小学数学新课程解读学习方法例谈254.pdf

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1、小学数学新课程解读-小学数学学习方法分年级例谈 小学数学一年级 一、小学数学新课程的学习方法 1数学的学习方法 什么是方法 什么是数学的学习方法呢 在生活中我们都有这样的经验：我们爱吃水果，水果有橘子，苹果和西瓜。我们在吃橘子的时候，先把皮剥掉，吃里面的橘子瓣。而吃苹果就不同了，你用手去剥皮很难剥开，我们就要借助刀把皮削掉，再去吃苹果肉。西瓜呢，我们拿刀去削掉皮不方便，一般都是拿刀把它切开，吃瓜瓤。从刚才这三个例子，我们可以发现，不同的水果有不同的特点，我们要根据它的特点，来进行处理才能更好地达到目的。方法就是人们在认识世界和改变世界的活动中所采取的方式、手段、门路、途径、程序等的统称。吃水果

2、这样的营养物质是这样，对于数学这种精神粮食的索取，也是同样的道理，也要掌握方法。数学的学习方法是解决数学问题时的方式、手段、门路、途径、程序等等。那数学到底有什么特点如何抓住他的特点来学习呢 数学这个王国是由两大家族构成的，一个家族叫“数”，一个家族叫“形”。数学“形”这个家族里面有四个成员：点、线、面、体。它们之间的关系是什么样？老师打个比方你就明白了。我们拿一支铅笔，在沙土上扎一个点，把铅笔拿开之后，留下的那个痕迹就是“点”；如果我们不拿开笔，笔尖继续往下滑，那在沙土上会留下一个痕迹，这个痕迹就是“线”；如果你把铅笔倒着放在沙土上平着推，你会发现出现一个“面”；如果我们想象在这个面的基础上

3、像摞纸一样的一层一层往下摞，很多的面重叠在一起，那就该出现一个“体”了。数学上，点动起来成线，线动起来成面，面动起来成体。点是没有长度，没有宽度，也没有高度的。而线呢，是只有长度，没有宽度，没有高度。面有长度，有宽度，但是没有高度。体有长度，有宽度，还有高度。我们对数学形家族有了初步的了解，那我们再看看数。“数”这个家族也有很多的成员，而且互相的关系很复杂，一年级要求认识的成员叫自然数。我们平常说到的 0、1、2、3 等等都是自然数。数学学科的特点是把生活中的现实，通过思维抽象出来，用数和形两种抽象的方式来表达。2 新课程的学习方法 (1)新课程的学习内容 数与代数数的世界 空间与图形形的世界

4、 统计与概率数形世界 实践与应用数学世界 (2)新课程学习方法 三步过程：了解问题的情景 在情景中进行数学建模 在数学建模之后，要学会解释、应用和拓展 “问题情景”就是了解这个知识，知道它究竟是什么问题引起的。比如，前面我们说到了“形”这个概念，这个家族是怎么来的呢 你带着这样的问题把它弄明白，就能更好地进行点、线、面、体四个要素的建模学习。二、建构“数学模型”时常用的数学方法 数学上比较重要的建模方法有三个：数学表示、数学等价、数学同构。数学表示：就是用数字、符号来表现数学的内容。它相当于搭积木的木块。数学等价：就是表现事物之间的联系，就像把积木块搭在一起。数学同构：相当于搭积木的整个结构。

5、1 数学表示 (1)数家族 数字 阿拉伯数字：1、2、3、4、5、6、7、8、9、0 中国记数的方式和文字：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、零(小写)壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、零(大写)罗马数字：、国际通用的记数方式是阿拉伯数字。运算符号 掌握“+”(加号)和“-”(减号)两个符号。关系符号 第一个是“”(大于号)；大的事物在符号左边，小的事物在符号右边。第三个是“=”(等于号)；符号两边的事物完全相等。计数单位 一年级主要认识的是整数和自然数，这个阶段主要认识三个计数单位：个、十、百 度量单位 测量时间的单位：时、分、秒 时：分 秒 货币单位：元、角、分 (2)形家族

6、面：长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆形、菱形 体：长方体、正方体、圆柱体、圆锥体 2 数学等价 (1)几组关系式 有了这些符号，怎么来表达数学之间的关系呢 我们要掌握以下几组关系式：部分+部分=整体 小数+差=大数 加数+加数=和 被减数-减数=差 (2)有关度量单位的关系式 货币单位：1 元=10 角，1 角=10 分 时间单位：1 时=60 分，1 分=60 秒 (3)有关计数单位的关系式 一个百=10 个十，一个十=10 个一，一个百=100 个一 理解并记住这些关系式有利于我们进行数学结构的搭建。3 数学同构 (1)计数单位和数位 个位的计数单位是个；排在左边的是十位，计数单位是

