高考理科数学湖南卷试题及答案.pdf

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1、20052005 年高考理科数学湖南卷试题及答案年高考理科数学湖南卷试题及答案源头学子小屋一、选择题:本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1复数 zii2i3i4的值是（)A1B0C1Di2函数 f（x）的定义域是(）A,0B0，C（,0）D(,）3已知数列log2（an1)（nN）为等差数列，且 a13,a25，则=(）A2BC1D4 已知点 P（x,y）在不等式组表示的平面区域上运动，则 zxy 的取值范围是（）A2,1B2，1C1，2D1，25 如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，O 是底面 A1B1C1D

2、1的中心,则 O 到平面 ABC1D1的距离为（）ABCD6设 f0(x）sinx，f1(x）f0（x），f2(x)f1（x)，fn1(x）fn(x）,nN，则 f2005(x）（）AsinxBsinxCcosxDcosx7已知双曲线1(a0，b0）的右焦点为 F，右准线与一条渐近线交于点A,OAF 的面积为（O 为原点）,则两条渐近线的夹角为（)A30B45C60D908集合 Ax|0，Bx|x-ba,若“a1是“AB”的充分条件，则 b 的取值范围是A2b0（）B0b2C3b1D1b294 位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定:每位同学必须从甲乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得 100

3、 分，答错得100 分；选乙题答对得 90 分，答错得90 分。若 4位同学的总分为 0,则这 4 位同学不同得分情况的种数是A48B36C24（)D1810设 P 是ABC 内任意一点,SABC表示ABC 的面积，1,2，3，定义 f（P)=（1，3),若 G 是ABC 的重心，f（Q)(,，)，则（）A点 Q 在GAB 内B点 Q 在GBC 内C点 Q 在GCA 内D点 Q 与点 G 重合第卷（非选择题）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分（第 15 小题每空 2 分），共 20 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11一工厂生产了某种产品16800 件，它们来自甲乙丙3

4、条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲乙 丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了件产品.12在的展开式中，x 2项的系数是.(用数字作答）13已知直线axbyc0 与圆 O:x2y21 相交于 A、B 两点，且AB|，则。14设函数 f(x)的图象关于点(1,2）对称，且存在反函数,f(4)0,则。15设函数 f(x）的图象与直线 x=a，x=b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数f（x）在a,b上的面积，已知函数 ysinnx 在0,上的面积为（nN），（i）ysin3x 在0,上的面积为；(ii）ysin(3x）1 在，上的面积为。三、解

5、答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16(本小题满分 12 分）已知在ABC 中，sinA(sinBcosB）sinC0，sinBcos2C0，求角 A、B、C 的大小。17（本题满分 12 分）如图 1，已知 ABCD 是上下底边长分别为 2 和 6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角,如图 2。（)证明：ACBO1；（)求二面角 OACO1的大小。图 1图 218(本小题满分 14 分）某城市有甲、乙、丙3 个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0。5，图 1图 20。6,且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开

6、该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。（）求的分布及数学期望；（）记“函数 f(x）x23x1 在区间2，上单调递增为事件 A，求事件 A的概率.19（本小题满分 14 分）已知椭圆 C：1(ab0)的左右焦点为 F1、F2，离心率为 e.直线l：yexa 与 x 轴y 轴分别交于点 A、B，M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,P 是点 F1关于直线 l 的对称点，设。（）证明:1e2;（）确定的值，使得PF1F2是等腰三角形.20（本小题满分 14 分)自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响。用 xn表示某

7、鱼群在第 n 年年初的总量，nN,且 x10.不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比,这些比例系数依次为正常数a，b，c.（）求 xn+1与 xn的关系式；（）猜测：当且仅当x1，a,b,c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）(）设 a2,b1,为保证对任意 x1（0,2)，都有 xn0，nN，则捕捞强度 b 的最大允许值是多少?证明你的结论。21（本小题满分 14 分）已知函数 f（x)lnx，g（x）ax2bx，a0（）若 b2，且 h(x）f(x）g(x)存在单调递减区间，求a 的取值范围；（)设函数 f（x)的图象

8、 C1与函数 g（x）图象 C2交于点 P、Q，过线段 PQ 的中点作 x轴的垂线分别交 C1，C2于点 M、N，证明C1在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切线不平行20052005 年高考理科数学湖南卷试题及答案年高考理科数学湖南卷试题及答案参考答案参考答案一、选择题:15：BACCB610:CDDBA二、填空题：11560012351314215，解：函数 ysinnx 在0，上的面积为（nN），就是函数ysinnx半周期的图像与 x轴所围成的封闭图形的面积为。（i）ysin3x 在0，上的面积为如图所示的两个封闭图形的面积.(ii）ysin（3x）1在，上的面积如图所示，其面积为：

