22-第二章第二节(概率统计).ppt

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1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.2 2.2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 内容简介内容简介:对于离散型随机变量对于离散型随机变量X,首先首先,我们研究我们研究X的概率分布的概率分布,即即X取什么值以及取这些取什么值以及取这些值的概率大小值的概率大小,然后，重点研究三种常用的离散然后，重点研究三种常用的离散型随机变量服从的型随机变量服从的0-10-1分布、二项分布和泊松分布分布、二项分布和泊松分布.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.2 2.2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律上页

2、上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2.2.1提出问题提出问题 1.对于离散型随机变量的分布规律，对于离散型随机变量的分布规律，怎样来研究它？怎样来研究它？2.2.2预备知识预备知识 超几何分布，事件的独立性，随机变量，超几何分布，事件的独立性，随机变量，一般函数及其三种表示形式一般函数及其三种表示形式.e的级数求和公的级数求和公式式.2.已知在已知在n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A发生发生的次数的次数,事件事件A的概率是的概率是p,在在n次试验中次试验中A恰恰好发生好发生k次的概率如何计算次的概率如何计算？上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 2.2.3 提出概念

3、提出概念 设设X是一个离散型随机变量是一个离散型随机变量,它可能取它可能取的值是的值是x1,x2,xn,为了描述随机变为了描述随机变量量X,我们不仅需要知道随机变量我们不仅需要知道随机变量X的取值的取值,而且还应知道而且还应知道X取每个值的概率取每个值的概率.我们看实际例题我们看实际例题.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回引例引例在例在例1.4.11.4.1中增加问题中增加问题(3)(3)：有有100件产品件产品,其中有其中有10件是次品件是次品,其余为合格品其余为合格品.取取5 5件包含次品的概率件包含次品的概率.计算计算:上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 这样

4、这样,我们就掌握了我们就掌握了X这个随机变量取这个随机变量取值的值的概率分布规律概率分布规律.这要比一个一个地分析这要比一个一个地分析随机事件的概率更加方便随机事件的概率更加方便.且满足且满足上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 定义定义设随机变量设随机变量X一切可能的取值一切可能的取值为为x1,x2,xn,且且X取各个值的概率为取各个值的概率为 pk=PX=xk,k=1,2,3,(2.2.1)则称则称X是是离散型随机变量离散型随机变量,称称(2.2.1)式为随式为随机机变量变量X的的概率函数概率函数或或概率分布概率分布,亦简称亦简称分布律分布律.由概率定义由概率定义,分布律分布律

5、PX=xk=pk,k=1,2,满足下列两条性质满足下列两条性质：(1)pk0,k=1,2,；(2.2.2)(2).(2.2.3)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回讲评讲评这两条性质常用来判断一个这两条性质常用来判断一个数列数列pk是否是概率分布是否是概率分布,通常只有通常只有pk满足上述两条性质满足上述两条性质,才能成为某个随机变量才能成为某个随机变量的分布率的分布率.也也常用于确定概率分布中的待定常用于确定概率分布中的待定参数参数.离散型随机变量的分布律的表示方法有离散型随机变量的分布律的表示方法有如下三种形式：如下三种形式：(1)公式法：公式法：可以用一个公式统一表示为可以用

6、一个公式统一表示为PX=xk=pk,k=1,2,.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(2)列表法：列表法：分布率可以用表格清楚分布率可以用表格清楚地表示为地表示为Xx1x2xkPp1p2 pk (3)图示法图示法:为了分析方便为了分析方便,一般把一般把xk(k=1,2,)从小到大排列从小到大排列.用示意图用示意图2-2表示表示X的概率分布及比较概率的大小的概率分布及比较概率的大小.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回图图2-2X的概率分布图的概率分布图 图图2-2中短线的高度为中短线的高度为X取值于该点的概率取值于该点的概率.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返

7、回返回 例例2.2.1某篮球运动员每次投中篮圈某篮球运动员每次投中篮圈概率是概率是0.9,求他两次独立投篮投中次数求他两次独立投篮投中次数X的概率的概率分布分布.解解X可取可取0,1,2为值为值,有有PX=0=(1-0.9)(1-0.9)=0.01，PX=1=0.90.1+0.10.9=0.18，PX=2=0.90.9=0.81.且且PX=0+PX=1+PX=2=1.2.2.4 理论应用理论应用上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回X 0 1 2pk0.010.180.81这就是这就是X的概率分布的概率分布.X的分布律通常又写成如下表格形式的分布律通常又写成如下表格形式：例例2.2.

