高等代数(II)期末考试试卷及答案(A卷).pdf

《高等代数(II)期末考试试卷及答案(A卷).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数(II)期末考试试卷及答案(A卷).pdf（6页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、高等代数（高等代数（IIII）期末考试试卷及答案（）期末考试试卷及答案（A A 卷）卷）一、一、填空题（每小题填空题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1 1、线性空间的两个子空间的交、线性空间的两个子空间的交2 2、设与是、设与是 n n 维线性空间维线性空间 V V 的两个基，的两个基，由到的过渡矩阵是由到的过渡矩阵是 C C，列向量，列向量 X X 是是 V V中向量在基下的坐标，则在基下中向量在基下的坐标，则在基下的坐标是的坐标是3 3、设、设 A A、B B 是是 n n 维线性空间维线性空间 V V 的某一线性变换在不同基下的矩阵的某一线性变换在不同基下的矩阵,则则

2、A A 与与 B B 的关系是的关系是4 4、设、设 3 3 阶方阵阶方阵 A A 的的 3 3 个行列式因子分别为个行列式因子分别为:则其特征矩阵的标准形是则其特征矩阵的标准形是5 5、线性方程组的最小二乘解所满足的线性方程组是：、线性方程组的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、二、单项选择题（每小题单项选择题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1 1、(）复数域）复数域 C C 作为实数域作为实数域 R R 上的线性空间可与下列哪一个上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构线性空间同构:（A A）数域）数域 P P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；上所有二级对角矩阵作成的线性

3、空间；（B B）数域）数域 P P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C C）数域）数域 P P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间上所有二级反对称矩阵作成的线性空间;（D D）复数域）复数域 C C 作为复数域作为复数域 C C 上的线性空间。上的线性空间。2 2、（)设设是非零线性空间是非零线性空间 V V 的线性变换，则下列命题正确的是：的线性变换，则下列命题正确的是：（A)A)的核是零子空间的充要条件是的核是零子空间的充要条件是是满射；是满射；（B B）的核是的核是 V V 的充要条件是的充要条件是是满射；是满射；（C)C)的值域是零子空间的充要条件

4、是的值域是零子空间的充要条件是是满射；是满射；(D(D）的值域是的值域是 V V 的充要条件是的充要条件是是满射。是满射。3 3、（）矩阵可逆的充要条件是：）矩阵可逆的充要条件是：是一个非零常数；是一个非零常数；是满秩的；是方阵。是满秩的；是方阵。4 4、（)设实二次型（设实二次型（A A 为对称阵）经正交变换后化为：为对称阵）经正交变换后化为：，则其中的是：则其中的是：全是正数；是全是正数；是 A A 的所有特征值的所有特征值;不确定。不确定。5 5、（）设）设 3 3 阶实对称矩阵阶实对称矩阵 A A 有三重特征根“”有三重特征根“”,则则 A A 的若当的若当1标准形是：标准形是：以上各

5、情形皆有可能。以上各情形皆有可能。三、三、是非题是非题(每小题每小题 2 2 分分,共共 1010 分分)（请在你认为对的小题对应的括号内打（请在你认为对的小题对应的括号内打“，否则打，否则打“”)1 1、（）设）设 V V1 1,V,V2 2均是均是 n n 维线性空间维线性空间 V V 的子空间，且的子空间，且则。则。2 2、（）n n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下的矩阵是一对角矩阵。的矩阵是一对角矩阵。3 3、（）同阶方阵）同阶方阵 A A 与与 B B 相似的充要条件是与相似的充要条件是与等价。等价。4 4、（）n n 维

6、欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵.5 5、（）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。四、四、解答题（每小题解答题（每小题 1010 分，共分，共 3030 分）分）1 1、在线性空间中，定义线性变换：、在线性空间中，定义线性变换：（1)1)求该线性变换求该线性变换在自然基：在自然基：下的矩阵下的矩阵 A A；(2(2）求矩阵）求矩阵 A A 的所有特征值和特征向量的所有特征值和特征向量.2 2、(1)(1)求线性空间中从基到基求线性空间中从基到基的过渡矩阵；的过渡矩阵；（2)2)求线性空间中向量在

