第7章：对策论.ppt

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1、第第 1 章：对策论章：对策论1.1 1.1 基本概念基本概念一、竞争现象一、竞争现象 各种比赛：体育、棋类等比赛。各种比赛：体育、棋类等比赛。政治方面：外交谈判。政治方面：外交谈判。经济方面：贸易谈判，争夺市场，各种经营竞争等。经济方面：贸易谈判，争夺市场，各种经营竞争等。工业生产方面：多创价值。工业生产方面：多创价值。例例1-1.1-1.齐王与田忌赛马：他们各有上等、中等、下等马各一匹，且同级马，齐王比田忌强些。双方齐王与田忌赛马：他们各有上等、中等、下等马各一匹，且同级马，齐王比田忌强些。双方 约定：每局比赛三场，每负一场者应付约定：每局比赛三场，每负一场者应付1 1千金，且每匹马都应参

2、加比赛。结果田忌以千金，且每匹马都应参加比赛。结果田忌以 O O：3 3 输了后请教孙膑，则采用如下策略反败为胜，结果田忌二胜一负，实得输了后请教孙膑，则采用如下策略反败为胜，结果田忌二胜一负，实得1 1千金。千金。齐王齐王田忌田忌上等马上等马上等马上等马中等马中等马中等马中等马下等马下等马下等马下等马败败胜胜胜胜1例例1-2.1-2.两小孩玩石头、剪刀、布的游戏：甲、乙两小孩出的手势都有可能是石头、剪刀、布，两小孩玩石头、剪刀、布的游戏：甲、乙两小孩出的手势都有可能是石头、剪刀、布，若他们三次出的手势如下图，则乙小孩二胜一负。若他们三次出的手势如下图，则乙小孩二胜一负。甲小孩甲小孩乙小孩乙小

3、孩石头石头石头石头剪刀剪刀剪刀剪刀布布布布败败胜胜胜胜二、竞争现象的特点二、竞争现象的特点 双方均有理智：为击败对手，可随机应变改变策略双方均有理智：为击败对手，可随机应变改变策略(多为保密多为保密)。实力强者：稳扎稳打以优势取胜。实力强者：稳扎稳打以优势取胜。实力弱者：避开对方优势锋芒，打击对方弱点取胜。实力弱者：避开对方优势锋芒，打击对方弱点取胜。在经济管理对策中：把非理智的客观世界设想为在经济管理对策中：把非理智的客观世界设想为“理智人理智人”，并与之斗争。，并与之斗争。三、对策论的概念三、对策论的概念 研究竞争现象的一种定量分析理论。研究竞争现象的一种定量分析理论。三、对策论的起源三、

4、对策论的起源 1 1 我国古代围棋比赛和我国古代围棋比赛和1717世纪欧洲国际象棋比赛世纪欧洲国际象棋比赛 形成模拟模型。形成模拟模型。2 19122 1912年，数学家翟墨罗发表论文年，数学家翟墨罗发表论文“把集合论应用于象棋的博奕理论把集合论应用于象棋的博奕理论”，把对策从模拟模型把对策从模拟模型抽象为抽象为数学模型。数学模型。3 3 第一次世界大战期间，产生了军事对策第一次世界大战期间，产生了军事对策(战役、战略、军事装备等战役、战略、军事装备等)。4 19444 1944年，冯年，冯诺意曼与经济学家摩根斯特恩合写诺意曼与经济学家摩根斯特恩合写“对策论与经济行为对策论与经济行为”,把对策

5、论把对策论应用于应用于经济管经济管理。理。5 5 我国公元前六世纪我国公元前六世纪(春秋春秋)“)“孙子兵法孙子兵法”1313篇。篇。2四、对策四、对策 参加竞争的各方为了取胜，而研究出一组对付对方的策略。参加竞争的各方为了取胜，而研究出一组对付对方的策略。五、对策的三要素五、对策的三要素 1 1 局中人：参加竞争，并有决策权的各方局中人：参加竞争，并有决策权的各方(二人或多人二人或多人)。如：齐王和田忌。如：齐王和田忌。2 2 策略：策略：在一局竞争中，每一局中人均有供他选择的实际可行的完整行动方案。在一局竞争中，每一局中人均有供他选择的实际可行的完整行动方案。如例如例1-11-1，齐王有，

