2016年各地中考数学解析版试卷分类汇编：点直线与圆的位置关系.pdf

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1、 点直线与圆的位置关系 一、选择题 1.（2016湖北鄂州）如图所示，AB 是O 的直径，AM、BN 是O 的两条切线，D、C 分别在 AM、BN 上，DC 切O 于点 E，连接 OD、OC、BE、AE，BE 与 OC 相交于点 P，AE 与 OD 相交于点 Q，已知AD=4，BC=9.以下结论：O 的半径为213 ODBE PB=131813 tanCEP=32 其中正确的结论有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切），平行线的判定，矩形的判定和性质，直角三角形的性质及判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的

2、判定和性质，三角函数等.【分析】连接 OE，则 OEDC，易证明四边形 ABCD 是梯形，则其中位线长等于21（4+9）=213，而梯形 ABCD 的中位线平行于两底，显而易见，中位线的长（斜边）大于直角边（或运用垂线段最短判定），故可判断错误；另外的方法是直接计算出O 的半径的长（做选择题时，不宜）；先证明AODEOD，得出AOD=EOD=21AOE，再运用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半证明AOD=ABE，从而得出 ODBE，故正确；由知 OB=6，根据勾股定理示出 OC，再证明OPBOBC，则BCPB=OCOB，可得出 PB 的长.易知CEPECP，所以 CPPE，故 tanCEP=32

3、错误.【解答】解法一：易知四边形 ABCD 是梯形，则其中位线长等于21（4+9）=213，OE 为O 的半径，且 OEDC，而梯形 ABCD 的中位线平行于两底，显而易见，中位线的长（斜边）大于直角边的长（或运用垂线段最短判定），故可判断错误；解法二：过点 D 作 DFBC 于点 F，AM，BN 分别切O 于点 A，B，ABAD，ABBC，四边形 ABFD 是矩形，AD=BF，AB=DF，又AD=4，BC=9，FC=94=5，AM，BN，DC 分别切O 于点 A，B，E，DA=DE，CB=CE，DC=AD+BC=4+9=13，在 RTDFC 中，DC2=DF2+FC2，DF=FCDC22=5

4、1322=12，AB=12，O 的半径 R 是 6 故错误；连接 OE，AM、DE 是O 的切线，DA=DE，OAD=OED=90，又OD=OD，在AOD 和EOD 中，DA=DE OD=OD AODEOD，AOD=EOD=21AOE，ABE=21AOE，AOD=ABE，ODBE.故正确；根据勾股定理，OC=OBBC22=6922=313；由知OB=6，易知OPBOBC，则BCPB=OCOB，PB=OCOBBC=13369=131813.故正确；易知CEPECP，所以 CPPE，故 tanCEP=32错误.综上，正确的答案为：B【点评】在解决切线的问题中，一般先连接切点和圆心，再证明垂直；同时

5、熟记切线垂直于经过切点的半径.在做判断题时，不需要计算出结果时，一定要灵活运用多种方法，以节约时间.2(2016 安徽，10，4 分)如图，RtABC中，ABBC，AB=6，BC=4，P 是ABC 内部的一个动点，且满足PAB=PBC，则线段 CP 长的最小值为（）A B2 C D【考点】点与圆的位置关系；圆周角定理【分析】首先证明点 P 在以 AB为直径的O上，连接 OC与O交于点 P，此时 PC最小，利用勾股定理求出 OC即可解决问题【解答】解：ABC=90，ABP+PBC=90，PAB=PBC，BAP+ABP=90，APB=90，点 P 在以 AB 为直径的O 上，连接 OC交O于点 P

6、，此时 PC最小，在 RTBCO 中，OBC=90，BC=4，OB=3，OC=5，PC=OC=OP=53=2 PC 最小值为 2 故选 B 3.（2016,湖北宜昌，13，3 分）在公园的 O处附近有 E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以 O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（）AE、F、G BF、G、H CG、H、E DH、E、F【考点】点与圆的位置关系【专题】应用题【分析】根据网格中两点间的距离分别求出，OE，OF，OG，OH然后和 OA比较大小最后得到哪些树需要移除【解答】解：OA=，OE=2O