7、十；再往左边是百位，计数单位是百。这样排出来，你就会对前面学习的数学符号与它们之间的关系有整体的了解，运用起来也就更加自如了。计数单位 百 十 个 数位 百位 十位 个位 (2)度量单位 把时、分、秒按从大到小的顺序列出来，时和分的进率是 60，分和秒之间的关系也是 60，我们把它表示出来，这样构成一个完整的结构，便于我们理解和记忆。把元、角、分按从大到小的顺序列出来，元和角的进率是 10，角和分的进率是 10，1 元又等于 100 分，只要记住这个结构，就把我们学的零散的知识全串起来了。(3)四组等量关系 我们把整体、部分、部分搭成一个三角形的房子，整体在上面，两个部分在下面，你们看部分和部

8、分是加法关系，得到上面的整体，整体和部分是减法关系，得到另一部分。用同样的方法还可以得到以下启发：(4)对应 数家族 数，它来源于生活，在生活中有各种各样的物品，我们都可以用一个数学符号把它表示出来，数学符号和它是对应的，当一个和一个对应的时候，称作一一对应。在这种对应的情况下，人们在数数的时候叫做计数。数完了用文字表达出来就是写数。人们在数数的时候，如果数得少，就可以一个一个地数，或者两个两个地数，但是当数得多的时候，就会用更大的标准来数，比如十个十个地数，像我们说到的元、角、分那样的计数单位，或者是六十个六十个地数，像我们前面学过的时间单位，以更大的标准去数，这个规定的标准在数学上就叫单位

9、，十个十个地数就产生了进位制，那就是十进制，进率就是 10，六十个六十个地数就产生了六十进制，进率就是 60。像我们熟悉的计算机，它运行得那么快，它是 2 进制，两个两个地数，这些以后我们会有更深地了解。当用一个更大更多的标准来数数的时候，那就不光是一个数位了，它就会出现多个数位，在讨论数的大小的时候，就会把它分解或者组合，这就是分解组成，产生了基数的概念。对应着分解组成，我们还可以比较数的大小；对应着分解和组成就产生了数位和数位的顺序；对应着比较大小，就产生运算。在计数、写数的时候，我们所选用的表达方式有数字的、有文字的，还有符号的，写完了还涉及到去读它。在数这个数的时候，数 10 以内的数

10、，在讨论它的分解和组成的时候，常常就一个一个单位而言的；十以上的数，讨论它的分解组成，实际上是讨论计数单位，每个数都包含了几个计数单位。前面的数学表示涉及到的许多概念，零零散散像积木块一样的东西，经过这样地搭建，形成了严紧的结构，有利于我们记忆和了解。形家族 形家族还有个好听的名字“几何”。我们已经知道有点、线、面、体这四个主要成员。我们学习了三角形，也就是三边形。它是多边形中边数最少的图形，少于三边就不能构成一个封闭式的图形了。边数第二少的是四边形，我们认识了四种图形，有长方形、正方形、平行四边形和菱形。我们还认识了多边形中边数最多的图形，我们可以把它叫作无数边形，它是圆形。接下来我们看看体

11、，体这个家族中，可以按照柱体和锥体，分为两部分。在柱体里，有长方体、正方体和圆柱体。锥体里，我们认识的是圆锥体。经过这样地搭建，对数家族和形家族的成员，我们都有了一个非常清晰的了解和比较准确的认识。三、解释应用“数学模型”时常用的数学方法 针对数与代数我们重点介绍三个方法：分解化归、函数分析、等价变换。针对空间与图形，我们重点介绍一种数学方法：几何变换。针对统计和概率，我们重点介绍一种数学方法：统计概率。针对实践与综合运用，我们重点介绍一种方法：优化决策。1 分解化归 我们在学习 5 以内数的时候，是从数数(方法)、读数、写数、数的分解组成、比较大小、数的加法和减法这六个方面来认识的。那么这六

12、个方面，就对 5 以内数构成了一个认识结构。有了这样一个结构，我们在进一步学习 10 以内数以至于后来我们学习 100 以内数的时候，都可以把不同的数转化成 5 以内数的认识结构，从这六个方面去逐一地分析和认识它。比如，我们曾经学过 20 以内进位加法，有同学这样做：9+5=9+1+4=10+4=14 我们看他是怎么解决问题的。首先把 9+5 这样的进位加法，通过分解 5 转化 成 了 9+1+4 的 不 进 位 加 法，又 进 一 步 把 它 转 化 成 数 的 分 解 组 成 10+4=10+1+1+1+1，最后变成了计数，也就是数数，得出结果 14。这样的过程告诉我们，把没有学过的比较复

13、杂的内容，分解转换成我们学过的、容易的、低级的问题。我们学习 100 以内的进位加法，比如说 17+25 的时候，也是同样的道理，把两位数的进位加法转化成了 20 以内的进位加法。具体做法，有这样几种：第一种：把 17 分解成 10 和 7，把 25 分解成 20 和 5。10+20，7+5 最后变成 30+12=42 这就是把两位数的进位加法转换成了两位数的不进位加法和一位数的进位加法。第二种：把 25 分解成 3+22 用 17+3=20，20+22=42 是把进位加法转化成了 20 以内的不进位加法和两位数的不进位加法。第三种：把 25 分解成 30-5，17+30-5=42 把进位加法