6、齐王有6 6个策略：个策略：(上中下上中下)，(上下中上下中),(),(中上下中上下),(),(中下上中下上),(),(下上中下上中),(),(下中上下中上)田忌有田忌有6 6个策略：个策略：(上中下上中下)，(上下中上下中),(),(中上下中上下),(),(中下上中下上),(),(下上中下上中),(),(下中上下中上)如例如例1-21-2，甲小孩有，甲小孩有3 3个策略：个策略：石头，剪刀，布石头，剪刀，布 乙小孩有乙小孩有3 3个策略：个策略：石头，剪刀，布石头，剪刀，布 3 3 一局对策的得失：局中人的得失。叫支付函数，对有限策略集，叫支付一局对策的得失：局中人的得失。叫支付函数，对有限

7、策略集，叫支付矩阵矩阵。如：齐王出策略如：齐王出策略(上中下上中下)，田忌出策略田忌出策略(中上下中上下)，则齐王二胜一负，赢得则齐王二胜一负，赢得1 1千金；千金；田忌损失田忌损失1 1千金。千金。六、局势六、局势 每个局中人从各自的策略集合中选取一个策略参加对策，形成的一个处于竞争的策略组。每个局中人从各自的策略集合中选取一个策略参加对策，形成的一个处于竞争的策略组。如：齐王选策略如：齐王选策略(上中下上中下)，田忌选策略田忌选策略(中上下中上下)，构成一个局势，构成一个局势(上中下上中下)，(中上下中上下)。局势的得失总和为局势的得失总和为0 0。七、对策的分类七、对策的分类3对对策策动

8、动态态对对 策策静静态态对对 策策结结盟盟对对 策策不不结结盟盟对对 策策微分对策微分对策联合对策联合对策合作对策合作对策有有限限无无限限二人二人多人多人二人二人多人多人零和零和非零和非零和零和零和非零和非零和零和零和非零和非零和零和零和非零和非零和41.2 1.2 支付矩阵有鞍点的支付矩阵有鞍点的二人有限零和对策二人有限零和对策一、特点一、特点 1 1 策略公开。策略公开。2 2 得失确定且总和为零：一方所得必为另一方所失，局中人利益冲突得失确定且总和为零：一方所得必为另一方所失，局中人利益冲突(对抗对策对抗对策)。3 3 单局竞争决定胜负。单局竞争决定胜负。二、建模二、建模：建立支付函数，

9、这里是支付矩阵建立支付函数，这里是支付矩阵(也叫矩阵对策问题也叫矩阵对策问题)设局中人甲有设局中人甲有m m个纯策略个纯策略 S S甲甲=1 1,2 2,m m，局中人局中人乙乙有有n n个纯策略个纯策略 S S乙乙=1 1,2 2,n n。纯局势纯局势(i i,j j)得失为得失为a aijij：当：当a aijij0 0时，时，甲甲赢得赢得a aijij，乙损失乙损失a aijij；当当a aijij0 0时，时，甲损失甲损失-a aijij，乙乙赢得赢得-a aijij。构成支付矩阵构成支付矩阵 A A：对策可写成对策可写成 G=G=甲，乙，甲，乙，S S甲甲，S S乙乙，AA。5 如例

10、如例1-1.1-1.齐王与田忌赛马：齐王与田忌赛马：1 1(上中下上中下)2 2(上下中上下中)3 3(中上下中上下)4 4(中下上中下上)5 5(下上中下上中)6 6(下中上下中上)1 1(上中下上中下)3 31 11 11 11 1-1-1 2 2(上下中上下中)1 13 31 11 1-1-11 1 3 3(中上下中上下)1 1-1-13 31 11 11 1 4 4(中下上中下上)-1-11 11 13 31 11 1 5 5(下上中下上中)1 11 1-1-11 13 31 1 6 6(下中上下中上)1 11 11 1-1-11 13 3齐王齐王田忌田忌a aijij则支付矩阵为：则

11、支付矩阵为：6 如例如例1-2.1-2.两小孩玩游戏：两小孩玩游戏：1 1(石头石头)2 2(剪刀剪刀)3 3(布布)1 1(石头石头)0 01 1-1-1 2 2(剪刀剪刀)-1-10 01 1 3 3(布布)1 1-1-10 0甲甲乙乙a aijij则支付矩阵为：则支付矩阵为：7例例1-3.1-3.某单位秋季要决定冬季取暖用煤的贮量。冬季用煤贮量在较暖、正常和较冷情况下分为某单位秋季要决定冬季取暖用煤的贮量。冬季用煤贮量在较暖、正常和较冷情况下分为 1010、1515和和2020吨。设冬季煤价也随寒冷程度而变，在上述三种情况下分别为吨。设冬季煤价也随寒冷程度而变，在上述三种情况下分别为34

