2007年高考理科数学试题及参考答案(四川卷).pdf

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1、2007 年高考理科数学试题及参考答案（四川卷)第卷第卷参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么球是表面积公式P(A B)P(A)P(B)S 4R2如果事件 A、B 相互独立，那么其中R表示球的半径P(A B)P(A)P(B)球的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是P，那么V 43R3n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中 R 表示球的半径kkPn(k)CnP(1 P)nk一选择题：(1)复数1 i2 i的值是1i（A）0(B)1(C)-1(D)1(2)函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是x21(3)lim2x12x x1（A）0

2、(B)1(C)12(D)23(4)如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（A）BD平面 CB1D1（B）AC1BD（C）AC1平面 CB1D1（D）异面直线 AD 与 CB1角为 60 x2y2（5）如果双曲线1上一点 P 到双曲线右焦点的距离是2，42那么点 P 到 y 轴的距离是4 62 6（B）（C）2 633（6）设球 O 的半径是 1，A、B、C 是球面上三点，已知A 到 B、C（A）（D）2 3，且三面角 B-OA-C 的大小为，则从 A 点23沿球面经 B、C 两点再回到 A 点的最短距离是两点的球面距离都是（A）76（B）543（C）（D）432（7）设 A

3、 a,1，B 2，b，C 4,5，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA与OB在OC 方向上的投影相同，则 a 与 b 满足的关系式为(A)4a 5b 3(B)5a 4b 3(C)4a 5b 14(D)5a 4b 14（8）已知抛物线y x2 3上存在关于直线x y 0对称的相异两点 A、B，则|AB|等于（A）3（B）4（C）3 2（D）4 2（9）某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的2倍，且对每个项目的投资不能低于5 万元，对项目甲每投资1 万元可获得 0.43万元的利润，对项目乙每投资1 万元可获得 0.6 万元的利润，该公司正确规

4、划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（A）36 万元（B）31.2 万元（C）30.4 万元（D）24 万元（10）用数字 0，1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字，并且比20000 大的五位偶数共有（A）288 个（B）240 个（C）144 个（D）126 个（11）如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与 l2间的距离是1，l2与 l3间的距离是 2，正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1、l2、l3上，则ABC 的边长是（A）2 3（B）4 63（C）3 174（D）2 213（12）已知一组抛物线y 12ax bx 1，其中a 为 2,4,6,8 中任取的

5、一个2数，b 为 1,3,5,7 中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 x=1 交点处的切线相互平行的概率是（A）112（B）760（C）625（D）525二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在横线上.（13）若函数 f(x)=e-(m-u)2(c 是自然对数的底数)的最大值是 m,且 f(x)是偶函数，则 m+u=.(14)如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为 1，则 BC1与侧面 ACC1A1所成的角是.(15)已知O 的方程是 x2+y2-2=0,O的方程是 x2+y2-8x+10=0,由动点 P

6、向O 和O所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是.(16)下面有五个命题：函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是.终边在 y 轴上的角的集合是a|a=k,k Z|.2在同一坐标系中，函数y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点.把函数y 3sin(2x 函数y sin(x)的图象向右平移得到y 3sin 2x的图象.36)在0，上是减函数.2其中真命题的序号是（写出所言）三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分 12 分）已知cos()求tan2的值.（）求.（18）（本小题满分 12 分）厂家在产品出

7、厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.（）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出 4 件进行检验.求至少有 1件是合格品的概率;（）若厂家发给商家 20 件产品，其中有 3 件不合格，按合同规定该商家从中任取2 件，都进行检验，只有 2 件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望E，并求该商家拒收这批产品的概率.（19）（本小题满分 12 分）如图，PCBM是直角梯形，PCB90，PMBC，PM1，BC2，又AC1，ACB120，ABPC，直线AM与直线PC所

8、成的角为 60.（）求证：平面PAC平面ABC;（）求二面角M AC B的大小;（）求三棱锥P MAC的体积.113,cos(),且0,2714x2 y21的左、右焦点.（20）（本小题满分 12 分）设F1、F2分别是椭圆4（）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1PF2的最大值和最小值;（）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.已知函数f(x)x2 4,设曲线y f(x)在点()处的切线与 x 轴线发点()()其中 xn 为实数（21）（本小题满分 12 分）已知函数f(x)x2 4,设曲线y f(x)在点()处

9、的切线与 x 轴线发点()()其中 xn 为实数()用表示()(22)(本小题满分 14 分)1设函数f(x)1(n N,且n1,x N).n1()当 x=6 时,求1的展开式中二项式系数最大的项;n()对任意的实数 x,证明nnf(2x)f(2)f(x)(f(x)是f(x)的导函数);2()是否存在a N,使得 an1 1(a 1)n恒成立?若存在,试证明你的结论并求kk1n出 a 的值;若不存在,请说明理由.答案一选择题：本题考察基础知识和基本运算，每小题5 分，满分 60 分（1）A（2）C（3）D（4）D（5）A（6）C（7）A（8）C（9）B（10）B（11）D（12）B二填空题：本

10、题考察基础知识和基本运算，每小题4 分，满分 16 分（13）1（14）3（15）x（16）26三解答题：（17）本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。2112解：（）由cos,0，得sin1cos14 37277tansin4 3724 38 3 4 3，于是tan22tan cos711tan21 4 3247（）由0 2，得0 22133 313又cos，sin1cos21141414由得：cos cos coscossinsin所以1134 33 3171471423（18）本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列

11、，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力。解：（）记“厂家任取4 件产品检验，其中至少有1 件是合格品”为事件A用对立事件 A 来算，有PA1 P A 10.2 0.99844（）可能的取值为0,1,2211C17C3C1751C321363P 02，P1，P 2 22C20190C20190C20190P012136190511903190E 01365133121901901901013627190952795记“商家任取 2 件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率P 1 PB1所以商家拒收这批产品的概率为（19）本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、