14、转化成了两位数的不进位加法，合在一起去减一位数的加减混合运算。第四种：把 17 分解为 12 和 5，把 5+25=30，30+12=42 这也是把进位加法转化成了两位数的不进位加法，只是具体的策略不同。第五种：把 17 转化成了 20-3，20+25-3=42 把两位数的进位加法转化成了两位数不进位加法再减 3 的加减混合运算。这些解决办法的总体思路是把没有学过的问题转化成学过的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，这就是我们说的“分解”。分解只是一个手段，目的是要把未知的转化成已知的，也就是转化到学过的基本概念上去，这是我们解决数学问题时最常用的方法。2 函数分析 在数与代数这个领域的第二种

15、数学方法是：函数分析。函数分析就是让我们在变化和不变化的量之间去找一种关系。例 1 用圆中心的数分别减去圆周上的数将结果写在相应的空格内。我们观察一下会发现 10 减 1 对应的空格填 9，再用 10 分别减 2、3、4、5、6、7、8、9 对应的结果分别是 8、7、6、5、4、3、2、1。在这组练习中，它反映出有变化的量也有不变化的量。通过观察，我们可以看到变化的是减数和相应的差。而不变的是被减数，都是 10。从观察中，我们已经发现和体会了在运算中存在变化和不变的数量。例 2 在空格中填上适当的数，使上下相对应的两格中数字相加的和相等。1 10 3 8 5 6 7 4 9 2 11 2 9

16、4 7 6 5 8 3 10 格中出现的数字是 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，应该填几使它们的和相等呢 这就需要同学们去假设一个和。在设定和的时候，根据我们目前的知识，至少应该选择出现数字当中最大的数或者比它更大的数为和。我们就先设定这个和是 12，那对应的 1 下面就应该填 11，对应的 2 就填 10，顺次应该填 9、8、7、6、5、4、3、2，在这组数量当中，什么变了什么没变呢 它反映出两个加数分别在变化而和没有变，这样的形式我们转换成的图像是一条逐渐向下的斜直线，那这个图像所反映的实际上就是这组数据变化的规律。关于函数分析这种方法目前我们有这样两种体会：就是在事物的发展中有

17、变化的量也有不变的量，它们之间是有关系的；我们应该注意把握的是把这种变化和不变的量表现出来的形式可以有两种，一种是我们刚才出现的图和表格的方式，另一种是把这个数写成数对在坐标图上表现出来。3 等价变换 在数与代数这个领域的第三种数学方法是等价变换。等价就是一一对应。例 1 下面这堆几何图形，可以怎样分类 我们看到在这个集合圈里有各种各样的图形：圆形、三角形、长方形：同时他们所表现出来的颜色也有不同：有全涂黑的、有阴影的、还有白色的。解法一：根据这些图形的特点我们可以按照颜色把它分为三类。在第一类中，不管是三角形、圆形、还是长方形，只要是全涂色的，都放在这个圈里，一共有 6 个图形。第二类是带阴

18、影的图形一共有 6 种。第三类是白色，也是 6 种。通过分类我们知道，上面的图形可以按照颜色分成三类。解法二：按照形状来分，也是三类。第一类，不管它是什么颜色，只要是三角形的，就都放在这个圈里，一共有 6 个图形。第二类，放长方形，有 6 个。第三类，放圆形，也是 6 个。通过刚才的分类方法，我们发现，不管把这些图形怎么分，最后分得的结果还是这些图形，不多一个也不少一个，分出类的每一个图形跟最后总的图形，要一个一个对应上，这就是等价变换。由此我们知道可以用等价变换的方法帮助我们分类；同时，等价的方法还可以帮助我们对分得结果是否正确做一个验算。例 2 每种图形各有几个 解：三角形有 12 个，圆

19、形有 10 个，正方形有 9 个，长方形有 3 个，梯形有 1 个。(参见讲解视频 )集合圈里的图形数 =35 A 三角形+圆形+长方形+梯形=12+10+9+3+1=35 B A=B，正确。由此我们可以知道，集合圈里的每一个图形，都对应着外面的一个数，这样达到了一个等价的状态说明我们的统计没有出差错。例 3 把下面的动物连到合适的圈里去。(参见讲解视频)金鱼、小猫、水蛇、青蛙、乌龟、小兔、鹅 思路：左边的集合圈填四条腿的动物，右边的集合圈填会游泳的动物，中间交叉的部分表示既有 4 条腿又会游泳的动物。解：金鱼，应该放在会游泳的位置上。小猫，放在四条腿的圈子里。水蛇，应该放在会游泳这部分。青蛙