8、2某电子线路某电子线路AB中装有两个并联的继中装有两个并联的继电器电器,见图见图2-3.假设这两个继电器是否接通具有假设这两个继电器是否接通具有随机性随机性,且彼此独立且彼此独立.已知每个继电器接通的概已知每个继电器接通的概率为率为0.8,记记X为线路中接通的继电器的个数为线路中接通的继电器的个数.求求:(1)X的分布律；的分布律；(2)线路接通的概率线路接通的概率.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回图图2-3并联系统并联系统 1 2解解(1)记记Ai=第第i个继电器接通个继电器接通,i=1,2.所以所以A1和和A2相互独立相互独立,且且P(A1)=P(A2)=0.8.下面求下面

9、求X的分布律的分布律.显然，显然，X可能取可能取0,1,2三个值三个值.则则X=0表示表示两个继电器都没接通两个继电器都没接通,X=1表示表示恰有一个继电器接通恰有一个继电器接通,X=2表示表示两个继电器都接通两个继电器都接通.因此因此,X的分布律为的分布律为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回,(2)因为系统是并联电路因为系统是并联电路,所以所以线路接通线路接通当且仅当当且仅当至少一个继电器接通至少一个继电器接通.因此，因此，PX1=PX=1+PX=2=0.32+0.64=0.96.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回设随机变量设随机变量X只可能取只可能取0或或1两个

10、值两个值,它的分布律是它的分布律是 PX=k=pk(1-p)1-k,k=0,1(0pk表示表示A至少发生至少发生k+1次的概率次的概率.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 特别地特别地,当当n=1时时,二项分布化为二项分布化为 PX=k=pkq1-k,q=1-p,k=0,1.这就是这就是0-1分布分布.所以所以0-1分布分布通常也写为通常也写为XB(1,p).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回讲评讲评伯努利概型有下述要求：伯努利概型有下述要求：(1)每次试验条件相同，可重复；每次试验条件相同，可重复；(2)每次试验只考虑两个互逆结果每次试验只考虑两个互逆结果A或或,

11、且且P(A)=p；(3)各次试验相互独立各次试验相互独立.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例2.2.3已知某产品的次品率为已知某产品的次品率为0.04,现有这样一批产品现有这样一批产品100件件.(1)(1)求这批产品中不少于求这批产品中不少于4件次品的概率件次品的概率.(2)(2)问这问这100100件产品中恰有件产品中恰有k件件(k=0,1,100)次品的概率是多少？次品的概率是多少？解解 我们将检查一件产品看作是进行一我们将检查一件产品看作是进行一次试验次试验,则检查则检查100件产品相当于做件产品相当于做100重伯重伯努利试验努利试验.以以X记记100件产品中次品的件

12、数件产品中次品的件数,则有则有 XB(100,0.04).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(1)用二项分布概率公式计算：用二项分布概率公式计算：因为因为 XB(100,0.04),所以所以 P4X100=(2)依题意，应计算概率分布律依题意，应计算概率分布律k=0,1,100.将计算部分结果列表如下将计算部分结果列表如下:上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回将计算结果列表如下将计算结果列表如下:PX=0=0.012PX=1=0.058PX=2=0.137PX=3=0.205PX=4=0.218PX=5=0.175PX=6=0.109PX=7=0.055PX=8=0.

13、022PX=9=0.007PX=10=0.002PX=k0是常数是常数,则称则称X服从参数为服从参数为的的泊松分泊松分布布,记作记作XP().上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回易知易知,PX=k0,k=0,1,2,且有且有 即即PX=k满足分布律条件满足分布律条件(2.2.2),(2.2.3),可可以作为离散型随机变量的概率分布以作为离散型随机变量的概率分布.泊松分布泊松分布P()中的参数中的参数的意义将在第四的意义将在第四章说明章说明.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回具有泊松分布的随机变量在实际应用中具有泊松分布的随机变量在实际应用中是很多的是很多的.例如例如,

