专题05-三角形(原卷版).docx

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1、专题05 三角形 【知识点梳理】知识点1：三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶

2、点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.知识点2：几种特殊的三角形结论一：等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.【题型归纳目录】题型1：三角形的“四心”题型2：几种特殊的三角形【典型例题】题型1：三角形的“四心”例1.在ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点(

3、不与A、B、C重合)(1)如图1，若EF/BC，求证：(2)如图2，若EF不与BC平行，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由；(3)如图3，若EF上一点G恰为ABC的重心，AEAB=34，求的值例2.已知反比例函数y=kx(k0)的图象与正比例函数y=mx(m0)的图象交于A，B两点，且点A在第二象限，点A的横坐标为-1.过点A作ADx轴，垂足为D，ADB的面积为2(1)求这两个函数的表达式(2)若P是这个反比例函数图象上的点，且ADP的面积是4，求点P的坐标例3.三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心如图G是ABC的重心求证：AD=3GD例4.如图，在ABC中，以AC为直径作O

4、交AB于D，CE平分BCD交AB于E，若AC=AE(1)求证：BC是O的切线(2)若BC=5，BE=1，求DE的长例5.如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点ABC的顶点在格点上仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：(1)作ABC的中线CD；(2)作ABC的高AD；(3)在BC边上找一点P，使tanCAP=25例6.在角平分线；中线；高线这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答问题：如图，在ABC中，BD，CE两条_分别交AC，AB于点D，E.若BD=CE，求证：AB=AC例7.如图，在A

5、BC中，BAC=90，B=50，AE是BAC的角平分线，CF是ACB的角平分线，AE与CF相交于O，AD是ABC的高，求BAD和AOC的度数例8.如图，在ABC中，B=40，C=80(1)求BAC的度数；(2)AE平分BAC交BC于点E，ADBC于点，求EAD的度数题型2：几种特殊的三角形例9.如图，在ABC中，AB=BC，点D是AC的中点，点O是AB上一点，以点O为圆心、OB为半径作O，与AB相交于点F，与AC相切于点E，连接BD与O相交于点G(1)求证：BE平ABD；(2)当AC=16，AB=10时，求AE的长例10.如图，已知正方形ABCD的边长为12，点E在DC边上，点G在BC的延长线

6、上，设正方形CEFG的面积为S1，以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1=43S2(1)求线段DE的长(2)若H为BC边上一点，CH=5，连接DH，DG，判断DHG的形状例11.如图，在ABC和DCB中，A=D=90，AC=BD，AC与BD相交于点O (1)求证：ABCDCB；(2)OBC是何种三角形？证明你的结论例12.据图回答问题【背景阅读】在长方形纸片中，有两组对边分别平行和相等，如图1，长方形纸片ABCD中，有AB/CD且AB=CD，AD/BC且AD=BC.在折叠长方形纸片时，翻折前后的图形应是全等的图形【实践操作】如图2，长方形的纸片ABCD中，AD=3cm，AB=4cm，

7、把该纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F(1)图中有等腰三角形吗？说明理由(2)求重叠部分(即ACF)的面积【问题解决】如图3，长方形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AB边上，将纸片沿CE折叠，点B落在点F处，EF，CF分别交AD于点G，H，且EG=GH，求AE的长例13.如图，设ABC和CDE都是等边三角形，并且EBD=90(1)求证：ACEBCD；(2)求AEB的度数例14.如图，在ABC中，BAC与ABC的角平分线AE，BE相交于点E，延长AE交ABC的外接圆于点D，连结BD，CD，CE，且BDA=60 (1)求证：BDE是等边三角形(2)若BDC=120，猜想

8、BDCE是何种特殊四边形，并证明你的猜想例15.(1)如图1，O是等边ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA=3，OB=4，OC=5，将BAO绕点B顺时针旋转后得到BCD，连接OD求：旋转角的度数_；线段OD的长_；求BDC的度数(2)如图2所示，O是等腰直角ABC(ABC=90)内一点，连接OA、OB、OC，将BAO绕点B顺时针旋转后得到BCD，连接OD.当OA、OB、OC满足什么条件时，ODC=90？请给出证明例16.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE/AC且DE=12AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F (1)求证：OE=CD; (2)若菱形ABCD的

9、边长为2，ABC=60.求AE的长【过关测试】一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CEAB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则以下结论：DCF=12BCD；EF=CF；SABC=2SCEF；DFE=3AEF，一定成立的是()A. B. C. D. 2.如图，RtABC中，C=90，B=30，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则CAD的度数是()A. 20B. 30C. 45D. 603.如图，在四边形ABCD中，B=90，AB=BC=1，CD

10、=6，AD=2，若D=，则BCD的大小为()A. 2B. 90+C. 135-D. 180-4.如图，AD是ABC的角平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高，得到下列四个结论：OA=OD；ADEF；当A=90时，四边形AEDF是正方形；AE+DF=AF+DE.其中正确的是()A. B. C. D. 5.如图，在RtABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DEAC于点E，延长DE至点F，使EF=DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且CDE+EGC=180，FG=2，GC=3.下列结论：DE=12BC；四边形DBCF是平行四边形；EF=EG；BC=25其中正确结论的个数是()A.