12、0340、420420和和500500元元/吨，吨，已知秋季煤价为已知秋季煤价为340340元元/吨，冬季气象未能予知，问秋季合理贮煤量为多少？吨，冬季气象未能予知，问秋季合理贮煤量为多少？解：建模，设局中人甲为：贮煤量决策者；解：建模，设局中人甲为：贮煤量决策者；局中人乙为：未来冬季气候。局中人乙为：未来冬季气候。费用总和费用总和=秋季贮煤量费用秋季贮煤量费用+冬季补购煤量费用冬季补购煤量费用 1 1(较暖较暖)2 2(正常正常)3 3(较冷较冷)1 1(10(10 吨吨)-(10340)=-3400-(10340)=-3400-(10340+5420)=-5500-(10340+5420)

13、=-5500-(10340+10500)=-8400-(10340+10500)=-8400 2 2(15 15 吨吨)-(15340)=-5100-(15340)=-5100-(15340)=-5100-(15340)=-5100-(15340+5500)=-7600-(15340+5500)=-7600 3 3(20 20 吨吨)-(20340)=-6800-(20340)=-6800-(20340)=-6800-(20340)=-6800-(20340)=-6800-(20340)=-6800甲甲乙乙a aijij则支付矩阵为：则支付矩阵为：8二、求解二、求解 1 1 稳妥性原则稳妥性原

14、则 局中人在公开对策的前提下，都从最坏处着想，在最坏的环境中争取最好的结果。局中人在公开对策的前提下，都从最坏处着想，在最坏的环境中争取最好的结果。例例1-4 1-4 某企业决定由职工代表大会选举行政负责人，经提名产生候选人甲和乙。他们根据企业的某企业决定由职工代表大会选举行政负责人，经提名产生候选人甲和乙。他们根据企业的 发展战略和群众关心的事业各自提出了企业改革的方案。甲提出了四种：发展战略和群众关心的事业各自提出了企业改革的方案。甲提出了四种：1 1,2 2,3 3,4 4；乙提出了三种：乙提出了三种：1 1,2 2,3 3。他们的参谋人员为使竞争对本方有利，予先作了个民意抽样。他们的参

15、谋人员为使竞争对本方有利，予先作了个民意抽样 测验。因各方提供的不同策略对选票吸引力不同。测验选票经比较后差额如下表测验。因各方提供的不同策略对选票吸引力不同。测验选票经比较后差额如下表 (单位单位:十张十张)：1 1 2 2 3 3 1 1-4-40 0-6-6 2 23 32 24 4 3 316161 1-9-9 4 4-1-11 17 7甲甲乙乙a aijij问：甲和乙在竞选中应采用何种策略？问：甲和乙在竞选中应采用何种策略？解：对策时，双方均理智，且发挥主动性。解：对策时，双方均理智，且发挥主动性。最后，甲用最后，甲用 2 2竞选，领先竞选，领先2O2O票优势；票优势；乙只能用乙只能

16、用 2 2竞选，缩短票数差距。竞选，缩短票数差距。双方均认为只能如此，为双方妥协结果。双方均认为只能如此，为双方妥协结果。支付矩阵中：支付矩阵中：每行选最小值，这些最小值中选最大值每行选最小值，这些最小值中选最大值V V1 1；-6-62 2-9-9-1-1每列选最大值，这些最大值中选最小值每列选最大值，这些最大值中选最小值V V2 2；16162 27 7若若 V V1 1=V=V2 2，则得最优解。则得最优解。9 2 2 稳妥性原则数学表达：稳妥性原则数学表达：对甲而言是最小最大原则：从支付矩阵每行元素中取最小数，再从这些最小数中取最大数，得对甲而言是最小最大原则：从支付矩阵每行元素中取最

17、小数，再从这些最小数中取最大数，得 对乙而言是最大最小原则：从支付矩阵每列元素中取最大数，再从这些最大数中取最小数，得对乙而言是最大最小原则：从支付矩阵每列元素中取最大数，再从这些最大数中取最小数，得 若若V V1 1=V=V2 2=V=VG G，则稳妥原则实现，则稳妥原则实现，V VG G为支付矩阵的稳定值为支付矩阵的稳定值即鞍点值，对应的纯策略即鞍点值，对应的纯策略 i i*,j j*为为 甲甲、乙的最优纯策略乙的最优纯策略，局势局势(i i*,j j*)为对策的最优解，即：为对策的最优解，即：鞍点鞍点 行元素行元素变化趋势变化趋势列元素列元素变化趋势变化趋势如例如例1-3.1-3.-84