7、A，所以点 E在O内，OF=2OA，所以点 E在O内，OG=1OA，所以点 E在O内，OH=2OA，所以点 E在O外，故选 A【点评】此题是点与圆的位置关系，主要考查了网格中计算两点间的距离，比较线段长短的方法，计算距离是解本题的关键点到圆心的距离小于半径，点在圆内，点到圆心的距离大于半径，点在圆外，点到圆心的距离大于半径，点在圆内 4.（2016 年浙江省衢州市）如图，AB是O 的直径，C是O上的点，过点 C 作O的切线交 AB的延长线于点 E，若A=30，则 sinE 的值为（）A B C D【考点】切线的性质【分析】首先连接 OC，由 CE是O 切线，可证得 OCCE，又由圆周角定理，求

8、得BOC 的度数，继而求得E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案【解答】解：连接 OC，CE是O切线，OCCE，A=30，BOC=2A=60，E=90BOC=30，sinE=sin30=故选 A 5.（2016 年浙江省台州市）如图，在ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边 AB的中点 O 为圆心，作半圆与 AC相切，点 P，Q分别是边 BC 和半圆上的动点，连接 PQ，则 PQ长的最大值与最小值的和是（）A6 B2+1 C9 D【考点】切线的性质【分析】如图，设O与 AC 相切于点 E，连接 OE，作 OP1BC 垂足为 P1交O 于 Q1，此时垂线段 OP1最短，P1Q1最小

9、值为 OP1OQ1，求出 OP1，如图当 Q2在 AB边上时，P2与 B 重合时，P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题【解答】解：如图，设O与 AC 相切于点 E，连接 OE，作 OP1BC垂足为 P1交O于 Q1，此时垂线段 OP1最短，P1Q1最小值为 OP1OQ1，AB=10，AC=8，BC=6，AB2=AC2+BC2，C=90，OP1B=90，OP1AC AO=OB，P1C=P1B，OP1=AC=4，P1Q1最小值为 OP1OQ1=1，如图，当 Q2在 AB 边上时，P2 与 B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，PQ长的最大值与最小值的和是 9 故选 C 6（2016山西）如

10、图，在ABCD中，AB为O的直径，O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，60C，则FE的长为（C）A3 B2 C D2 考点：切线的性质，求弧长 分析：如图连接OF，OE 由切线可知904，故由平行可知903 由OF=OA，且60C，所以601C所以OFA为等 边三角形602，从而可以得出FE所对的圆心角然后根据弧长公式即可求出 解答：3090-60-1803-2-180EOF r=122=6 FE=180630180rn 故选C 7（2016上海）如图，在 RtABC中，C=90，AC=4，BC=7，点 D在边 BC上，CD=3，A的半径长为 3，D与A相交，且点 B在D外，

11、那么D的半径长 r的取值范围是（）A1r4 B2r4 C1r8 D2r8【考点】圆与圆的位置关系；点与圆的位置关系【分析】连接 AD，根据勾股定理得到 AD=5，根据圆与圆的位置关系得到 r53=2，由点 B在D外，于是得到 r4，即可得到结论【解答】解：连接 AD，AC=4，CD=3，C=90，AD=5，A的半径长为 3，D与A相交，r53=2，BC=7，BD=4，点 B在D外，r4，D的半径长 r的取值范围是 2r4，故选 B 【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为 d，则当 d=r 时，点在圆上；当 dr 时，点在圆外；当 dr 时，点在圆内 8（201

12、6江苏连云港）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为 1 个单位）选取 9 个格点（格线的交点称为格点）如果以 A为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A外恰好有 3 个在圆内，则 r的取值范围为（）A2r Br3 Cr5 D5r【分析】如图求出 AD、AB、AE、AF即可解决问题 【解答】解：如图，AD=2，AE=AF=，AB=3，ABAEAD，r3时，以 A为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A外恰好有 3个在圆内，故选 B 【点评】本题考查点由圆的位置关系、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，理解题意，属于中考常考题型 9（2016江苏无锡）如图，AB 是O的直径，AC切

13、O 于 A，BC交O于点 D，若C=70，则AOD的度数为（）A70 B35 C20 D40 【考点】切线的性质；圆周角定理【分析】先依据切线的性质求得CAB的度数，然后依据直角三角形两锐角互余的性质得到CBA的度数，然后由圆周角定理可求得AOD的度数【解答】解：AC是圆 O的切线，AB 是圆 O的直径，ABAC CAB=90 又C=70，CBA=20 DOA=40 故选：D 二、填空题 1.（2016四川成都5 分）如图，ABC 内接于O，AHBC 于点 H，若 AC=24，AH=18，O的半径OC=13，则 AB=【考点】三角形的外接圆与外心【分析】首先作直径 AE，连接 CE，易证得AB