20、又会游泳又有四条腿，应该和乌龟一样放在中间交叉的位置当中。小兔有四条腿但不会游泳，所以它只能放在四条腿的动物当中。鹅会游泳但不是四条腿，所以它只能放在会游泳的圈内。做完之后，我们应该用等价的方法检验一下，看有没有漏掉或者重复的动物，我们一看这 7 种动物，都分别站到了相应的位置上，构成了一个整体，他们是一一对应的，是等价变换的。例 4 把 10 张卡片分成两类，可以怎样分 解法一：把这十张卡片按照单数和双数分为两类：双数有 2、4、8、10、20、30 这样六张。单数有 39，3，23，25 这样四张。用等价变换的方法，可以拿 10-6=4。这种计算的方法，会比数更快一些，但是有一个前提，你一

21、定要把双数数准确。这个过程说明，等价变换在帮助我们分类中所起的作用。解法二：把这十张卡片，看成十以内的数和大于十的数。按照这种标准，我们也可以把这十张卡片，分成两类。当然，对于这道题还有不同的分法。总之，我们可以用等价变换的方法解题和检验，把部分和部分合起来，看看和总数是否相等来保证自己做题的正确性。例 5 1 个大苹果等于 2 个中苹果的重量，1 个中苹果等于 2 个小苹果的重量。1 个大苹果等于几个小苹果的重量(参见讲解视频)思路：我们可以用等价变换的方法来推导出结果。解：由图可知，1 个大苹果可以换 2 个中苹果，1 个中苹果可以换 2 个小苹果，如果把另 1 个中苹果也换成 2 个小苹

22、果，也就是说 1 个大苹果应该是 4 个小苹果，答案就出来了，1 个大苹果等于 4 个小苹果。在这样的过程中，我们把苹果的大小进行了变换，但是有一点是不变的，那就是它们的重量都是相同的。用中的换小的，用小的换中的，换来换去都是相等的。这种等价变换是帮助我们进行推导和推理的重要方法。例 6 括号中的算式怎么填 解：可以说 8+5 的和与 11+2 的和是等价的，是相等的，都得 13。你可以这样填：通过观察我们可以发现规律：在和不变的条件下，一个加数增加几，另 个加数就减少几，这样就能填出许多不同的算式，因为它们的和还是相等的。由此可知，两个加数之间如何变换来保持和相等这种等价的规律。接下来我们再

23、来看一组题目，这组题目是减法。解：这道题是一个减法题。也可以用等价变换的方法解决。我们观察一下两个算式之间的关系可以发现：在差不变的条件下，被减数减少了 1，从 15 到 14，那减数也减少 1，从 7 到 6，他们的差是相等的。用这种等价变换的方式，按照规律往下填，我们就能又快又多地填出更多的算式。如果以 14 6 为标准，用减少的方式填，我们可以填出：如果用增加的方式来填写的话，我们可以填写：总之，用等价变换的方法，不仅可以帮助我们分类和进行验算，还可以帮助我们进行推理，同时在帮助我们进行数的运算和按规律进行填写的时候，也起到快捷方便的作用。4 几何变换 在空间与图形领域中常用的一种数学方

24、法是几何变换。根据我们这个年级的特点，研究几何变换的重点是解决图形位置移动的问题。例 1 左边的图形是右边方框里的两个图形拼成的，请把它找出来。解：=()+()解：我们来观察一下，左边的图形是个圆，而右边给了五个图形，右边的哪两个图形拼在一起是左边的图形呢 我们先看 1 和 2，2 拼到 1 上去，太大了；而 4 和 5，4 又太小了，5 的形状和缺口的部分不太相同。由此断定 1 和 3 拼出来的是左边的这个圆形。像刚才我们解决这个问题所考虑的方法是几何变换。把 3 号图形平移过来，移到 1 号图形空缺的部分，它们就构成了左边这个图形。在生活中我们遇到几何方面的知识，有些也需要用平移的方式来解

25、决。我们接下来再多看几个这样的例子，相信你会对它有更深的了解。例 2 上面两幅图都是画在透明纸上的，如果把它们重叠起来，会得到下面哪一张图呢？请在这张图下面画个。(参照光盘)解：如果将这两幅画在透明胶片上的图重叠在一起，我们会发现肯定不是 1。因为 1 这个图像跟上面这个图是相反的，关于它是一个什么样的关系，我们到后面还会学到；也不会是 3，因为这个斜线太短了。由此可以断定两个胶片重叠在一起的图像应该是 2。从这个例子我们可以进一步感觉到几何变换的“平移”形式在生活中的应用。运用几何变换方法的关键就在于动手操作，很多空间观念的形成都来自于实践操作。因此以后遇到几何方面的知识我们首先应该动手去操

