1999考研数二真题及解析10822.pdf

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1、1999 年全国硕士研究生入学统一考试数二试题 一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上。)(1)曲线sin2costtxetyet，在点0,1 处的法线方程为 (2)设函数 yy x由方程23lnsinxyx yx确定，则0 xdydx (3)25613xdxxx (4)函数22xyx在区间13,22上的平均值为 (5)微分方程24xyye的通解为 二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)(1)设 21 cos,0(),0 xxxf xx g xx，其中 g x是有界

2、函数，则()f x在0 x 处()(A)极限不存在.(B)极限存在，但不连续.(C)连续，但不可导.(D)可导.(2)设 15sin00sin,1xxttxdtxtdtt，则当0 x 时 x是 x的()(A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小 (D)等价无穷小(3)设()f x是连续函数，F x是()f x的原函数，则()(A)当()f x是奇函数时，F x必是偶函数.(B)当()f x是偶函数时，F x必是奇函数.(C)当()f x是周期函数时，F x必是周期函数.(D)当()f x是单调增函数时，F x必是单调增函数.(4)“对任意给定的0,1，总存在正整数N，当nN时

3、，恒有2nxa”是数列 nx收敛于a的()(A)充分条件但非必要条件.(B)必要条件但非充分条件.(C)充分必要条件.(D)既非充分条件又非必要条件.(5)记行列式21232221 22 2333 32 45 35443 57 43xxxxxxxxxxxxxxxx为 f x，则方程 0f x 的根的个数为()(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.三、(本题满分5分)求 201tan1sinlimln 1xxxxxx.四、(本题满分6分)计算 21arctan xdxx.五、(本题满分7分)求初值问题 2210(0)0 xyxydxxdyxy的解.六、(本题满分7分)为清除井底的污泥，用缆绳将

4、抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口 见图，已知井深30m30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N，抓斗抓 起的污泥重2000N，提升速度为3/m s,在提升过程中，污泥以20/N s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重 力需作多少焦耳的功？(说明：111;NmJ其中,m N s J分别表示 米，牛顿，秒，焦耳；抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不 计.)七、(本题满分 8 分)已知函数321xyx，求(1)函数的增减区间及极值；(2)函数图形的凹凸区间及拐点(3)函数图形的渐近线.八、(本题满分 8 分)设函数 f x在闭区间1,1上具有三阶连续导数，且 10f

5、，11f，00f，证明：在开区间1,1内至少存在一点，使 3f.九、(本题满分 9 分)设函数 0y xx 二阶可导，且 0y x，01y.过曲线 yy x上任意一点,P x y 作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为1S，区间0,x 上以 yy x为曲边的曲边梯形面积记为2S，并设122SS恒为 1，求此曲线 yy x的方程.十、(本题满分 6 分)设 f x是区间0,上单调减少且非负的连续函数，11nnniaf kf x dx 1,2,n，证明数列 na的极限存在.十一、(本题满分 8 分)设矩阵111111111A，矩阵X满足*12A XAX，其中*A是A的

6、伴随矩阵，求矩阵X.十二、(本题满分 5 分)设向量组11,1,1,3T，21,3,5,1T ，33,2,1,2Tp，42,6,10,Tp (1)p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量4,1,6,10T用124,线性表出；(2)p为何值时，该向量组线性相关？并此时求出它的秩和一个极大线性无关组.1999 年全国硕士研究生入学统一考试数二试题解析 一、填空题(1)【答案】210yx 【详解】点0,1 对应0t，则曲线在点0,1 的切线斜率为 cossincossinsin22cos2sin22cos2ttttdydyetetttdtdxdxetetttdt，把0t 代入得12dydx，所以

7、改点处法线斜率为2，故所求法线方程为210yx.(2)【答案】1【详解】()y x是有方程23lnsinxyx yx所确定，所以当0 x 时，1y.对方程23lnsinxyx yx两边非别对x求导，得 23223cosxyx yx yxxy，把0 x 和1y 代入得0(0)1xdyydx(3)【答案】213ln(613)4arctan22xxxC【详解】通过变换，将积分转化为常见积分，即(4)【答案】3112【详解】按照平均值的定义有 322122131122xydxx，作变换令sinxt，则cosdxtdt，所以(5)【答案】22121,4xxyC eCx e其中12,C C为任意常数.【分

8、析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解.【详解】原方程对应齐次方程 40yy的特征方程为：240,解得122,2，故 40yy的通解为22112,xxyC eC e 由于非齐次项为2(),xf xe因此原方程的特解可设为*2,xyAxe代入原方程可求得14A，故所求通解为*2211214xxyyyC eCx e 二、选择题(1)【答案】(D)【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手.因为 20001()(0)1 cos2(0)limlimlim0,0 xxxxf xfxfxx xx x 从而，(0)f 存在，且(0)0f，故正确选项为(D).(2)【答案】(