7、基求线性空间中向量在基下的坐标。下的坐标。3 3、在、在 R R2 2中中,，规定二元函数：，规定二元函数：（1 1）证明：这是证明：这是 R R2 2的一个内积。的一个内积。（2 2）求求 R R2 2的一个标准正交基。的一个标准正交基。五、五、证明题证明题(每小题每小题 1010 分，共分，共 3030 分）分）1 1、设设 P P3 3的两个子空间分别为：的两个子空间分别为：证明证明:（1)1);（2)2)不是直和。不是直和。2 2、设、设是数域是数域 P P 上线性空间上线性空间 V V 的线性变换，证明的线性变换，证明2是是的不变子空间的兖要条件是的不变子空间的兖要条件是3 3、已知

8、是、已知是 n n 级正定矩阵级正定矩阵,证明证明:（1 1）A A 是正定矩阵；是正定矩阵；(2(2）答案答案一、一、填空题（每小题填空题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1 1、线性空间的两个子空间的交、线性空间的两个子空间的交2 2、设与是、设与是 n n 维线性空间维线性空间 V V 的两个基，的两个基，由到的过渡矩阵是由到的过渡矩阵是 C,C,列向量列向量 X X 是是 V V中向量在基下的坐标中向量在基下的坐标,则在基下则在基下的坐标是的坐标是3 3、设、设 A A、B B 是是 n n 维线性空间维线性空间 V V 的某一线性变换在不同基下的矩阵的某一线性变换在不

9、同基下的矩阵,则则 A A 与与 B B 的关系是的关系是相似关系相似关系4 4、设、设 3 3 阶方阵阶方阵 A A 的的 3 3 个行列式因子分别为：个行列式因子分别为：则其特征矩阵的标准形是则其特征矩阵的标准形是5 5、线性方程组的最小二乘解所满足的线性方程组是、线性方程组的最小二乘解所满足的线性方程组是:二、二、单项选择题单项选择题(每小题每小题 3 3 分分,共共 1515 分）分）2 2、(A A）复数域）复数域 C C 作为实数域作为实数域 R R 上的线性空间可与下列哪一个上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构线性空间同构:(A(A）数域）数域 P P 上所有二级对角矩阵作成的

10、线性空间；上所有二级对角矩阵作成的线性空间；(B(B）数域）数域 P P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C C）数域）数域 P P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；(D(D）复数域）复数域 C C 作为复数域作为复数域 C C 上的线性空间。上的线性空间。2 2、（D D）设）设是非零线性空间是非零线性空间 V V 的线性变换，则下列命题正确的是：的线性变换，则下列命题正确的是：（A A）的核是零子空间的充要条件是的核是零子空间的充要条件是是满射；是满射；（B B）的核是的核是 V V 的充要条件是的充要条件是是满

11、射；是满射；（C C）的值域是零子空间的充要条件是的值域是零子空间的充要条件是是满射是满射(D(D）的值域是的值域是 V V 的充要条件是的充要条件是是满射。是满射。33 3、(B B）矩阵可逆的充要条件是：）矩阵可逆的充要条件是：是一个非零常数；是一个非零常数；是满秩的；是方阵。是满秩的；是方阵。4 4、（C C）设实二次型（）设实二次型（A A 为对称阵）经正交变换后化为：为对称阵）经正交变换后化为：，则其中的是：则其中的是：全是正数；是全是正数；是 A A 的所有特征值的所有特征值;不确定。不确定。5 5、（A A)设设 3 3 阶实对称矩阵阶实对称矩阵 A A 有三重特征根“”有三重特

12、征根“”,则则 A A 的若当的若当标准形是：标准形是：以上各情形皆有可能以上各情形皆有可能.三、三、是非题（每小题是非题（每小题 2 2 分，共分，共 1010 分）分）（请在你认为对的小题对应的括号内打（请在你认为对的小题对应的括号内打“”，否则打，否则打“)1 1、(）设）设 V V1 1，V V2 2均是均是 n n 维线性空间维线性空间 V V 的子空间，且的子空间，且则。则。2 2、（)n)n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下的矩阵是一对角矩阵的矩阵是一对角矩阵.3 3、（）同阶方阵）同阶方阵 A A 与与 B B 相似的