26、作。例 3 下面两个图形中有不同的圆点，有白的、有黑的。(参见讲解视频)如果把它们重叠在一起，该是下面 3 个图像中的哪一个图像 请按照左图的样子在右图相应的地方画出同样的符号。(参见讲解视频)解：正确的结果应该是第 3 幅图。这两幅图，黑点数量少而且比较突显我们就抓住这个特点思考。首先，有一个黑点在左下角，重叠之后一定还在左下角，那第 1 幅图的左下角没有黑点，首先排除。再看第 2 幅图，它的左下角和第 3 幅图的左下角都有黑点，但两幅图合起来有 3 个黑点，而第 2 幅图里出现了 4 个黑点，很明显不符合重叠后的状态，因此应该是第 3 幅图。我们再把第 3 幅图的黑点和白点的位置一一对应，

27、发现验证结果确实如此。5 统计概率 在统计与概率这部分有一种数学方法统计概率。例 1 王丽有 5 分硬币一枚，2 分硬币四枚，1 分硬币 8 枚。她要拿出 8 分钱去买铅笔，应怎样拿 思路：这个问题我们应该有序地去思考，才能把所有的答案找到。只拿一种货币的有几种情况 先考虑拿 1 分硬币的，一分一分拿，8 个 1 分，这是一种情况。如果只拿 2 分硬币呢，可以拿 4 个 2 分，这又是一种情况。如果都拿 5 分的呢，那不可能拿 8 分钱，所以拿一种货币的情况我们考虑完了。再考虑拿 2 种货币凑 8 分钱的情况。在拿四个 2 分的基础上，我们拿 1 个 2 分换成 2 个 1 分，也就是 3 个

28、 2 分和 2 个 1 分，这又构成了一种情况。继续换，2 个 2 分，4 个 1 分，又是一种情况。再继续拿 2 分换 2 个 1 分，1 个 2 分和 6 个 1 分又构成了一种情况。这样，用 2 分和 1 分两种货币凑出 8 分钱一共就有 3 种情况。两个货币构成 8 分钱的还有 5 分和 1 分，可以有 1 个 5 分 3 个 1 分，因此，由两种货币构成 8 分钱的共有四种情况。由三种货币构成 8 分钱的情况。可以 1 个 5 分，1 个 2 分，1 个 1 分。这样我们就把所有的情况都找到了。通过分析我们得到用 8 分钱买铅笔有 7 种拿法。解：拿法有以下几种：1 1 1 1 1

29、1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 5 2 1 刚才的分析告诉我们如果用有序的分析方法，可以找到答案的所有可能性。这种所有可能性就是我们进行统计和概率分析的基础。例 2 冯吴同学买了 5 只鸟，准备放在五只笼子里，可能怎样放 解：方法有如下几种：(1)用 1 只鸟笼，5 只乌全放一个笼子里。(2)用 2 只鸟笼，4 只鸟放在一个笼子里，另 1 只鸟放在另外一个笼子里：(3)一个放 2 只，一个放 3 只，有 2 种情况。(4)3 只鸟笼都用上：1 个放 1 只，1 个放 1 只，另 1 个放 3 只：(5)1 个放 1

30、 只，1 个放 2 只，另一个也放 2 只。(6)用 4 只鸟笼：三个鸟笼分别放一只，第四只鸟笼放 2 只。(7)5 只鸟笼都用上：那当然一个鸟笼放 1 只鸟。这样从前到后一共有 7 种方法。6 优化决策 数学领域中的最后一个领域，也就是实践应用中应该掌握的数学方法是优化决策。数学在生活中有着极为广泛的应用，在具体解决问题的时候，往往有多种解答方案，人们总是根据做某件事情要达到的目的和目标来选择合适的方案。比如说如何效益最大，什么时候消耗最小，怎样设计更省，怎么安排最优等，这些都是优化决策所要解决的问题。例 1 小丽周六上午有几件事情要做，所需时间如下：用洗衣机洗衣服 20 分钟 用微波炉热早

31、餐 4 分钟 吃早餐 10 分钟 刷牙 2 分钟 洗脸 1 分钟 叠被 2 分钟 做早操 10 分钟 请你为她设计一个最佳利用时间方案。如果按照顺序把这些事情都做完。我们可以用加法算出准确的时间：把这 7 个数加起来得 49 分钟。但是，题目要求我们为她设计一个最佳的时间方案，即在少于 49 分钟的时间里完成这 7 件事情这就是我们要考虑的优化问题。找到那些可以同时做的事情是节省时间的关键。用洗衣机洗衣服是可以同时做的；用微波炉热早餐也可以同时做；而吃早餐一定要在热早餐之后，这是要有顺序的；刷牙、洗脸、叠被、做早操，这几件事情和用洗衣机洗衣服可以同时做。所以，我们可以把她要做的 7 件事分成三