14、HAEC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得O半径【解答】解：作直径 AE，连接 CE，ACE=90，AHBC，AHB=90，ACE=ADB，B=E，ABHAEC，=，AB=，AC=24，AH=18，AE=2OC=26，AB=，故答案为：2.（2016四川凉山州5分）如图，四边形 ABCD中，BAD=DC=90，AB=AD=，CD=，点P 是四边形 ABCD四条边上的一个动点，若 P 到 BD 的距离为，则满足条件的点 P 有 2 个 【考点】点到直线的距离【分析】首先作出 AB、AD边上的点 P（点 A）到 BD 的垂线段 AE，即点 P到 BD 的最长距离，作出BC、CD的点 P（点

15、 C）到 BD的垂线段 CF，即点 P 到 BD的最长距离，由已知计算出 AE、CF的长为，比较得出答案【解答】解：过点 A作 AEBD 于 E，过点 C 作 CFBD 于 F，BAD=ADC=90，AB=AD=，CD=2，ABD=ADB=45，CDF=90ADB=45，sinABD=，AE=ABsinABD=3sin45=3，CF=2，所以在 AB和 AD边上有符合 P 到 BD的距离为的点 2个，故答案为：2 3（2016呼和浩特）在周长为 26 的O中，CD是O的一条弦，AB是O 的切线，且 ABCD，若 AB和 CD之间的距离为 18，则弦 CD的长为 24 【考点】切线的性质【分析】

16、如图，设 AB与O 相切于点 F，连接 OF，OD，延长 FO 交 CD 于点 E，首先证明 OECD，在 RTEOD中，利用勾股定理即可解决问题【解答】解：如图，设 AB与O相切于点 F，连接 OF，OD，延长 FO交 CD于点 E 2R=26，R=13，OF=OD=13，AB是O切线，OFAB，ABCD，EFCD即 OECD，CE=ED，EF=18，OF=13，OE=5，在 RTOED中，OED=90，OD=13，OE=5，ED=12，CD=2ED=24 故答案为 24 4.（2016.山东省泰安市，3 分）如图，半径为 3的O 与 RtAOB的斜边 AB切于点 D，交 OB于点 C，连接

17、 CD交直线 OA于点 E，若B=30，则线段 AE的长为 【分析】要求 AE 的长，只要求出 OA和 OE 的长即可，要求 OA的长可以根据B=30和 OB的长求得，OE 可以根据OCE 和 OC的长求得 【解答】解：连接 OD，如右图所示，由已知可得，BOA=90，OD=OC=3，B=30，ODB=90，BO=2OD=6，BOD=60，ODC=OCD=60，AO=BOtan30=，COE=90，OC=3，OE=OCtan60=，AE=OEOA=，故答案为：【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件 5（2016江苏无锡）如图，AOB中，O=90，AO=8cm，

18、BO=6cm，点 C从 A 点出发，在边 AO上以 2cm/s 的速度向 O点运动，与此同时，点 D从点 B出发，在边 BO上以 1.5cm/s 的速度向 O点运动，过OC 的中点 E 作 CD的垂线 EF，则当点 C 运动了 s 时，以 C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线 EF相切 【考点】直线与圆的位置关系【分析】当以点 C 为圆心，1.5cm 为半径的圆与直线 EF相切时，即 CF=1.5cm，又因为EFC=O=90，所以EFCDCO，利用对应边的比相等即可求出 EF的长度，再利用勾股定理列出方程即可求出 t的值，要注意 t的取值范围为 0t4【解答】解：当以点 C 为圆心，1.5c

19、m 为半径的圆与直线 EF相切时，此时，CF=1.5，AC=2t，BD=t，OC=82t，OD=6t，点 E是 OC 的中点，CE=OC=4t，EFC=O=90，FCE=DCO EFCDCO=由勾股定理可知：CE2=CF2+EF2，（4t）2=+，解得：t=或 t=，0t4，t=故答案为：三、解答题 1.（2016湖北咸宁）（本题满分 9 分）如图，在ABC 中，C=90，BAC 的平分线交 BC 于点D，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点 D，分别交 AC，AB 于点 E，F.（1）试判断直线 BC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 BD=23，BF=2

