ARCH模型专题.ppt

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1、考察严平稳随机序列yt,且Eyt.记其均值Eyt=,协方差函数k=E(yt-)(yt+k-).其条件期望(或条件均值):E(ytyt-1,yt-2,)(yt-1,yt-2,)(1.1)依条件期望的性质有E(yt-1,yt-2,)=EE(ytyt-1,yt-2,)=Eyt=.(1.2)记误差(或残差):et yt-(yt-1,yt-2,).(1.3)随机序列的条件均值E(etyt-1,yt-2,)=Eyt-(yt-1,yt-2,)yt-1,yt-2,=E(yt yt-1,yt-2,)-E(yt-1,yt-2,)yt-1,yt-2,=(yt-1,yt-2,)-(yt-1,yt-2,)=0.(1.4

2、)随机序列的条件方差Var(etyt-1,yt-2,)=Eet-E(etyt-1,yt-2,1)2 yt-1,yt-2,=Eet2 yt-1,yt-2,S2(yt-1,yt-2,).(1.5)此处S2(yt-1,yt-2,)为条件方差函数.注意,et的条件均值是零,条件方差是非负的函数S2(yt-1,yt-2,),它不一定是常数。自回归函数依(0.3)式,平稳随机序列yt总有如下表达式:yt=(yt-1,yt-2,)+et,(1.6)其中(yt-1,yt-2,)被称为自回归函数,不一定是线性的.et为鞅差序列（因为对它的求和是离散的鞅序列.由于yt是严平稳随机序列,且Eyt0,i0,i=1,2

3、,p.其中t为i.i.d.的序列,tN(0,1),且t与yt-1,yt-2,独 立,为了简化记号,记ht=S2(yt-1,yt-2,).此模型被称为自回归条件异方差模型,简记ARCH(p),其中p表示模型的阶数.其一,限定t为i.i.d.序列，这是很强的限制,这是由于现有理论的基楚所限.其二,限定条件方差有2.2式的简单形式,即ht=S2(yt-1,yt-2,)=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2,是为了统计分析方便.其三,限定t服从正态分布,是为了求极大似然估计方便.限制 tN(0,1),而不用 tN(0,2),是因为t满足标准化的1.8模型式.其四,限制 00,i0,i=1,2,

4、p,是为了保证条件方差函数ht=S2(yt-1,yt-2,)0.限制 00,而不是00,这是为了保证模型(1.5)(1.6)有平稳解.在对ARCH模型的理论研究和应用中,人们自然会发问:在2.2式中,yt的条件方差S2(yt-1,yt-2,)ht=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2,只依赖于p个历史值,能否考虑依赖全部历史值的情况?Bollerslev(1986)给出了回答,他提出了如下的更广的模型,即GARCH模型:yt=S(yt-1,yt-2,)t ht1/2 t,(2.3)ht=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2+1ht-1+qht-q,(2.4)00,i0,i=1,

5、2,p;j0,j=1,2,q.(2.5)其中t为i.i.d.的N(0,1)分布,且t与 yt-1,yt-2,独立.其一,利用(1.12)式反复迭代可得知,ht=S2(yt-1,yt-2,)确实依赖序列的全部历史值,但是,ht仅依赖有限个参数.其二,在1997年诺贝尔经济学奖,被两位研究期权定价理论的Black-Scholes方程的学者获得.从理论上人们发现,Black-Scholes方程的解是连续时间变化的随机过程,对它进行等间隔离散化采样,所得到的序列,恰好满足GARCH模型.于是,GARCH模型更被认可,而且,金融界特别偏爱GARCH模型.其三,如前所述,(1.13)式的条件 00,仍不能

6、放宽为 00.而且,(1.13)式中的条件 i0,i=1,2,p,还应附加一个限制:1+2+p0,你拥有序列观测值y1,y2,yn,如果要为它们建立ARCH（GARCH)模型,将面对着下列问题:（1）为什么要建立GARCH模型?（2）用多少阶数的模型?（3）怎样获得模型的参数值?回答了这些问题,就解决了为GARCH模型建模的问题.最小二乘法估计最小二乘法估计极大似然估计极大似然估计根据观测数据y1,y2,yn,判断所要拟合的模型是否适用,称为模型检验.模型检验,有在建立模型前进行的,有在之后进行的.对于GARCH模型来说,在为数据y1,y2,yn建立GARCH模型前,首先应当判断有没有必要.如前言所说到,平稳序列的条件方差S(yt,yt-1,)可能是常数值,此时就不必建立GARCH模型.于是判断条件方差S(yt,yt-1,)是否为常数,就应当在建模前完成.即使经判断后,条件方差不是常数,它也未必满足GARCH模型.然而目前GARCH模型是比较熟知的条件异方差模型,所以常用它来近似拟合观测数据.那么,在建模后还应当对所得到的模型进行检验,以判断其是否可接受.在建模前和后所进行的模型检验,其方法不一定相同.建模后使用的模型检验方法,还可作为确定GARCH模型阶数的辅助手段.条件异方差性检验条件异方差性检验ARCHARCH模型检验模型检验GARCHGARCH模型阶数检验模型阶数检验