9、C)【详解】当0 x 有，所以当0 x 时 x是 x同阶但不等价的无穷小.(3)【答案】(A)【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.()f x的原函数()F x可以表示为0()(),xF xf t dtC于是00()()().utxxFxf t dtCfu duC 当()f x为奇函数时，()()fuf u，从而有 即 F(x)为偶函数.故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：2()f xx是偶函数，但其原函数31()13F xx不是奇函数，可排除(B)；2()cosf xx是周期函数，但其原函数11()sin224F xxx不是周期函数，可排除(C)；()

10、f xx在区间(,)内是单调增函数，但其原函数21()2F xx在区间(,)内非单调增函数，可排除(D).(4)【答案】(C)【详解】【方法1】“必要性”：数列极限的定义“对于任意给定的10，存在10N，使得当1nN时恒有1|nxa”.由该定义可以直接推出题中所述，即必要性；“充分性”：对于任意给定的10，取11min,3 3，这时(0,1)，由已知，对于此存在0N，使得当nN时，恒有|2nxa，现取11NN，于是有当1nNN时，恒有112|3nxa.这证明了数列 nx收敛于a.故(C)是正确的.【方法2】数列极限的精确定义是：对于任意给定的0，总存在0N，使得当nN时|nxa，则称数列 nx

11、收敛于a.这里要抓住的关键是要能够任意小，才能使|nxa任意小.将本题的说法改成：对任意12(0,2)0，总存在10N，使得当1nNN时，有1|2nxa，则称数列 nx收敛于a.由于1(0,2)可以任意小，所以|nxa能够任意小.故两个说法是等价的.(5)【答案】(B)【详解】利用行列式性质，计算出行列式是几次多项式，即可作出判别.212122176xxxx(若,A B C均为n阶方阵，则ABA COC)故 ()(55)0fxxx有两个根120,1xx，故应选(B).三【详解】进行等价变化，然后应用洛必达法则，【方法 1】201tan1 sinlimln 1xxxxxx20(1 tan1 si

12、n)(1 tan1 sin)lim(ln 1)(1 tan1 sin)xxxxxxxxxx【方法 2】201tan1 sinlimln 1xxxxxx0tansinlim(ln 1)2xxxxxx 四【详解】采用分部积分法 五【详解】将原方程化简 2221()yxydyyydxxxx 令yux，则dyduuxdxdx，代入上式，得 21duuxuudx，化简并移项，得 21dudxxu，由积分公式得 2ln(1)ln()uuCx，其中C是常数，因为0,x 所以0C，去掉根号，得 21uuCx，即21()yyCxxx，把10 xy代入并化简，得 211,022yxx 六【详解】建立坐标轴如图所示

13、，解法 1：将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功123WWWW，其中1W是克服抓斗自重所作的功；2W是克服缆绳重力作的功；3W为提出污泥所作的功.由题意知 将抓斗由x处提升到xdx处，克服缆绳重力所作的功为 2dW=缆绳每米重缆绳长提升高度 从而 302050(30)22500.Wx dxJ 在时间间隔,t tdt内提升污泥需做功为 将污泥从井底提升至井口共需时间3010,3/msm s 所以 10303(200020)57000.Wt dtJ 因此，共需做功 解法 2：将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为W，当抓斗运动到x处时，作用力()f x包括抓斗的自重400N,缆绳的重力50(30)x N

14、，污泥的重力(200020),3xN 即 20170()40050(30)20003900,33f xxxx 于是 30230001708539003900117000245009150033Wx dxxxJ 七【详解】函数的定义域为(,1)(1,)，对函数求导，得 23(3)(1)xxyx，46(1)xyx 令0y 得驻点0,3xx；令0y 得0 x.因此，需以0,1,3为分界点来讨论，列表讨论如下：凸，增 拐点 凹，增 凹，减 极小值 凹，增 由此可知，(1)函数的单调增区间为(,1)(3,)，单调减区间为(1,3)，极小值为3274xy.(2)函数图形在区间(,0)内是向上凸的，在区间(