20、，求阴影部分的面积（结果保留）【考点】直线与圆的位置关系，勾股定理，扇形面积，三角函数.【分析】（1）连接 OD，证明 ODAC 即可解决问题；（2）设O 的半径为 r，则 OD=r，OB=r+2，在 RtBDO 中，OD2+BD2=OB2，求出 r，利用 S阴影=SOBD-S扇形 BDF即可解决问题.【解答】解：(1)BC 与O 相切，理由如下：连接 OD.AD 平分BAC，CAD=OAD.又OAD=ODA，CAD=ODA，ODAC；2 分 BDO=C=90，BC 与O 相切.4 分 （2）解：设O 的半径为 r，则 OD=r，OB=r+2.由（1）知BDO=90，OD2+BD2=OB2，即

21、 r2+(23)2=(r+2)2，解得 r=2.5 分 tanBOD=ODBD=232=3,BOD=60.7 分 S阴影=SOBD-S扇形 BDF=21ODBD-36060r2=23-32.9 分【点评】本题综合考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，扇形面积，三角函数.第（1）小题中，连接 OD，证明 ODAC 是解题的关键；第（2）小题中，利用勾股定理 r 和 S阴影=SOBD-S扇形 BDF是解题的关键.2.(2016四川资阳)如图，在O中，点 C是直径 AB延长线上一点，过点 C作O 的切线，切点为 D，连结 BD（1）求证：A=BDC；（2）若 CM平分ACD，且分别交 AD、BD于点

22、M、N，当 DM=1 时，求 MN的长 【考点】切线的性质【分析】（1）由圆周角推论可得A+ABD=90，由切线性质可得CDB+ODB=90，而ABD=ODB，可得答案；（2）由角平分线及三角形外角性质可得A+ACM=BDC+DCM，即DMN=DNM，根据勾股定理可求得 MN的长【解答】解：（1）如图，连接 OD，AB 为O的直径，ADB=90，即A+ABD=90，又CD与O 相切于点 D，CDB+ODB=90，OD=OB，ABD=ODB，A=BDC；（2）CM平分ACD，DCM=ACM，又A=BDC，A+ACM=BDC+DCM，即DMN=DNM，ADB=90，DM=1，DN=DM=1，MN=

23、3.(2016四川自贡)如图，O是ABC的外接圆，AC为直径，弦 BD=BA，BEDC交 DC的延长线于点 E（1）求证：1=BAD；（2）求证：BE是O的切线 【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理；切线的判定【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得出即可；（2）连接 BO，求出 OBDE，推出 EBOB，根据切线的判定得出即可；【解答】证明：（1）BD=BA，BDA=BAD，1=BDA，1=BAD；（2）连接 BO，ABC=90，又BAD+BCD=180，BCO+BCD=180，OB=OC，BCO=CBO，CBO+BCD=180，OBDE，BEDE，EBOB，OB是O的半径，BE

24、是O的切线 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键 4.(2016云南)如图，AB为O的直径，C是O上一点，过点 C的直线交 AB的延长线于点 D，AEDC，垂足为 E，F是 AE与O的交点，AC平分BAE（1）求证：DE是O的切线；（2）若 AE=6，D=30，求图中阴影部分的面积 【考点】切线的判定；扇形面积的计算【分析】（1）连接 OC，先证明OAC=OCA，进而得到 OCAE，于是得到 OCCD，进而证明 DE是O的切线；（2）分别求出OCD的面积和扇形 OBC的面积，利用 S阴影=SCODS扇形OBC即可得到答案【解答

25、】解：（1）连接 OC，OA=OC，OAC=OCA，AC平分BAE，OAC=CAE，OCA=CAE，OCAE，OCD=E，AEDE，E=90，OCD=90，OCCD，点 C在圆 O上，OC为圆 O的半径，CD是圆 O的切线；（2）在 RtAED中，D=30，AE=6，AD=2AE=12，在 RtOCD中，D=30，DO=2OC=DB+OB=DB+OC，DB=OB=OC=AD=4，DO=8，CD=4，SOCD=8，D=30，OCD=90，DOC=60，S扇形OBC=OC2=，S阴影=SCODS扇形OBC S阴影=8，阴影部分的面积为 8 【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算，解（1