18、00-8400-7600-7600-6800-6800-3400-3400-5100-5100-6800-6800 甲用策略甲用策略 3 3，乙，乙用策略用策略 3 3，即即 秋季购进煤秋季购进煤2O2O吨，总费用最低为吨，总费用最低为68OO68OO元。元。10例例1-5 1-5 某厂工程师设计了三个矿石冶炼某厂工程师设计了三个矿石冶炼(或选矿或选矿)流程，考虑到它们的所用设备和工艺环节等因素，流程，考虑到它们的所用设备和工艺环节等因素，若付诸实施可会遇上生产正常和生产不正常两种情况若付诸实施可会遇上生产正常和生产不正常两种情况,这两种情况的出现及其概率未能予知，这两种情况的出现及其概率未能

19、予知，但三个流程在这两种情况下的单位支付费用已算出，如下表，问：选用哪个流程较好但三个流程在这两种情况下的单位支付费用已算出，如下表，问：选用哪个流程较好?1 1(生产正常生产正常)2 2(生产不正常生产不正常)1 1(流程流程1)1)-1.5-1.5-1.7-1.7 2 2(流程流程2)2)-1.4-1.4-1.8-1.8 3 3(流程流程3)3)-1.4-1.4-1.7-1.7甲甲乙乙a aijij解：有二个鞍点局势解：有二个鞍点局势(1 1,2 2)和和(3 3,2 2)甲用甲用 1 1，乙用，乙用 2 2；甲用甲用 3 3，乙用，乙用 2 2 最小支付费用为：最小支付费用为：1.7(1

20、.7(百元百元/吨吨)。所以应选所以应选“流程流程1 1”或或“流程流程3”3”。-1.7-1.7-1.8-1.8-1.7-1.7-1.4-1.4-1.7-1.7三、鞍点对策问题两个性质三、鞍点对策问题两个性质 1 1 解的稳定性解的稳定性 对策的最终结局可在支付矩阵中得到双方均认可的妥协，对策的最终结局可在支付矩阵中得到双方均认可的妥协，双方均认识到在原有策略中存在最优策略。双方均认识到在原有策略中存在最优策略。2 2 对策的公开性对策的公开性 双方均明确并可公开申明参加对策的最优策略，最优局势是双方妥协的结果，双方均明确并可公开申明参加对策的最优策略，最优局势是双方妥协的结果，反映双方策略

21、的实力。反映双方策略的实力。111.3 1.3 支付矩阵无鞍点的支付矩阵无鞍点的二人有限零和对策二人有限零和对策一、特点一、特点 1 1 策略保密性：图谋出奇制胜。策略保密性：图谋出奇制胜。2 2 得失随机性：某局竞争的胜败难于予料，强者可败，弱者可胜。得失随机性：某局竞争的胜败难于予料，强者可败，弱者可胜。3 3 多局竞争性：多局竞争后决定胜负。多局竞争性：多局竞争后决定胜负。二、建模二、建模：建立得失期望值函数建立得失期望值函数 1 1 混合策略混合策略 设局中人甲有设局中人甲有m m个纯策略个纯策略 S S甲甲=1 1,2 2,m m，局中人乙有局中人乙有n n个纯策略个纯策略 S S乙

22、乙=1 1,2 2,n n。纯局势纯局势(i i,j j)得失为得失为a aijij，构成的支付矩阵构成的支付矩阵A A无鞍点无鞍点。G=G=甲，乙，甲，乙，S S甲甲，S S乙乙，AA。设甲以设甲以 x x1 1,x,x2 2,x xm m 的的概率取纯策略概率取纯策略 1 1,2 2,m m，则称概率向量则称概率向量 X X =(=(x x1 1,x,x2 2,x xm m)为甲的一个混合策略为甲的一个混合策略，x xi i00，x x1 1+x+x2 2+x xm m=1=1，甲的混合策略集记为甲的混合策略集记为 S S(m)(m)；设乙以设乙以 y y1 1,y,y2 2,y yn n

23、 的概率取纯策略的概率取纯策略 1 1,2 2,n n，则称概率向量则称概率向量 Y Y =(=(y y1 1,y,y2 2,y yn n )为乙的一个混合策略，为乙的一个混合策略，y yi i00，y y1 1+y+y2 2+y yn n=1=1，乙的混合策略集记为乙的混合策略集记为 T T(n)(n)。2 2 混合局势混合局势 (X,Y)(X,Y)称为称为混合局势混合局势。3 3 得失期望值得失期望值12 如例如例1-2.1-2.两小孩共玩了两小孩共玩了1010局游戏对策，最后总计谁胜谁负，设这局游戏对策，最后总计谁胜谁负，设这1010次游戏中：次游戏中：甲随机出了甲随机出了 3 3次石头