9、。三、解答题：16解法一由得所以即因为所以，从而由知 从而。由即由此得所以解法二：由由、,所以即由得所以即因为,所以由从而，知 B+2C=不合要求再由，得所以17解法一（I)证明 由题设知 OAOO1,OBOO1.所以AOB 是所折成的直二面角的平面角，即 OAOB。故可以 O 为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图 3，则相关各点的坐标是A（3，0,0）,图 3B（0，3，0）,C（0，1，)O1（0，0，）。从而所以 ACBO1。（II）解：因为所以 BO1OC，由（I)ACBO1，所以 BO1平面 OAC,是平面 OAC 的一个法向量。设是 0

10、 平面 O1AC 的一个法向量，由得.设二面角 OACO1的大小为，由、的方向可知,，所以 cos，=即二面角 OAC-O1的大小是解法二(I）证明 由题设知 OAOO1，OBOO1,所以AOB 是所折成的直二面角的平面角，即 OAOB.从而 AO平面 OBCO1,OC 是 AC 在面 OBCO1内的射影。因为,所以OO1B=60，O1OC=30，从而 OCBO1由三垂线定理得 ACBO1.(II）解 由（I)ACBO1，OCBO1,知 BO1平面 AOC.设 OCO1B=E，过点 E 作 EFAC 于 F，连结 O1F（如图4)，则 EF 是 O1F 在平面 AOC内的射影，由三垂线定理得O

11、1FAC.所以O1FE 是二面角 O-ACO1的平面角.由题设知 OA=3,OO1=，O1C=1，所以，图 4从而，又 O1E=OO1sin30=，所以即二面角 O-ACO1的大小是18解：（I）分别记“客人游览甲景点”,“客人游览乙景点，“客人游览丙景点”为事件 A1，A2，A3。由已知 A1，A2，A3相互独立，P（A1）=0.4,P（A2）=0.5,P(A3)=0。6.客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为 3，2，1,0,所以的可能取值为 1,3。P（=3）=P（A1A2A3）+P（）=P（A1)P（A2）P（A3）+P(）=20。40。5

12、0.6=0。24,P（=1)=10.24=0。76。所以的分布列为13E=10.76+30。24=1。48.P0.760.24（）解法一因为所以函数上单调递增，要使上单调递增，当且仅当从而解法二:的可能取值为 1,3.当=1 时,函数上单调递增,当=3 时，函数上不单调递增.0所以19(）证法一:因为 A、B 分别是直线 l：与x 轴、y 轴的交点，所以A、B 的坐标分别是.所以点 M 的坐标是（）。由即证法二：因为A、B 分别是直线 l：与x 轴、y 轴的交点，所以A、B 的坐标分别是设 M的坐标是所以因为点 M 在椭圆上，所以即解得（）解法一:因为 PF1l，所以PF1F2=90+BAF1

13、为钝角,要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|,即设点 F1到 l 的距离为 d,由得所以即当PF1F2为等腰三角形。解法二:因为 PF1l，所以PF1F2=90+BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2，设点 P 的坐标是，则，由PF1|=F1F2|得两边同时除以 4a2,化简得从而于是即当时，PF1F2为等腰三角形20解（I）从第 n 年初到第 n+1 年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为 bxn，死亡量为（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于 x1，nN，从而由（）式得因为 x10，所以 ab猜测：当且仅当ab，且时，每年年初鱼

14、群的总量保持不变（)若 b 的值使得 xn0，nN由 xn+1=xn(3bxn)，nN*，知0 xn3b,nN，特别地，有 0 x10。又因为 xk+1=xk（2xk)=（xk1）2+112,所以 xk+1(0,2），故当 n=k+1 时结论也成立。由、可知，对于任意的nN，都有 xn(0,2）。综上所述，为保证对任意x1(0，2),都有 xn0，nN*，则捕捞强度 b 的最大允许值是 1.21解：（I）,则因为函数 h(x）存在单调递减区间，所以0 有 x0 的解.当 a0 时，y=ax2+2x1 为开口向上的抛物线，ax2+2x10 总有 x0 的解；当 a0 时,y=ax2+2x1 为开

15、口向下的抛物线,而 ax2+2x10 总有 x0 的解;则=4+4a0,且方程 ax2+2x1=0 至少有一正根.此时，1a0.综上所述，a 的取值范围为（1，0）(0，+）（II）证法一设点 P、Q 的坐标分别是（x1，y1）,(x2，y2）,0 x1x2.则点 M、N 的横坐标为C1在点 M 处的切线斜率为C2在点 N 处的切线斜率为假设 C1在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切线平行，则 k1=k2.即，则=所以设则令则因为时，所以在）上单调递增.故则。这与矛盾，假设不成立故 C1在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切线不平行证法二：同证法一得因为,所以令,得令因为，所以时，故在1，+上单调递增.从而，即于是在1，+上单调递增故即这与矛盾，假设不成立故 C1在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切线不平行