14、一本书一面中的印刷一本书一面中的印刷错误数、某地区在一天内邮递遗失的信件数、错误数、某地区在一天内邮递遗失的信件数、某一医院在一天内的急诊病人数、某一地区某一医院在一天内的急诊病人数、某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数、在一一个时间间隔内发生交通事故的次数、在一个时间间隔内某种放射性物质发出的并经过个时间间隔内某种放射性物质发出的并经过计数器的计数器的粒子数等都服从泊松分布粒子数等都服从泊松分布.泊松分泊松分布也是概率论中的一种重要分布布也是概率论中的一种重要分布.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 泊松分布还有一个非常实用的特性，泊松分布还有一个非常实用的特性，即可以用泊

15、松分布作为二项分布的即可以用泊松分布作为二项分布的一种近似一种近似.在二项分布在二项分布B(n,p)中，当中，当n较大时，较大时，计算量是令人烦恼的计算量是令人烦恼的.而在而在p较小时使用以下较小时使用以下的泊松定理，可以减少二项分布中的计算量的泊松定理，可以减少二项分布中的计算量.定理定理3 3(泊松定理泊松定理)在在n重伯努利试验中，重伯努利试验中，事件事件A在一次试验中发生的概率为在一次试验中发生的概率为pn，如果，如果当当n时，有时，有npn,则则 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回证证 记记npn=n,即即pn=n/n.我们可得我们可得对固定的对固定的k有有从而从而对任

16、意的对任意的k(k=0,1,2,)成立成立.定理得证定理得证.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 由于泊松定理是在由于泊松定理是在npn条件下条件下获得的，故在计算二项分布获得的，故在计算二项分布B(n,p)时，时，当当n很大，很大，p很小，而很小，而乘积乘积=np大小大小适中适中时，可以用泊松分布作近似，即时，可以用泊松分布作近似，即,k=0,1,2(2.2.8)例例2.2.4 用用泊松定理再计算例用用泊松定理再计算例2.2.3问问题题(1)：在次品率为：在次品率为0.04的的 100件产品中，求件产品中，求这批产品中不少于这批产品中不少于4件次品的概率件次品的概率.上页上页下

17、页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 解解 用用X表示表示100件产品中的次品件产品中的次品数数,则则.利用二项分布概率公式计算利用二项分布概率公式计算例例2.2.3问题问题(1)得到得到P4X1000.5705.现用泊松定理计算：由于现用泊松定理计算：由于=np=4,=4,有有P4X100=0.5669.可见，当可见，当n较大较大,p较小时较小时,泊松定理比泊松定理比二项分布更简单些二项分布更简单些.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回三种重要的常见的离散型随机变量分布必三种重要的常见的离散型随机变量分布必须掌握分布律定义及参数意义须掌握分布律定义及参数意义.2.2.5内容小结

18、内容小结 在在本次课中本次课中,我们介绍了离散型随机我们介绍了离散型随机变量及其概率分布变量及其概率分布.对于离散型随机变量对于离散型随机变量,如果知道了它的概率分布如果知道了它的概率分布,也就知道了该随机变也就知道了该随机变量取值的概率规律量取值的概率规律.在这个意义上在这个意义上,我们说离散我们说离散型随机变量由它的概率分布唯一确定型随机变量由它的概率分布唯一确定.2.2.6 2.2.6 习题布置习题布置习题习题2.62、4、9.参考文献与联系方式参考文献与联系方式1郑一郑一,王玉敏王玉敏,冯宝成冯宝成.概率论与数理统计概率论与数理统计.大连理大连理工大学出版社，工大学出版社，2015年年

19、8月月.2郑一郑一,戚云松戚云松,王玉敏王玉敏.概率论与数理统计学习指概率论与数理统计学习指导书导书.大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，2015年年8月月.3郑一郑一,戚云松戚云松,陈倩华陈倩华,陈健陈健.概率论与数理统计教概率论与数理统计教案案作业与试卷作业与试卷.大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，2015年年8月月.4王玉敏王玉敏,郑一郑一,林强林强.概率论与数理统计教学实验概率论与数理统计教学实验教材教材.中国科学技术出版社，中国科学技术出版社，2007年年7月月.联系方式联系方式： 泊松泊松（S.D.Poisson,17811840)法国数学家、力学家和物理学家，科法国数学家、力学家和物理学家，科学院院士学院院士.在他的在他的关于判断犯罪现象的概率关于判断犯罪现象的概率研究研究（1837 7年）一书中，包含著名的泊松三年）一书中，包含著名的泊松三定理：泊松定理，泊松大数定律和泊松中心极定理：泊松定理，泊松大数定律和泊松中心极限定理（第五章）限定理（第五章）