26、）的关键是证明 OCDE，解（2）的关键是求出扇形 OBC的面积，此题难度一般 5.(2016云南)四边形 ABCD的对角线交于点 E，有 AE=EC，BE=ED，以 AB为直径的半圆过点 E，圆心为 O（1）利用图 1，求证：四边形 ABCD是菱形（2）如图 2，若 CD的延长线与半圆相切于点 F，已知直径 AB=8 连结 OE，求OBE的面积 求弧 AE的长 【考点】菱形的判定与性质；切线的性质【分析】（1）先由 AE=EC、BE=ED可判定四边形为平行四边形，再根据AEB=90可判定该平行四边形为菱形；（2）连结 OF，由切线可得 OF为ABD的高且 OF=4，从而可得 SABD，由 O

27、E为ABD的中位线可得 SOBE=SABD；作 DHAB于点 H，结合可知四边形 OHDF为矩形，即 DH=OF=4，根据 sinDAB=知EOB=DAH=30，即AOE=150，根据弧长公式可得答案【解答】解：（1）AE=EC，BE=ED，四边形 ABCD是平行四边形 AB为直径，且过点 E，AEB=90，即 ACBD 四边形 ABCD是平行四边形，四边形 ABCD是菱形 （2）连结 OF CD的延长线与半圆相切于点 F，OFCF FCAB，OF即为ABD中 AB边上的高 SABD=ABOF=84=16，点 O是 AB中点，点 E是 BD的中点，SOBE=SABD=4 过点 D作 DHAB于

28、点 H ABCD，OFCF，FOAB，F=FOB=DHO=90 四边形 OHDF为矩形，即 DH=OF=4 在 RtDAH中，sinDAB=，DAH=30 点 O，E分别为 AB，BD中点，OEAD，EOB=DAH=30 AOE=180EOB=150 弧 AE的长=【点评】本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键 6.（2016四川达州8 分）如图，已知 AB为半圆 O的直径，C为半圆 O 上一点，连接 AC，BC，过点 O作 ODAC于点 D，过点 A作半圆 O的切线交 OD的延长线于点 E，连接 BD并延长交 AE于点 F

29、（1）求证：AEBC=ADAB；（2）若半圆 O的直径为 10，sinBAC=，求 AF的长 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义【分析】（1）只要证明EADABC即可解决问题（2）作 DMAB于 M，利用 DMAE，得=，求出 DM、BM即可解决问题【解答】（1）证明：AB为半圆 O 的直径，C=90，ODAC，CAB+AOE=90，ADE=C=90，AE是切线，OAAE，E+AOE=90，E=CAB，EADABC，AE：AB=AD：BC，AEBC=ADAB （2）解：作 DMAB于 M，半圆 O的直径为 10，sinBAC=，BC=ABsinBAC=6，

30、AC=8，OEAC，AD=AC=4，OD=BC=3，sinMAD=，DM=，AM=，BM=ABAM=，DMAE，=，AF=7.（2016四川广安9 分）如图，以ABC的 BC边上一点 O 为圆心，经过 A，C 两点且与 BC边交于点E，点 D为 CE的下半圆弧的中点，连接 AD交线段 EO 于点 F，若 AB=BF（1）求证：AB 是O的切线；（2）若 CF=4，DF=，求O 的半径 r 及 sinB 【考点】切线的判定【分析】（1）连接 OA、OD，如图，根据垂径定理得 ODBC，则D+OFD=90，再由 AB=BF，OA=OD得到BAF=BFA，OAD=D，加上BFA=OFD，所以OAD+

31、BAF=90，则OAAB，然后根据切线的判定定理即可得到 AB是O切线；（2）先表示出 OF=4r，OD=r，在 RtDOF中利用勾股定理得 r2+（4r）2=（）2，解方程得到 r的值，那么 OA=3，OF=CFOC=43=1，BO=BF+FO=AB+1 然后在 RtAOB中利用勾股定理得 AB2+OA2=OB2，即 AB2+32=（AB+1）2，解方程得到 AB=4 的值，再根据三角函数定义求出 sinB【解答】（1）证明：连接 OA、OD，如图，点 D为 CE的下半圆弧的中点，ODBC，EOD=90，AB=BF，OA=OD，BAF=BFA，OAD=D，而BFA=OFD，OAD+BAF=D

32、+BFA=90，即OAB=90，OAAB，AB是O切线；（2）解：OF=CFOC=4r，OD=r，DF=，在 RtDOF中，OD2+OF2=DF2，即 r2+（4r）2=（）2，解得 r1=3，r2=1（舍去）；半径 r=3，OA=3，OF=CFOC=43=1，BO=BF+FO=AB+1 在 RtAOB中，AB2+OA2=OB2，AB2+32=（AB+1）2，AB=4，OB=5，sinB=8.（2016四川乐山10 分）如图 13，在ABC中，ABAC,以AC边为直径作O交BC边于点D,过点D作DEAB于点E，ED、AC的延长线交于点F.（1）求证：EF是O的切线；（2）若32EB,且3sin