12、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。解法一：（）PC AB,PC BC,ABBC BPC 平面ABC，又PC 平面PAC平面PAC 平面ABC（）取BC的中点N，则CN 1，连结AN,MN，PM/CN，MNPC，从而MN 平面ABC作NH AC，交AC的延长线于H，连结MH，则由三垂线定理知，AC NH，从而MHN为二面角M AC B的平面角直线AM与直线PC所成的角为60AMN 60在ACN中，由余弦定理得AN 00AC2CN22ACCNcos12003313在AMN中，MN AN cotAMN 3在CNH中，

13、NH CN sinNCH 13322在MNH中，MN tanMHN MN12 3NH332故二面角M AC B的平面角大小为arctan（）由（）知，PCMN为正方形VPMACVAPCMVAMNCVMACN解法二：（）同解法一2 33113ACCNsin1200MN 3212（）在平面ABC内，过C作CD CB，建立空间直角坐标系C xyz（如图）31，设P0,0,zz 0，由题意有A002,2,0 则M0,1,z0,AM 3,1,z0,CP 0,0,z022由直线AM与直线PC所成的解为60，得0 2AM CP AM CP cos600，即z02z023z0，解得z01 31MACCM 0,

14、0,1,CA，设平面的一个法向量为n x1,y1,z1，2,2,0y1 z1 0则3，取x11，得n 1,3,31y1z1 0 22平面ABC的法向量取为m 0,0,1 mn 3设m与n所成的角为，则cos 7m n显然，二面角M AC B的平面角为锐角，故二面角M AC B的平面角大小为arccos217（）取 平 面PC M的 法 向 量 取 为n11,0,0，则 点 A 到 平 面PC M的 距 离 CAn13h 2n1 11133PC 1,PM 1，VPMACVAPCMPC PM h 11326212（20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问

15、题及推理计算能力。解：（）解法一：易知a 2,b 1,c 3所以F1 3,0,F2 3,0，设Px,y，则 PF1PF2 3 x,y,x213 x,y x y 3 x 133x2844222 2因为x2,2，故当x 0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1PF2有最小值 1当x 2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1PF2有最大值解法二：易知a 2,b 1,c 3，所以F1 3,0,F2 3,0，设Px,y，则 2 2 2 PF1 PF2 F1F2PF1PF2 PF1 PF2cosF1PF2 PF1 PF2 2 PF1 PF21x32 2 y2 x32 y212 x2 y23（以下同解法一）（）显然直线

16、x 0不满足题设条件，可设直线l:y kx2,Ax1,y2,Bx2,y2，y kx2212y联立x2，消去，整理得：k x 4kx3 024 y 1 4x1 x2 4k1k24,x1x231k24由 4k4k 0023312得：或k k 3 4k 3 0224 又0 A0B 90 cosA0B 0 OAOB 0 OAOB x1x2 y1y2 08k2k214又y1y2kx12kx22 k x1x22kx1 x24111k2k2k244423k2k21 0，即k2 42 k 211k2k2443故由、得2 k 33或 k 222（21）本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证

17、、计算及解决问题的能力。解：（）由题可得fx 2x所以过曲线上点x0,fx0的切线方程为y fxn f即yxn4 2xnx xn2令y 0，得 xn4 2xnxn1 xn，即xn24 2xnxn1xnxxn，显然xn 0 xn1xn22xn（）证明：（必要性）若对一切正整数n,xn1 xn，则x2 x1，即x12而x1 0，x12 4，即有x1 2 x1，2x1（充分性）若x1 2 0，由xn1xn22xn用数学归纳法易得xn 0，从而xn1又x1 2xn 2n 2xn2x2 2n 2n 1，即xn 2n 22xn2xnxn24 xn22 xn2 xn于是xn1 xn xn 0，2xn2xn2

18、xn即xn1 xn对一切正整数n成立xn2xn2x2（）由xn1n，知xn12，同理，xn12 2xn2xn2xnxn12 xn2故xn12xn2222从而lgxn12x 2，即an1 2an 2lgnxn12xn2n1所以，数列an成等比数列，故an 2a1 2n1lgx12 2n1lg3，x12即lgxn2x 2 2n1lg3，从而n32n1xn2xn2所以xn232n1132n11（22）本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。203 5 1（）解：展开式中二项式系数最大的项是第4 项，这项是C613nn

19、11（）证法一：因f2x f211nn1 1 1 211 21nnnnn2n232n2n111 21nnn1111 21ln1 21ln1 2 fxn2nn证法2n2二2n2：n因1 1 111f2x f211 211 21nnnnn11n11而2fx 21ln1nnn故只需对11 1和ln1进行比较。nn令gx xlnxx 1，有gx1由1x1xxx1 0，得x 1x因为当0 x 1时，gx0，gx单调递减；当1 x 时，gx0，gx单调递增，所以在x 1处gx有极小值1故当x 1时，gx g11，从而有x ln x 1，亦即x ln x 1 ln x故有111 ln1恒成立。nn所以f2x f2 2fx，原不等式成立。（）对m N，且m 11 01 1 2 1 k 1 m 1 有1CmCmCCCmmmmmmmmmm1 1 mm1mk 1 1 mm121 1 112!mk!m!mm2kmm2km 2 21 1 1 1 2 k 11 1 m1111 1112!mk!mmmm!mm11112!3!k!m!211112132kk 1mm11 1 11111 21223k 1km1m11 k 1 3 3又因Cm，故 0 k 2,3,4,m213mmmn1 1 213，从而有2n 13n成立，kmk1mkkm1 即存在a 2，使得2n 13n恒成立。kk1nk