11、 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，BECE于点E，ADCE于点D，若AD=12，CD=5，则ED的长度是()A. 8B. 7C. 6D. 57.如图，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点动点P从点E出发，沿着EOBA的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图所示，则AB的长为()A. 42B. 4C. 33D. 228.如图，在ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，AFB=90，且AB=8，BC=14，则EF的长是()A. 2B.

12、 3C. 4D. 59.如图，已知ABC=DCB，添加以下条件，不能使ABCDCB的是()A. AB=DCB. A=DC. AC=DBD. ACB=DBC10.如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE/AB交AD于点E.若OE=3，BC=8，则OB的长为()A. 4B. 5C. 342D. 34二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.如图，ABC是一张顶角为120的三角形纸片，AB=AC，BC=12，现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为_12.如图，DE为ABC的中位线，点F在DE上，且AFB=90，若AB=10，BC=16，则EF的长为_13.如图，

13、在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O，过点O作EF/BC交AB于E，交AC于F，过点O作ODAC于D，下列四个结论：EF=BE+CF；BOC=90+12A；点O到ABC各边的距离相等；设OD=m，AE+AF=n，则SAEF=mn其中正确的结论是_.(填序号)14.如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC，DC上，连接AG，EG，AE，将ABG和ECG分别沿AG，EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F.若CE=3，CG=4，则sinDAE=_15.如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB于点D，AD=95，BD=165，则sinB=_16.对角线互相垂直的四边形叫做“

14、垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.若AD=2，BC=4，则AB2+CD2=_17.如图，在RtAOB中，OA=OB=42.O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ长的最小值为_18.如图，已知两块三角板如图摆放，点B和点C分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点M在另一块三角板的边上，且BAC=40，E=60，F=45，则ABE+EMF+FCA= _ 度19.如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AEBD于点E，CFBD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：CF=AE

15、；OE=OF；图中共有四对全等三角形；四边形ABCD是平行四边形；其中正确结论的是_20.如图，CE是ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E.连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：四边形ACBE是菱形；ACD=BAE；AF：BE=2：3；S四边形AFOE：SCOD=2：3其中正确的结论有_.(填写所有正确结论的序号)三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）21.如图，在44的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形(1)在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；(2)在图中，画一个直角三角形，使它的一边长是

16、有理数，另外两边长是无理数；(3)在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数22.如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE相交于点G(1)求证：BE=AF；(2)若AB=4，DE=1，求AG的长23.ABC是等边三角形，点P在BC的延长线上，以P为中心，将线段PC逆时针旋转n(0n180)得线段PQ，连接AP，BQ(1)如图1，若PC=AC，画出当BQ/AP时的图形，并写出此时n的值；(2)M为线段BQ的中点，连接PM.写出一个n的值，使得对于BC延长线上任意一点P，总有MP=12AP，并说明理由24.在ABC中，D为BC中点，BE、CF与射线AE分别相

17、交于点E、F(射线AE不经过点D)(1)如图，当BE/CF时，连接ED并延长交CF于点H.求证：四边形BECH是平行四边形；(2)如图，当BEAE于点E，CFAE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND.求证：EMD=FND25.如图，折叠长方形纸片ABCD的一边，使点D落在BC边的D处，AE是折痕已知AB=6cm，BC=10cm，求CE的长26.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG=CH，直线GH绕点O逆时针旋转角，与边AB、CD分别相交于点E、F(点E不与点A、B重合)(1)求证：四边形EHFG是平行四边形；(2)若=90，A

18、B=9，AD=3，求AE的长27.如图，在平行四边形ABCD中，以点B为圆心，适当长的半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧交于点G，作射线BG交AD于点H，交CD的延长线于点I，分别过点H、I作CI、AD的平行线，并相交于点J(1)求证：四边形HDIJ是菱形；(2)如图，若A=90，AB=6，BC=10，求HI的长28.如图，AB=AD，BC=DC，点E在AC上(1)求证：AC平分BAD；(2)求证：BE=DE29.已知：在ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF/BC，交BE的延长线于F，连接CF(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；(2)填空：当AB=AC时，四边形ADCF是_形；当BAC=90时，四边形ADCF是_形14原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司