11、 逆矩阵也逆矩阵也相似相似.定理定理3.相似矩相似矩阵阵的特征多的特征多项项式相同，从而特征式相同，从而特征值值相同相同.1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵推推论论.设设n n阶阶矩矩阵阵A A与与对对角矩角矩阵阵相似，则相似，则 就是就是A的的n个特征值个特征值.注注.若矩若矩阵阵A A与与对对角矩角矩阵阵相似，相似，则则可方便求出可方便求出A的的幂幂 及及A的的多项式多项式.1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵2 矩阵可对角化的条件、实对

12、称矩阵的对角化矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化一、矩阵可对角化的条件一、矩阵可对角化的条件二、实对称矩阵的对角化二、实对称矩阵的对角化1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵称称矩阵矩阵A可对角化可对角化.定义定义1：矩阵：矩阵A是一个是一个 阶方阵，若存在可逆矩阵阶方阵，若存在可逆矩阵，使，使 为对角矩阵，为对角矩阵，即即A与对角矩阵相似，则与对角矩阵相似，则一、矩阵可对角化的条件一、矩阵可对角化的条件 定理定理定理定理1 1：设矩阵：设矩阵A 是一个是一个 阶方阵，则阶方阵，则A可对角化可对角化 有有 个线性无关

13、的特征向量个线性无关的特征向量.推论推论推论推论 若若n阶矩阵阶矩阵A有有n个不同特征值，则个不同特征值，则A可对角化可对角化.1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵 定理定理定理定理2 2：设矩阵：设矩阵A 是一个是一个 阶方阵，则阶方阵，则A可对角化可对角化属于属于A的每个特征值的线性无关特征向量的个数的每个特征值的线性无关特征向量的个数等于该特征值的重数等于该特征值的重数.对角化的判断对角化的判断对角化的判断对角化的判断步骤步骤:1求出矩阵求出矩阵A的全部互不相等的特征值的全部互不相等的特征值 2对每一个特征值对每

14、一个特征值，求出齐次线性方程组，求出齐次线性方程组 1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵 的一个基础解系（此即的一个基础解系（此即A的属于的属于 的全部线性无关的全部线性无关的特征向量）的特征向量）.3若全部基础解系所含向量个数之和等于若全部基础解系所含向量个数之和等于n，则，则 矩阵矩阵A可对角化；否则可对角化；否则A不可对角化不可对角化.4以这些解向量为列，作一个以这些解向量为列，作一个n阶方阵阶方阵P，则，则P可逆，可逆，就是对角矩阵，对角矩阵对角线上元素是就是对角矩阵，对角矩阵对角线上元素是A的的 互不相等的特

15、征值互不相等的特征值.1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵例例1.问问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵是否可对角化？若可，求可逆矩阵P，使，使为对角矩阵为对角矩阵.这里这里得得A的特征值是的特征值是2，2，-7.解解:A的特征多项式为的特征多项式为 1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵对于特征值对于特征值2，求出齐次线性方程组，求出齐次线性方程组 对于特征值对于特征值7，求出齐次方程组，求出齐次方程组 的一个基础解系的一个基础解系:的一个基础解

16、系的一个基础解系:1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵令令 则则 所以所以A可对角化可对角化.1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵例例2设设 则求一可逆矩阵则求一可逆矩阵P，使，使 成对角形；成对角形；解解:A的特征多项式为的特征多项式为 求得求得A的特征值为：的特征值为：1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵得基础解系得基础解系 当当 时，解方程时，解方程 由由1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵当当 时，解方程时，解方程 由由得基础解系得基础解系 1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵令令 则有则有 1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