32、组：第一组就是：洗衣服 第二组就是：热早餐和吃早饭 第三组就是：刷牙、洗脸、叠被、做早操 这三组事情可以同时进行。我们再来分析一下，在第三组刷牙、洗脸、叠被、做早操这几件事情当中，我们应该怎么安排。解：其中一种是：先刷牙再叠被各用 2 分钟，一共 4 分钟。然后吃早餐再做早操，回来洗脸。之所以这样安排，是因为微波炉热早餐要用 4 分钟，而刷牙叠被也是 4 分钟。在这 4 分钟里同时把三件事做完，正好早餐也热完了。接着吃早餐，吃完早餐、做完早操回来可能出汗了，最后再去洗脸。这样安排很有道理，所用的时间是 25 分钟；当然在做其他事情之前先把洗衣机打开，让它同步运行。还有其他的方案吗 刷 2 分钟

33、 洗 1 分钟 叠 2 分钟 吃 10 分钟 操 10 分钟 洗衣服的 20 分钟和这整个 25 分钟的过程重叠，省下来了，在叠被、刷牙前热早餐，当被叠完了，再吃早餐，然后再去做操，这种方案也是合理的，总时间也是 25 分钟。还能这样设计的：操 10 分钟 刷 2 分钟 洗 1 分钟 叠 2 分钟 吃 10 分钟 这种做法需要洗衣机同步开，但是热早餐的时间，应该放在洗脸之前。因为过早的热早餐，等到最后吃早餐的时候，饭就该凉了(与刷牙同步)。这种方案也是 25 分钟。还有这样的方法：刷 2 分钟 洗 1 分钟 叠 2 分钟 操 10 分钟 吃 10 分钟 这种方案在实施的时候，应该注意：去做早操

34、的时候，应该把微波炉启动热早餐，回来的时候再吃早餐。以免刷牙的时候热早饭，等回来吃的时候就凉了。总时间仍是 25 分钟。不管是先吃早饭还是后吃早饭。以上这 4 套方案，都比 49 分钟所用的时间少。能够做到这一点，是把可以同时做的事情分类同步运行，把不能同步运行的，按照一定科学的顺序合理安排。这样就能使我们在生活中，更好的利用时间，使得我们的时间安排得更充实，更有效率。例 2 小刚周日晚上有几件事情要做，所需时间如下：收拾书包 2 分钟 听音乐 20 分钟 刷碗 5 分钟 擦地 4 分钟 洗澡 10 分钟 浇花 2 分钟 烧开水 4 分钟 请你为他设计一个最佳利用时间方案。解：第一套方案：听音

35、乐的同时，烧上开水，这样烧开水的 4 分钟就省下来了。接下来安排剩下来的 5 件事情，在听音乐的同时，按顺序去做，有的是按照先刷碗再浇花，接着擦地，然后收拾书包，再洗澡的顺序安排的。这样安排的同学认为刷碗会把地弄脏，浇花也会在地上洒了水。这两件事做完之后再擦地就能达到屋子清洁卫生，保持长久的目的。劳动做完以后，再收拾书包，准备好了第二天上学要用的东西，最后洗澡。这个方案很有合理性。按照他的时间顺序排列下来，总共是 23 分钟，这是一个最佳方案。第二套方案：先收拾书包，再刷碗，再擦地，然后浇花，最后洗澡。这样考虑的同学认为学习是很重要的。先把书包收拾好，然后再把该做的家务一块做完，最后再清洁卫生

36、。这个方案同样也是 23 分钟。第三套方案：先擦地，再收拾书包，然后浇花、刷碗、最后洗澡。第四套方案：先收拾书包，再浇花、擦地、刷碗、最后洗澡。以上四种方案顺序虽然不同，但是有一点是相同的，就是要把能够同时做的事情先分类，同时做。(还可以有其他方案，就不一一列举了。)把不可以同时做的事情按照一定的科学原理排好顺序，再按顺序做，这样不仅同样完成了任务，而且能够使所用的时间比逐项完成所用的时间相对少一些。这就是优化决策方法。小学数学二年级 一、小学数学新课程的学习方法 1 数学学习方法 方法对人非常重要。数学也是一样，要抓住学科的特点，才能找到学好的方法。2 新课程学习方法 (1)新课程学习内容

37、数与代数 空间与图形 统计与概率 实践与应用 (2)新课程学习方法 面对这四个领域我们要采用总的学习方法应该是：问题情境、数学建模、解释应用和拓展。二、建构“数学模型”时常用的数学方法 什么是“数学模型”呢 比如造一座房子，首先要有水泥、砖瓦、木料等等这些原材料，还要把这些材料进行整合和加工，最后搭成房屋的整体框架，把房子盖成。数学建模就是要盖这样一座数学的知识宫殿。数学也需要原材料，然后进行整合和加工，最后盖出“数学”这个房子。1 数学表示，它相当于原材料：2 数学等价，它就相当于把原材料放在一起进行加工，它所表现出来的都是相等的关系；3 数学同构，它相当于盖好的房子。也就是把不同的数学概念