24、、次石头、3 3次剪刀、次剪刀、4 4次布，即甲采用混合策略次布，即甲采用混合策略 X=(0.3,0.3,0.4)X=(0.3,0.3,0.4)；乙随机出了乙随机出了 0 0次石头、次石头、5 5次剪刀、次剪刀、5 5次布，即乙采用混合策略次布，即乙采用混合策略 Y=(0,0.5,0.5)Y=(0,0.5,0.5)。1 1(石头石头)2 2(剪刀剪刀)3 3(布布)1 1(石头石头)0 01 1-1-1 2 2(剪刀剪刀)-1-10 01 1 3 3(布布)1 1-1-10 0甲甲乙乙a aijij支付矩阵为支付矩阵为(无无鞍点鞍点)：得失期望值为得失期望值为：所以，甲平均要输所以，甲平均要输

25、 0.050.05。13 4 4 最优混合策略最优混合策略 定义定义:若若 X X*S S(m)(m),Y,Y*T T(n)(n)，使对所有使对所有 X X S S(m)(m),Y,Y T T(n)(n),都有都有 E(E(X,YX,Y*)E()E(X X*,Y,Y*)E()E(X X*,Y,Y),),则则 X X*、Y Y*分别称为甲、乙的最优混合策略，分别称为甲、乙的最优混合策略，(X X*,Y,Y*)为对策的解，为对策的解，E(E(X X*,Y,Y*)为对策值为对策值V V。例例1-6 1-6 给定一个矩阵对策给定一个矩阵对策 G=G=甲甲,乙乙,S,S甲甲,S,S乙乙,A,A，S S甲

26、甲=1 1,2 2,S,S乙乙=1 1,2 2 ，设甲以设甲以 x,1-x x,1-x 的概率取纯策略的概率取纯策略 1 1,2 2；乙以乙以 y,1-y y,1-y 的概率取纯策略的概率取纯策略 1 1,2 2。得失期望值为得失期望值为：求甲求甲、乙的最优混合策略乙的最优混合策略。解解：1 12 26 67 7 G G无鞍点，两局中人无纯策略稳定解，斗争转入策略保密，无鞍点，两局中人无纯策略稳定解，斗争转入策略保密，即求最优混合策略。即求最优混合策略。当甲以 x=2/5=0.4 的概率选1时，其赢利期望值 E(X,Y)=4，是甲从稳妥原则出发能达到的最大期望赢利值,而x,1-x=0.4,0.

27、6=X*是甲的最优混合策略，当x取一值时，y可取另外一值与其对抗，但当x=2/5时，y无论取何值都无法与其对抗；当乙以 y=1/2=0.5 的概率选1时，其损失期望值 E(X,Y)=4，是乙从稳妥原则出发能达到的最小期望损失值,而y,1-y=0.5,0.5=Y*是乙的最优混合策略，当y取一值时，x可取另外一值与其对抗，但当y=1/2时，x无论取何值都无法与其对抗。故 X*=0.4,0.6，Y*=0.5,0.5，E(X*，Y*)=4 就是双方都感到只能如此的最好结果。14 存在性定理存在性定理：任意一个给定的矩阵对策一定有解任意一个给定的矩阵对策一定有解，局中人双方总有一个最优混合策略局中人双方

28、总有一个最优混合策略，即：即：则则 X X*、Y Y*为甲、乙的最优混合策略，为甲、乙的最优混合策略，(X X*,Y,Y*)为对策的解，对策值为对策的解，对策值 V=VV=V1 1=V=V2 2。定理定理1 1：若矩阵对策值为若矩阵对策值为V V，则下面两组不等式的解是局中人甲、乙的最优混合策略：则下面两组不等式的解是局中人甲、乙的最优混合策略：定理定理2 2：若若 X X*、Y Y*为甲、乙的最优混合策略，为甲、乙的最优混合策略，则对某一个则对某一个i i或或j j，有有 15 5 5 支付矩阵的缩减：若存在优势策略，则支付矩阵阶数可降低支付矩阵的缩减：若存在优势策略，则支付矩阵阶数可降低