13、充要条件是与相似的充要条件是与等价。等价。4 4、（）n n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。5 5、（）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。四、四、解答题解答题(每小题每小题 1010 分，共分，共 3030 分）分）1 1、在线性空间中，定义线性变换：、在线性空间中，定义线性变换：（1 1）求该线性变换）求该线性变换在自然基：在自然基：下的矩阵下的矩阵 A;A;（2 2）求矩阵）求矩阵 A A 的所有特征值和特征向量。的所有特征值和特征向量。解：解：（1)1)线性变换线性变换在自然基下

14、的矩阵是（在自然基下的矩阵是（5 5 分）分）4(2(2）因为）因为所以矩阵所以矩阵 A A 的所有特征值是的所有特征值是解齐次线性方程组解齐次线性方程组得矩阵得矩阵 A A 的所有特征向量：的所有特征向量：，其中不全为零，其中不全为零.(5(5 分）分）2 2、（1 1）求线性空间中从基到基）求线性空间中从基到基的过渡矩阵；的过渡矩阵；(2(2）求线性空间中向量在基）求线性空间中向量在基下的坐标。下的坐标。解：解：（1)1)因为因为所以所以即所求的过渡矩阵为即所求的过渡矩阵为（5 5 分）分）(2(2）因为）因为故故所以在基下的坐标是：所以在基下的坐标是：（5 5 分）分）3 3、在、在 R

15、 R2 2中，中，规定二元函数，规定二元函数:（3 3）证明：这是证明：这是 R R2 2的一个内积。的一个内积。（4 4）求求 R R2 2的一个标准正交基的一个标准正交基.（1 1）证明：）证明：因为是正定矩阵，因为是正定矩阵，所以这个二元函数是所以这个二元函数是 R R2 2的一个内积。的一个内积。（2)2)解：考察自然基解：考察自然基它的度量矩阵正是它的度量矩阵正是令：令：再令：再令：则是则是 R R2 2的一个标准正交基的一个标准正交基.(5(5 分）分）（2)2)解法二解法二:考察自然基考察自然基它的度量矩阵正是它的度量矩阵正是令：即令：即:则则 的度量矩阵是的度量矩阵是 E E，

16、从而是，从而是 R R2 2的一个标准正交基。的一个标准正交基。五、五、证明题（每小题证明题（每小题 1010 分，共分，共 3030 分）分）2 2、设设 P P3 3的两个子空间分别为：的两个子空间分别为：证明：证明：（1)1)；（2 2）不是直和。）不是直和。证明：证明：(1(1）WW1 1的一个基是：的一个基是：WW2 2的一个基是的一个基是:因为因为其中是的生成元的一个极大无关组其中是的生成元的一个极大无关组55 5 分）分）（从而是的一个基，从而是的一个基，所以所以（5 5 分）分）(2(2）因）因即即所以不是直和。所以不是直和。（5 5 分）分）（2)2)之证法二之证法二:因为因

17、为所以不是直和。所以不是直和。2 2、设、设是数域是数域 P P 上线性空间上线性空间 V V 的线性变换，证明的线性变换，证明是是的不变子空间的兖要条件是的不变子空间的兖要条件是证明证明:（充分性）设有（充分性）设有是是的不变子空间。的不变子空间。（5 5 分）分）(必要性）设是必要性）设是的不变子空间，的不变子空间，由由(5(5 分）分）3 3、已知是、已知是 n n 级正定矩阵，证明：级正定矩阵，证明：(1(1）A A 是正定矩阵；是正定矩阵；(2(2）证明：证明：(1(1）设）设 A A 的特征值为的特征值为因为是正定矩阵，因为是正定矩阵，故其特征值故其特征值于是于是 A A 的特征值的特征值所以所以 A A 是正定矩阵。是正定矩阵。（2 2）因为因为 A A 的特征值的特征值所以所以 A+2EA+2E 的特征值的特征值（5 5 分分)6（5 5 分分)