38、组合在一起，搭建出一个数学结构图。1 数学表示 (1)数家族 数对 数对的第一个数表示图像上横轴的结果，第二个数表示的是纵轴上的结果，分别用 X 和 Y 来代表。乘号()和除号()乘法和加法之间是有联系的，相同数相加，可以用乘法来解决，把加号稍微转一下就成了乘号。除号上面一个点，下面一个点，中间一条横线，把它们平均分开，这就是除法所要表达的含义。关系符号 我们要认识约等于号()。计数单位 一个是千，一个是万。长度单位 米用 m 表示，厘米用 cm 表示。测量单位 主要有两个：一个是千克，用 kg 表示；还有一个是克，用 g 来表示。(2)形家族 角 角的符号是，顶点用 O 来表示。有关线的知识

39、 其中有直线、射线和线段。直线有两种表示方式：一种用英文的大写字母 L 表示；或者用英文的小写字母 ab 来表示。小写字母 ab 还可用来表示线段两端的端点，可以写线段 ab 也可以写线段 ba。关于射线的表示符号般就是 oa 或者 ob，o 表示射线的端点，a 表示延长出去的某一个点。2 数学等价 利用前面提供的那些资源，可以搭建出几组数学关系式：(1)一份数乘几份等于几份数，一倍数乘几倍等于几倍数。这两组关系式，在我们生活中解决实际问题时，是经常要用到的数学模型。(2)因数乘因数等于积，被除数除以除数等于商，被除数除以除数等于商和余数。后一种是前面一种除法算式的拓展，是有余数除法的表示形式

40、。(3)计数单位。有两组：一个万=10 个千，一个千=10 个百。(4)长度的计量单位：1 米=100 厘米或 1m=100cm (5)质量单位：1 千克=1000 克 或 1kg=1000g。3 数学同构 数学同构就是找到数学概念间的联系，来搭建数学结构图。(1)数位表：它在一年级个、十、百位的基础上又向左拓展了两位，出现了千位和万位，计数单位分别是千和万。计 数单位 万 工 百 十 个 数位 万位 千位 百位 十位 个位 (2)长度单位的结构图：千米、米、分米、厘米和毫米。这些长度单位是按照从大到小的顺序排列的，我们应该把这些长度单位认识清楚并且搭建成结构图，按照这样的顺序，千米到米之间，

41、进率应该是 1000，米到分米之间应该是 10，分米到厘米也是 10，厘米到毫米还是 10，而米到厘米，分米到毫米之间的进率就应该是 10 个 10，那就是 100 了。(3)质量单位：吨、千克、克。这三个重量单位是按照从大到小的顺序排列的。吨和千克的进率是 1000，千克和克的进率也是 1000。(4)四组等量关系：一份数几份和几份数，它们之间是一乘两除的关系。用同样的方法，另三个等量关系搭建成的结构图应该是几倍数在上，然后是一倍数、几倍。一倍数和几倍是乘法关系，几倍数和这两个数量之间分别是除法关系。同样的道理，因数和因数应该放在下角，积在上面，两个因数之间是乘法关系，而积与每一个因数都是除

42、法关系。我们还学习了除法问题。那么被除数、除数和商的摆放位置和前面的结构图应该是一样的。他们之间是一乘两除的关系。因此通过这样搭建结构图，你会发现一个共同的规律：就是我们这个年段学习的乘除关系，都是一乘两除，摆放的位置都是相同的。找到这一点就便于我们记忆和理解数量关系，并且更好地去使用这个数量关系。关于数学同构，当我们把所有零散的数学概念组合在一起，搭建成一个整体的结构之后，会对数学内在的联系有深入的理解。数学同构是数学表达时常用的方法，许多基本结构是数学知识展开的基础。抓住了这个最基本的结构，就能够把它运用到其他的更多的知识当中去来扩展自己的认知。三、解释应用“数学模型”时常用的数学方法 我

43、们针对数与代数，还是重点介绍三个方法：分解化归、函数分析和等价变换。1 分解化归 例 1 万以内数的认识 2034 2304 2340 2004 我们在学习万以内数的认识的时候，比如 2034、2304、2340、2004，除了数数，还要学习如何读数和写数，以及这些数是怎么分解和组成的。同时，我们还要研究如何比较它们的大小，以及如何把它们做加减法。我们同样用前面学过的基础概念来帮助我们解决这些更大的数的认识。这就是分解化归方法的意义。例 2 万以内数的加法 1492+987=2479 这个学期我们学习了万以内数的加法，在计算 1492+987 的时候是怎么想的呢 当我们写好竖式的时候，实际上看