29、对局中人甲，他希望对策的局势值对局中人甲，他希望对策的局势值 a aijij 越大越好：越大越好：若若 第第 i i 行所有元素行所有元素 第第 L L 行所有元素行所有元素，即即 a aijij a aLjLj，j=1,2,nj=1,2,n，则则甲理智，必采用甲理智，必采用 i i 纯策略而纯策略而舍去舍去 L L 纯策略纯策略，不，不影响最优混合策略和策略鞍点值影响最优混合策略和策略鞍点值。此时称此时称 i i 策略为对策略为对 L L 策略的优势策略策略的优势策略。对局中人乙，他希望对策的局势值对局中人乙，他希望对策的局势值 a aijij 越小越好：越小越好：若若 第第 j j 列所有

30、元素列所有元素 第第 K K 列所有元素列所有元素，即即 a aijij a aiKiK，i=1,2,mi=1,2,m，则乙则乙理智，必采用理智，必采用 j j 纯策略而纯策略而舍去舍去 K K 纯策略纯策略，不影响最优混合策略和策略鞍点值不影响最优混合策略和策略鞍点值。此时称此时称 j j 策略为对策略为对 K K 策略的优势策略策略的优势策略。例例1-7 1-7 设有矩阵对策设有矩阵对策 注：无鞍点对策时，要求决策的不是每次局中人应选那个纯策略，而是决定用多大的概率选择注：无鞍点对策时，要求决策的不是每次局中人应选那个纯策略，而是决定用多大的概率选择 每一种纯策略，以期达到能平均反映各方纯

31、策略实力的稳妥结果。每一种纯策略，以期达到能平均反映各方纯策略实力的稳妥结果。16三、最优混合策略的求解方法三、最优混合策略的求解方法 1 1 图解法：适用于缩减后的支付矩阵为图解法：适用于缩减后的支付矩阵为2n2n或或m2m2的无鞍点对策问题。的无鞍点对策问题。例例1-8 1-8 设有下列矩阵对策，求甲、乙的最优混合策略。设有下列矩阵对策，求甲、乙的最优混合策略。解：设甲的混合策略为解：设甲的混合策略为(x,1-x)(x,1-x)，乙的混合策略为乙的混合策略为(y,1-y)(y,1-y)。得失期望值为得失期望值为：甲的期望值方程为甲的期望值方程为：V=x+6(1-x)=6 5x V=x+6(

32、1-x)=6 5x V=7x+2(1-x)=2+5x V=7x+2(1-x)=2+5x 乙的期望值方程为乙的期望值方程为：V=y+7(1-y)=7 6y V=y+7(1-y)=7 6y V=6y+2(1-y)=2+4y V=6y+2(1-y)=2+4y 0 0 x xV VA AB BC C4 4 0.40.4 甲的最优混合策略为甲的最优混合策略为(0.4,0.6,0),(0.4,0.6,0),对策值为对策值为V=4;V=4;0 0y yV VA ABBC C4 4 0.50.5CCAA 乙的最优混合策略为乙的最优混合策略为(0.5,0.5,0),(0.5,0.5,0),对策值为对策值为V=4

33、;V=4;172 2 解析法：适用于缩减后的支付矩阵为解析法：适用于缩减后的支付矩阵为nnnn方阵的无鞍点对策问题。方阵的无鞍点对策问题。设甲的混合策略为设甲的混合策略为(x(x1 1,x,x2 2,x xn n)，乙的混合策略为乙的混合策略为(y(y1 1,y,y2 2,y yn n)。得失期望值为得失期望值为：甲的期望值方程为甲的期望值方程为：乙的期望值方程为乙的期望值方程为：解得甲的最优混合策略为解得甲的最优混合策略为X X*=(x=(x1 1*,x xn n*););解得乙的最优混合策略为解得乙的最优混合策略为Y Y*=(y=(y1 1*,y yn n*),),对策值对策值V=VV=V

34、*;18 例例1-9 1-9 求两小孩玩游戏对策的最优混合策略。求两小孩玩游戏对策的最优混合策略。甲小孩的期望值方程为甲小孩的期望值方程为：乙小孩的期望值方程为乙小孩的期望值方程为：解得甲的最优混合策略为解得甲的最优混合策略为 X X*=(1/3,1/3,1/3),=(1/3,1/3,1/3),V V*=0=0 解得乙的最优混合策略为解得乙的最优混合策略为 Y Y*=(1/3,1/3,1/3),=(1/3,1/3,1/3),V V*=0;=0;无鞍点且不能缩减。无鞍点且不能缩减。设甲的混合策略为设甲的混合策略为(x(x1 1,x,x2 2,x,x3 3)，乙的混合策略为乙的混合策略为(y(y1