15、0,1),(1,)内是向上凹的，拐点为(0,0)点.(3)由321lim(1)xxx，可知1x 是函数图形的铅直渐近线.又因为 32limlim1(1)xxyxxx x 故2yx是函数的斜渐近线.八、(本题满分 8 分)设函数 f x在闭区间1,1上具有三阶连续导数，且 10f，11f，00f，证明：在开区间1,1内至少存在一点，使 3f.【详解】解法1：由麦克劳林公式得 2311()(0)(0)(0)()2!3!f xffxfxfx，其中介于0与x之间，1,1x 分别令1,1xx 并结合已知条件得 两式相减，得 由()fx的连续性，知()fx在区间12,上有最大值和最小值，设它们分别为M和m

16、，则有 再由连续函数的介值定理知，至少存在一点12,(1,1)，使 解法2：构造函数()x，使得 1,1x 时()x有三个0点，()x有两个0点，从而使用罗尔定理证明必然存在.设具有三阶连续导数32()()xf xaxbxcxd 令 (1)(1)0(0)(0)0(1)(1)0(0)(0)0fabcdfdfabcdfc，将 101100fff代入得121(0)20(0)abfcdf 代入()x得 3211()()(0)(0)22xf xxfxf 由罗尔定理可知，存在12(1,0),(0,1)，使12()0,()0 又因为(0)0，再由罗尔定理可知，存在1122(,0),(0,)，使得12()0,

17、()0 再由罗尔定理知，存在1212(,)(,)(1,1)，使 ()()30f 即 ()3f.九【详解】如图，曲线()yy x上点(,)P x y处的切线方程为()()()Yy xy x Xx 所以切线与x轴的交点为,0yxy 由于()0,(0)1,y xy 因此()10y x (0)x 于是 211.22 yySy xxyy 又 20()xSy t dt 根据题设1221,SS 得202()1,2 xyy t dty 两边对x求导并化简得 2yyy 这是可降阶的二阶常微分方程，令,py 则dpdp dydpypdxdy dxdy，上述方程化为2,dpyppdy分离变量得dpdypy，解得1p

18、C y，即1,dyC ydx 从而有 12xyC eC，根据(0)1,(0)1,yy可得121,0,CC 故所求曲线得方程为 xye.十【详解】利用单调有界必有极限的准则来证明.先将na形式化简，因为 123111211()()()()()nnnknkkf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx 所以 11111()()nnknkikaf kf nf x dx 111()()nkkkf kf x dxf n 又因为()f x单调减少且非负，1kxk，所以有 111()0()0nkkkf kf x dxf n，故0na；又因为 1111111 nnnnnniiaaf kfx d

19、xf kfx dx 所以 na单调减少，因为单调有界必有极限，所以limnna存在.十一【详解】题设条件 *12A XAX 上式两端左乘A，得 *12AA XAAAX 因为*1,AAA E AAE，所以 2(2)A XEAXA EA XE 根据可逆矩阵的定义：对于矩阵nA，如果存在矩阵nB，使得ABBAE，则称A为可逆矩阵，并称B是A的逆矩阵，故(2),A EA X均是可逆矩阵，且 又 111111111A 1112102031200行行行+行0111130202200行行 因为常数k与矩阵A相乘，A的每个元素都要乘以k，故 4004040004A EE，2222222222A 所以 2A E

20、A2(2)EA2222222221112 111111(对应元素相减)1111111111(2)2 1111112111111XA EA(111()kAkA)用初等行变换求逆，当用初等行变换将矩阵A化为单位矩阵时，经过相同的初等行变换，单位矩阵E化成了1A，即1AEEA初等行变换 故 1/21/201101101/21/2011241/201/2101X 十 二【概 念】向 量 组1234,线 性 无 关以,1,2,3,4ii为 列 向 量 组 成 的 线 性 齐 次 方 程 组1 12233441234,0 xxxxX 只有零解 向量能否由向量组1234,线性表出以,1,2,3,4ii为列向

21、量组成的线性非齐次方程组11223344xxxx是否有解【详解】作方程组1 1223344xxxx，并对增广矩阵作初等行变换，(1)当2p 时，12341234(,)(,)4rr ，方程组有唯一解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且等于未知量的个数，故1234,线性无关，且方程组1234(,)X 有唯一解，其同解方程组为 1234234343242431(2)1xxxxxxxxpxp，解得12343412,1,22ppxxxxpp 代入1 1223344xxxx中，即可由1234,线性表出，且表出式为(2)向量组1234,线性相关以,1,2,3,4ii为列向量组成的线性齐次方程 组1 12233441234,0 xxxxX 有非零解 当2p 时，初等变换不改变向量组的秩，1234(,)3r ，系数矩阵的秩小于未知量的个数，有非零解，故向量组1234,线性相关，列向量组经过初等行变换，其对应的部分列向量组具有相同的线性相关性.在1132 4021430010100001中，由11302120001 或13201440010知，123,(或134,)线性无关，是其极大线性无关组.