33、5CFD,求O的半径与线段AE的长.图13OFEDCBA 解析：（1）证明：如图 2 所示，连结OD，ABAC，BACD.OCOD，ODCOCD.BODC，ODAB.（2 分）DEAB，ODEF.EF是O的切线（5 分）（2）在Rt ODF和Rt AEF中，3sin5CFD，35ODAEOFAF.设3ODx，则5OFx.6ABACx，8AFx.（6 分）32EB，362AEx.（7 分）363285xx，解得x=54，（9 分）O的半径长为154，AE=6（10 分）9.（2016湖北宜昌，21，8 分）如图，CD是O的弦，AB是直径，且 CDAB，连接 AC、AD、OD，其中 AC=CD，过

34、点 B的切线交 CD的延长线于 E（1）求证：DA平分CDO；（2）若 AB=12，求图中阴影部分的周长之和（参考数据：=3.1，=1.4，=1.7）【考点】切线的性质；弧长的计算【分析】（1）只要证明CDA=DAO，DAO=ADO即可（2）首先证明=，再证明DOB=60得BOD是等边三角形，由此即可解决问题【解答】证明：（1）CDAB，CDA=BAD，又OA=OD，图2EDOCFBAADO=BAD，ADO=CDA，DA平分CDO（2）如图，连接 BD，AB是直径，ADB=90，AC=CD，CAD=CDA，又CDAB，CDA=BAD，CDA=BAD=CAD，=，又AOB=180，DOB=60，

35、OD=OB，DOB是等边三角形，BD=OB=AB=6，=，AC=BD=6，BE切O于 B，BEAB，DBE=ABEABD=30，CDAB，BECE，DE=BD=3，BE=BDcosDBE=6=3，的长=2，图中阴影部分周长之和为 2=4+9+3=43.1+9+31.7=26.5 【点评】本题考查切线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质、弧长公式等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型 10.（2016 江苏淮安，25，10 分）如图，在 RtABC中，B=90，点 O在边 AB上，以点 O为圆心，OA为半径的圆经过点 C，过点 C作直线 MN，

36、使BCM=2A（1）判断直线 MN与O的位置关系，并说明理由；（2）若 OA=4，BCM=60，求图中阴影部分的面积 【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算【分析】（1）MN是O切线，只要证明OCM=90即可（2）求出AOC以及 BC，根据 S阴=S扇形OACSOAC计算即可【解答】解：（1）MN是O切线 理由：连接 OC OA=OC，OAC=OCA，BOC=A+OCA=2A，BCM=2A，BCM=BOC，B=90，BOC+BCO=90，BCM+BCO=90，OCMN，MN是O切线（2）由（1）可知BOC=BCM=60，AOC=120，在 RTBCO中，OC=OA=4，BCO=30，BO=

37、OC=2，BC=2 S阴=S扇形OACSOAC=4 【点评】本题考查直线与圆的位置关系、扇形面积、三角形面积等知识，解题的关键是记住切线的判定方法，扇形的面积公式，属于中考常考题型 11.（2016广东梅州）如图，点D在O的直径AB的延长线上，点C在 O上，AC=CD，ACD=120 （1）求证：CD是O的切线；（2）若O的半径为 2，求图中阴影部分的面积 考点：圆的切线的判定，扇形的面积公式，三角函数。解析：（1）证明：连接OC AC=CD，ACD=120，CAD=D=30 2 分 OA=OC，2=CAD=30（或 ACO=CAD=30）3 分 OCD=ACD ACO=90，即OCCD CD

38、是O的切线 4 分（2）解：由（1）知2=CAD=30（或 ACO=CAD=30），1=60（或COD=60）5 分 323602602BOCS扇形 6 分 在 RtOCD中，OCCD60tan，2OC 32CD 7 分 323222121CDOCSOCDRt，8 分 图中阴影部分的面积为3232阴影S 9 分 12.（2016广东深圳）如图，已知O 的半径为 2，AB 为直径，CD 为弦，AB 与 CD 交于点 M，将弧 CD 沿着 CD 翻折后，点 A 与圆心 O 重合，延长 OA 至 P，使 AP=OA，链接 PC。（1）求 CD 的长；（2）求证：PC 是O 的切线；（3）点 G 为弧