35、 1,y,y2 2,y,y3 3)。得失期望值为得失期望值为：甲、乙两小孩均以甲、乙两小孩均以1/31/3的同等概率取石头、剪刀、布纯策略，在不考虑其它因素的前提下，的同等概率取石头、剪刀、布纯策略，在不考虑其它因素的前提下，多局竞争的结果是最终和局，谁也不占优势，反映双方纯策略实力相等。多局竞争的结果是最终和局，谁也不占优势，反映双方纯策略实力相等。19 例例1-10 1-10 求齐王与田忌赛马对策的最优混合策略。求齐王与田忌赛马对策的最优混合策略。齐王的期望值方程为齐王的期望值方程为：田忌的期望值方程为田忌的期望值方程为：解得齐王的最优混合策略为解得齐王的最优混合策略为 X X*=(1/6

36、,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6),=(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6),V V*=1=1 无鞍点且不能缩减。无鞍点且不能缩减。设齐王的混合策略为设齐王的混合策略为(x(x1 1,x,x2 2,x,x3 3,x,x4 4,x,x5 5,x,x6 6)，田忌的混合策略为田忌的混合策略为(y(y1 1,y,y2 2,y,y3 3,y,y4 4,y,y5 5,y,y6 6)。双方都示以莫测，但很理智，总结局齐王得双方都示以莫测，但很理智，总结局齐王得1 1千金，表明齐王实力略胜一筹。千金，表明齐王实力略胜一筹。解得田忌的最优混合策略为解得田忌的最优混合策略为 Y Y*=(1/

37、6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6),=(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6),V V*=1=1 20 3 3 拉格朗日乘子法：适用于缩减后的支付矩阵为拉格朗日乘子法：适用于缩减后的支付矩阵为nnnn方阵的无鞍点对策问题。方阵的无鞍点对策问题。设甲的混合策略为设甲的混合策略为(x(x1 1,x,x2 2,x xn n)，乙的混合策略为乙的混合策略为(y(y1 1,y,y2 2,y yn n)。得失期望值为得失期望值为：求出最优混合策略和对策值求出最优混合策略和对策值，并且有：并且有：且满足且满足:s.t.:s.t.,即即:s.:s.t.t.,构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数

38、 L L 为为：解下列方程组解下列方程组：21 例例1-11 1-11 求下列对策的最优混合策略。求下列对策的最优混合策略。解下列方程组解下列方程组：解下列方程组解下列方程组：解得乙的最优混合策略为解得乙的最优混合策略为 Y Y*=(14/45,11/45,20/45),=(14/45,11/45,20/45),V V*=29/45=29/45 无鞍点且不能缩减。无鞍点且不能缩减。设甲的混合策略为设甲的混合策略为(x(x1 1,x,x2 2,x,x3 3)，乙的混合策略为乙的混合策略为(y(y1 1,y,y2 2,y,y3 3)。拉氏函数为拉氏函数为：解得甲的最优混合策略为解得甲的最优混合策略

39、为 X X*=(20/45,11/45,14/45),=(20/45,11/45,14/45),V V*=29/45=29/45 22 例例1-12 1-12 求下列对策的最优混合策略。求下列对策的最优混合策略。解下列方程组解下列方程组：解得乙的最优混合策略为解得乙的最优混合策略为 y y1 1*=26/35,=26/35,y y2 2*=19/35,=19/35,y y3 3*=-2/7=-2/7 0 0,违背概率定义违背概率定义 1 1=V V*=5/14=5/14 无鞍点且不能缩减。无鞍点且不能缩减。设甲的混合策略为设甲的混合策略为(x(x1 1,x,x2 2,x,x3 3)，乙的混合策

40、略为乙的混合策略为(y(y1 1,y,y2 2,y,y3 3)。拉氏函数为拉氏函数为：解析法与拉氏法不是对所有的有解支付矩阵均能得到正确答案解析法与拉氏法不是对所有的有解支付矩阵均能得到正确答案，没有顾及变量非负的要求没有顾及变量非负的要求。23 4 4 线性规划法：适用于缩减后的支付矩阵为线性规划法：适用于缩减后的支付矩阵为 mn mn 矩阵的无鞍点对策问题。矩阵的无鞍点对策问题。设甲的混合策略为设甲的混合策略为(x(x1 1,x,x2 2,x xm m),),乙的混合策略为乙的混合策略为(y(y1 1,y,y2 2,y yn n)。得失期望值为得失期望值为：且满足且满足:s.t.:s.t.