44、个位的 2 和 7，它是不进位加法；看十位上的 9 和 8，它是我们过去学过的进位加法；再看百位千位数字顺次往下加。运算的位数增多了，而运算的方法和百以内的进位加、不进位加的法则是完全一样的。因此我们在做万以内加法的时候，只需要把它分解转化成我们学过的百以内的进位和不进位的加法来解决。数学知识就是这样相互联系、规则统一的。只要把基础概念学好，找到它与新概念之间的联系，我们就能自己独立地用已有的知识来解决没有学过的知识。例 3 万以内数的减法 1492-987=505 同样的道理，万以内数的减法，比如说 1492-987 我们写好竖式以后，也是运用了百以内的退位和不退位减 法来帮助我们解决问题的

45、。例 4 乘法口诀 11=1 21=2 22=2 3l=3 32=6 33=9 41=4 42=8 43=12 44=16 51=5 52=10 53=15 54=16 55=25 61=6 62=12 63=18 64=24 65=30 66=36 71=7 72=14 73=21 74=28 75=35 76=42 77=49 81=8 82=16 83=24 84=32 85=40 86=48 87=56 88=64 91=9 92=18 93=27 94=36 95=45 96=54 97=63 98=72 99=81 我们在发现和总结乘法口诀的时候是把 1 的乘法口诀，2 的乘法口诀

46、一直到 9 的乘法口诀分成了九组，我们分别根据乘法和加法之间的关系，用相同数相加的方法求出的和来找到这个乘法应该得到的积，然后我们再把结果编成口诀，便于我们记忆。记住口诀就可以直接进行乘法计算。在这个过程中，我们用到了分解和化归的方法：首先我们把乘法分成了九种，1 乘几的是一种，2 乘几的是一种，一直到 9 乘几的一种。我们把它分别进行了处理，把乘法转化归结为加法来求出结果。同样的道理，我们在认识除法求商的时候，其实也用到了分解化归的方法。例 5 除法求商(参见讲解视频)比如说：有 12 个点子，我们要把它平均分成 3 份，列出的除法算式是：12 3，每份是多少就是我们要求出的结果，我们是怎么

47、做的呢 解法一：先取出 3 个点子，每个盘里放 1 个；再拿出 3 个点子，每个盘里放 1 个。按照这样的顺序，放了 4 次 12 个点子全分完了。再一看，每个盘子有 4 个点子，所以结果得 4。解法二：1 次拿 2 个点子放在一个盘子里，又拿 2 个点子放在中间的盘子里，再拿 2 个点子放在最后的盘子里，然后把剩下的这些点子也按照一次拿 2 个的办法逐次的分配完，盘子里剩下的是 4 个点子，从而得到这道题的商是 4。解法三：分配的过程中可以不动手操作，只需要用乘法口诀就可以解决问题。也就是 3 和几相乘得 12，那这个结果就应该是几，从而找到商应该是 4，和我们动手分的结果是一样的。由刚才的

48、分析，我们反过来透视一下，如何应用分解和化归的方法独立解决问题发现答案的呢 先说摆的方法。它是把这个不熟习的事情转化成过去我们一个一个分配熟习的事情然后获得答案的。先看前面的那种做法，它是把这种抽象的算式转化成形象的动手操作，在操作的时候，把它分解成多步，通过自己能够实现的熟悉的分法，最后获得答案。我们再看后面那一种是用乘法口诀的方式来解答，它是怎么来分解转化的呢 它实际上是通过前面动作的操作，发现除法和乘法有联系，于是就把表面的这个除法转化成了“几乘 3 等于 12”这样一个我们过去学过的问题，从而找到解决问题的答案。例 6 有余数除法(参见讲解视频)比如给你 13 个点子，要求平均分成 3

49、 份，问每份是多少 我们在分的时候会发现每个盘子里放 4 个的时候还剩下 1 个，不能再放到每一个盘子里了，于是就出现了商 4 余 1 这种情况。实际上，余数除法是没有余数的除法与求和这两种运算的一个结合，我们是把它分解成两部分来理解和解决这个问题的。例 7 连乘、连除、乘除混合运算 223，1535，946 这样的问题也用到了分解化归的方法。也就是把两步运算的题目分解成两个一步运算的题目来解决。例 8 度量单位 我们曾经在学习时间和货币单位的时候，研究了这些单位是测量什么的，它们的大小是什么关系，怎么样去使用它们等等。也就是说对每一个单位，我们都从这四个方面形成一个对它的认知结构来进行研究。

50、所以根据这个结构，我们就可以把新认识的长度单位也从这四个方面去研究，转化成过去学过的其他的单位研究方式，这样就能更好地理解和掌握新的度量单位，这也是分解化归方法的一种体现。2 函数分析 学习数与代数当中的第 2 个常用的方法是：函数分析。函数分析实际上是研究变量与不变量之间关系的一种数学方法。例 1 将适当的结果填在口中；将因数与相应的积写成数对形式；将数对用点描在格纸中；把点连起来看一看是什么图像 想一想：在这组运算中什么变化了 什么没变化 将适当的结果填在括号中，中间是 6，和四周要乘的数是 1、2、3、4、5、6。根据我们学过的乘法口诀，我们可以分别填出所对应的积是 6、12、18、24