39、 ADB 的中点，在 PC 延长线上有一动点 Q，连接 QG 交 AB 于点 E，交弧 BC 于点 F（F 与 B、C 不重合）。问 GEGF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由。考点：勾股定理，圆的切线的判定，三角形的相似。解析：1)如答图 1，连接OC DC沿CD翻折后，A与O重合 OM=21OA=1，CDOA OC=2 CD=2CM=222OMOC=23(2)PA=OA=2,AM=OM=1,CM=3 又CMP=OMC=90 PC=22PMMC=23 OC=2,PO=4 PC+OC=PO PCO=90 PC 与O 相切 （3）GEGF 为定值，证明如下：如答图 2，连接

40、GA、AF、GB G 为BAD中点 BGAG BAG=AFG AGE=FGA AGEFGA AGFGGEAG GEGF=AG AB 为直径，AB=4 BAG=ABG=45 AG=22 GEGF=AG=8 13.（2016广西贺州）如图，在ABC中，E是 AC边上的一点，且 AE=AB，BAC=2CBE，以 AB为直径作O交 AC于点 D，交 BE于点 F（1）求证：BC是O的切线；（2）若 AB=8，BC=6，求 DE的长 【考点】切线的判定【分析】（1）由 AE=AB，可得ABE=90BAC，又由BAC=2CBE，可求得ABC=ABE+CBE=90，继而证得结论；（2）首先连接 BD，易证得

41、ABDACB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案【解答】（1）证明：AE=AB，ABE是等腰三角形，ABE=（180BAC=）=90BAC，BAC=2CBE，CBE=BAC，ABC=ABE+CBE=（90BAC）+BAC=90，即 ABBC，BC是O的切线；（2）解：连接 BD，AB是O的直径，ADB=90，ABC=90，ADB=ABC，A=A，ABDACB，=，在 RtABC中，AB=8，BC=6，AC=10，解得：AD=6.4，AE=AB=8，DE=AEAD=86.4=1.6 【点评】此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理注意准确作出辅助线，

42、证得ABDACB是解此题的关键 14.(2016 年浙江省丽水市)如图，AB 是以 BC 为直径的半圆 O的切线，D为半圆上一点，AD=AB，AD，BC 的延长线相交于点 E（1）求证：AD 是半圆 O的切线；（2）连结 CD，求证：A=2CDE；（3）若CDE=27，OB=2，求的长 【考点】切线的判定与性质；弧长的计算【分析】（1）连接 OD，BD，根据圆周角定理得到ABO=90，根据等腰三角形的性质得到ABD=ADB，DBO=BDO，根据等式的性质得到ADO=ABO=90，根据切线的判定定理即可得到即可；（2）由 AD 是半圆 O 的切线得到ODE=90，于是得到ODC+CDE=90，根

43、据圆周角定理得到ODC+BDO=90，等量代换得到DOC=2BDO，DOC=2CDE即可得到结论；（3）根据已知条件得到DOC=2CDE=54，根据平角的定义得到BOD=18054=126，然后由弧长的公式即可计算出结果【解答】（1）证明：连接 OD，BD，AB 是O的直径，ABBC，即ABO=90，AB=AD，ABD=ADB，OB=OD，DBO=BDO，ABD+DBO=ADB+BDO，ADO=ABO=90，AD 是半圆 O 的切线；（2）证明：由（1）知，ADO=ABO=90，A=360ADOABOBOD=180BOD，AD 是半圆 O 的切线，ODE=90，ODC+CDE=90，BC 是O

44、的直径，ODC+BDO=90，BDO=CDE，BDO=OBD，DOC=2BDO，DOC=2CDE，A=CDE；（3）解：CDE=27，DOC=2CDE=54，BOD=18054=126，OB=2，的长=15.（2016 年浙江省宁波市）如图，已知O的直径 AB=10，弦 AC=6，BAC的平分线交O于点D，过点 D作 DEAC交 AC的延长线于点 E（1）求证：DE是O的切线（2）求 DE的长 【考点】切线的判定【分析】（1）连接 OD，欲证明 DE是O的切线，只要证明 ODDE即可（2）过点 O作 OFAC于点 F，只要证明四边形 OFED是矩形即可得到 DE=OF，在 RTAOF中利用勾股