41、,作变量作变量替换替换；这里不妨设这里不妨设 V V0 0，（，（否则可令否则可令 aaijij =a aijij +K+K，使得使得 V=V+K V=V+K 0 0）24 由定理由定理1 1的：的：此时对甲，要求此时对甲，要求 V V 取大，即取大，即 VmaxVmax，1/v min1/v min，于是得下列于是得下列 LP LP 数学模型数学模型：由定理由定理1 1的：的：此时对乙，要求此时对乙，要求 V V 取小，即取小，即 VMinVMin，1/v Max1/v Max，于是得下列于是得下列 LP LP 数学模型数学模型：以上两个数学模型互为对偶数模以上两个数学模型互为对偶数模,解出

42、其中一个数模的最优解解出其中一个数模的最优解,其影子价格就是另一个数模的最优解。其影子价格就是另一个数模的最优解。25 例例1-13 1-13 求下列对策的最优混合策略。求下列对策的最优混合策略。无鞍点且不能缩减，用无鞍点且不能缩减，用 LP LP 方法求解。方法求解。仍无鞍点且不能缩减，有仍无鞍点且不能缩减，有:规范化规范化26基基y y1 1y y2 2y y3 3s s1 1s s2 2s s3 3b b s s1 18 84 42 21 10 00 01 1s s2 22 28 84 40 01 10 01 1s s3 31 12 28 80 00 01 11 1-g-g1 11 11

43、 10 00 00 00 0y y1 11 10 00 01/71/7-1/14-1/140 01/141/14y y2 20 01 10 0-3/98-3/9831/19631/196-1/14-1/1411/19611/196y y3 30 00 01 1-5/98-5/98-3/98-3/981/71/75/495/49-g-g0 00 00 0-5/49-5/49-11/196-11/196-1/14-1/14-45/196-45/196最优解为：最优解为：影子价格为：影子价格为：甲的最优混合策略为甲的最优混合策略为:乙的最优混合策略为乙的最优混合策略为:对策值为对策值为:甲损失甲损失

44、 29/4529/45，乙赢得，乙赢得 29/4529/45。27习习 题题 一一1 1、有、有A,BA,B两个企业都想通过改革经营管理获得更多市场销售份额，两个企业都想通过改革经营管理获得更多市场销售份额，A A企业考虑的策略措施有：企业考虑的策略措施有：降低降低 产品价格；产品价格；提高产品质量，延长保修年限；提高产品质量，延长保修年限；推出新产品。推出新产品。B B企业考虑的策略措施有：企业考虑的策略措施有：增加增加 广告费用；广告费用；增修维修网点、扩大维护服务；增修维修网点、扩大维护服务；改进产品维修性能。由于各自采取的策略措施改进产品维修性能。由于各自采取的策略措施 不同。通过预测

45、，两企业对市场占有份额增加数如下表：不同。通过预测，两企业对市场占有份额增加数如下表：1 12 23 31 11010-1-13 33 312121010-5-53 36 68 85 5A A策略策略B B策略策略问：两企业各应采用何种最优策略问：两企业各应采用何种最优策略?竞争结果对谁有利？竞争结果对谁有利？2 2、某厂三种不同设备、某厂三种不同设备 1 1,2 2,3 3加工三种不同产品加工三种不同产品 1 1,2 2,3 3。已知这三种设备分别加工三种产品时，。已知这三种设备分别加工三种产品时，单位时间内创造的利润价值如下表，负数是设备消耗大于它创造的值。求一组合理的加工方案？单位时间内

46、创造的利润价值如下表，负数是设备消耗大于它创造的值。求一组合理的加工方案？1 1 2 2 3 3 1 14 4-1-12 2 2 20 05 53 3 3 33 33 37 7283.甲、乙双方谈判签定一项合同，甲方的最后“要价”是 25 万元，而乙方的“出价”是 20 万元，谈判限于僵局。为打破僵局，双方约定，再各报一个价，以下述价格成交：谁让步多，取谁 出的价；如果双方让步相同，则取双方报价的中间值。问：甲、乙双方应该如何报价？最后 的成交价是多少？乙甲202122232425Min20202020202022.520212121212122.525212222222222.524252223232322.523242522.5242422.522232425222522.5212223242521Max242322.523242522.5 甲的最优混合策略是要价 23 万元，乙的最优混合策略是出价 22 万元，双方让步相同，最后的成交价是 22.5 万元。29