45、定理求出 OF即可【解答】证明：（1）连接 OD，AD平分BAC，DAE=DAB，OA=OD，ODA=DAO，ODA=DAE，ODAE，DEAC，ODDE，DE是O切线 （2）过点 O作 OFAC于点 F，AF=CF=3，OF=4 OFE=DEF=ODE=90，四边形 OFED是矩形，DE=OF=4 【点评】本题考查切线的判定、矩形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是记住切线的判定方法，学会添加常用辅助线，属于基础题，中考常考题型 16.（2016 年浙江省衢州市）如图，AB为O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 P，直线 BF与 AD的延长线交于点 F，且AFB=ABC（1）求

46、证：直线 BF是O的切线（2）若 CD=2，OP=1，求线段 BF的长 【考点】切线的判定【分析】（1）欲证明直线 BF是O的切线，只要证明 ABBF即可（2）连接 OD，在 RTODE 中，利用勾股定理求出由APDABF，=，由此即可解决问题【解答】（1）证明：AFB=ABC，ABC=ADC，AFB=ADC，CDBF，AFD=ABF，CDAB，ABBF，直线 BF是O的切线（2）解：连接 OD，CDAB，PD=CD=，OP=1，OD=2，PAD=BAF，APO=ABF，APDABF，=，=，BF=17.（2016 年浙江省温州市）如图，在射线 BA，BC，AD，CD围成的菱形 ABCD 中，

47、ABC=60，AB=6，O是射线 BD上一点，O与 BA，BC 都相切，与 BO的延长线交于点 M过 M 作 EFBD交线段 BA（或射线 AD）于点 E，交线段 BC（或射线 CD）于点 F以 EF为边作矩形 EFGH，点 G，H分别在围成菱形的另外两条射线上（1）求证：BO=2OM（2）设 EFHE，当矩形 EFGH 的面积为 24 时，求O 的半径（3）当 HE 或 HG与O 相切时，求出所有满足条件的 BO的长 【考点】圆的综合题【分析】（1）设O切 AB于点 P，连接 OP，由切线的性质可知OPB=90先由菱形的性质求得OBP 的度数，然后依据含 30直角三角形的性质证明即可；（2）

48、设 GH交 BD于点 N，连接 AC，交 BD于点 Q先依据特殊锐角三角函数值求得 BD 的长，设O的半径为 r，则 OB=2r，MB=3r当点 E在 AB上时在 RtBEM 中，依据特殊锐角三角函数值可得到EM的长（用含 r的式子表示），由图形的对称性可得到 EF、ND、BM 的长（用含 r的式子表示，从而得到 MN=186r，接下来依据矩形的面积列方程求解即可；当点 E 在 AD边上时BM=3r，则 MD=183r，最后由 MB=3r=12列方程求解即可；（3）先根据题意画出符合题意的图形，如图 4 所示，点 E 在 AD上时，可求得 DM=r，BM=3r，然后依据 BM+MD=18，列方

49、程求解即可；如图 5所示；依据图形的对称性可知得到 OB=BD；如图 6所示，可证明 D 与 O重合，从而可求得 OB的长；如图 7 所示：先求得 DM=r，OMB=3r，由 BMDM=DB列方程求解即可【解答】解：（1）如图 1所示：设O切 AB于点 P，连接 OP，则OPB=90 四边形 ABCD为菱形，ABD=ABC=30 OB=2OP OP=OM，BO=2OP=2OM（2）如图 2所示：设 GH 交 BD于点 N，连接 AC，交 BD于点 Q 四边形 ABCD是菱形，ACBD BD=2BQ=2ABcosABQ=AB=18 设O的半径为 r，则 OB=2r，MB=3r EFHE，点 E，

50、F，G，H均在菱形的边上 如图 2 所示，当点 E在 AB 上时 在 RtBEM中，EM=BMtanEBM=r 由对称性得：EF=2EM=2r，ND=BM=3r MN=186r S矩形EFGH=EFMN=2r（186r）=24 解得：r1=1，r2=2 当 r=1 时，EFHE，r=1 时，不合题意舍 当 r=2 时，EFHE，O 的半径为 2 BM=3r=6 如图 3 所示：当点 E在 AD 边上时BM=3r，则 MD=183r 由对称性可知：NB=MD=6 MB=3r=186=12 解得：r=4 综上所述，O的半径为 2 或 4（3）解设 GH交 BD 于点 N，O 的半径为 r，则 BO