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1、 1 专题 08 平面解析几何(解答题)1【2019 年高考全国卷理数】已知抛物线 C:y2=3x 的焦点为 F,斜率为的直线 l 与 C 的交点为 A,B,与 x 轴的交点为 P(1)若|AF|+|BF|=4,求 l 的方程;(2)若,求|AB|【答案】(1)3728yx;(2)4 133.【解析】设直线11223:,2l yxt A x yB xy(1)由题设得3,04F,故123|2AFBFxx,由题设可得1252xx 由2323yxtyx,可得22912(1)40 xtxt,则1212(1)9txx 从而12(1)592t,得78t 所以l的方程为3728yx(2)由3APPB可得12
2、3yy 由2323yxtyx,可得2220yyt 所以122yy从而2232yy,故211,3yy 代入C的方程得1213,3xx 故4 13|3AB 【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题,涉及平面向量、弦长的求解方法,解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立,利用根与系数的关系构造等量关系.2【2019 年高考全国卷理数】已知点 A(2,0),B(2,0),动点 M(x,y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积323APPB 2 为12.记 M 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程,并说明 C 是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交 C 于 P,Q 两点,点 P
3、在第一象限,PEx 轴,垂足为 E,连结 QE 并延长交C 于点 G.(i)证明:PQG是直角三角形;(ii)求PQG面积的最大值.【答案】(1)见解析;(2)(i)见解析;(ii)169.【解析】(1)由题设得1222yyxx,化简得221(|2)42xyx,所以 C 为中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆,不含左右顶点(2)(i)设直线 PQ 的斜率为 k,则其方程为(0)ykx k 由22142ykxxy得2212xk 记2212uk,则(,),(,),(,0)P u uk QuukE u 于是直线QG的斜率为2k,方程为()2kyxu 由22(),2142kyxuxy得 22222(
4、2)280kxuk xk u 设(,)GGG xy,则u和Gx是方程的解,故22(32)2Gukxk,由此得322Gukyk 从而直线PG的斜率为322212(32)2ukukkukkuk 所以PQPG,即PQG是直角三角形 3(ii)由(i)得2|21PQuk,2221|2uk kPGk,所以PQG 的面积222218()18(1)|12(12)(2)12()kkkkSPQ PGkkkk 设 t=k+1k,则由 k0 得 t2,当且仅当 k=1 时取等号 因为281 2tSt在2,+)单调递减,所以当 t=2,即 k=1 时,S 取得最大值,最大值为169 因此,PQG 面积的最大值为169
5、【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程,以及利用直线与椭圆的位置关系,判断三角形形状以及三角形面积最大值问题,考查了数学运算能力,考查了求函数最大值问题.3【2019 年高考全国卷理数】已知曲线 C:y=22x,D 为直线 y=12上的动点,过 D 作 C 的两条切线,切点分别为 A,B.(1)证明:直线 AB 过定点:(2)若以 E(0,52)为圆心的圆与直线 AB 相切,且切点为线段 AB 的中点,求四边形 ADBE 的面积.【答案】(1)见详解;(2)3 或4 2.【解析】(1)设111,2D tA x y,则2112xy.由于yx,所以切线DA的斜率为1x,故11112yxxt.整理得
6、1122+1=0.txy 设22,B x y,同理可得2222+1=0txy.故直线AB的方程为2210txy.所以直线AB过定点1(0,)2.(2)由(1)得直线AB的方程为12ytx.4 由2122ytxxy,可得2210 xtx.于是2121212122,1,121xxtx xyyt xxt ,2222121212|11421ABtxxtxxx xt.设12,d d分别为点D,E到直线AB的距离,则212221,1dtdt.因此,四边形ADBE的面积22121|312SABddtt.设M为线段AB的中点,则21,2M t t.由于EMAB,而2,2EMt t,AB与向量(1,)t平行,所
7、以220ttt.解得t=0或1t .当t=0时,S=3;当1t 时,4 2S.因此,四边形ADBE的面积为3或4 2.【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题,第二问是求面积类型,属于常规题型,按部就班地求解就可以,思路较为清晰,但计算量不小.4【2019 年高考北京卷理数】已知抛物线 C:x2=2py 经过点(2,1)(1)求抛物线 C 的方程及其准线方程;(2)设 O 为原点,过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M,N,直线 y=1 分别交直线 OM,ON 于点 A 和点 B求证:以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点【答案】(1)抛物线C的方程
8、为24xy,准线方程为1y;(2)见解析.【解析】(1)由抛物线2:2C xpy 经过点(2,1),得2p.所以抛物线C的方程为24xy,其准线方程为1y.(2)抛物线C的焦点为(0,1)F.设直线l的方程为1(0)ykxk.由21,4ykxxy 得2440 xkx.5 设1122,M x yN xy,则124x x .直线OM的方程为11yyxx.令1y ,得点 A 的横坐标11Axxy.同理得点 B 的横坐标22Bxxy.设点(0,)Dn,则1212,1,1xxDAnDBnyy ,21212(1)x xDA DBny y 2122212(1)44x xnxx 21216(1)nx x 24
9、(1)n .令0DA DB,即24(1)0n,则1n 或3n.综上,以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点(0,1)和(0,3).【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定,直线与抛物线的位置关系,圆的性质及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5【2019 年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F,上顶点为B已知椭圆的短轴长为 4,离心率为55(1)求椭圆的方程;(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上若|ONOF(O为原点),且OPMN,求直线PB的斜率 6【答案】(1)22154x
10、y;(2)2 305或2 305【解析】(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,524,5cba,又222abc,可得5a,2,b 1c 所以,椭圆的方程为22154xy(2)由题意,设0,0PPpMP xyxM x,设直线PB的斜率为0k k,又0,2B,则直线PB的方程为2ykx,与椭圆方程联立222,1,54ykxxy整理得2245200kxkx,可得22045Pkxk,代入2ykx得228 1045Pkyk,进而直线OP的斜率24510Ppykxk 在2ykx中,令0y,得2Mxk 由题意得0,1N,所以直线MN的斜率为2k 由OPMN,得2451102kkk ,化简得2245k,从而2 3
11、05k 所以,直线PB的斜率为2 305或2 305【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识考查用代数方法研究圆锥曲线的性质考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力 6【2019 年高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:22221(0)xyabab的焦点为 F1(1、0),F2(1,0)过 F2作 x 轴的垂线 l,在 x 轴的上方,l 与圆 F2:222(1)4xya交于点 A,与椭圆 C 交于点 D.连结 AF1并延长交圆 F2于点 B,连结 BF2交椭圆 C 于点 E,连结 DF1 7 已知 DF1=52(1)求椭圆 C 的标准方程
12、;(2)求点 E 的坐标 【答案】(1)22143xy;(2)3(1,)2E.【解析】(1)设椭圆 C 的焦距为 2c.因为 F1(1,0),F2(1,0),所以 F1F2=2,c=1.又因为 DF1=52,AF2x 轴,所以 DF2=222211253()222DFFF,因此 2a=DF1+DF2=4,从而 a=2.由 b2=a2c2,得 b2=3.因此,椭圆 C 的标准方程为22143xy.(2)解法一:由(1)知,椭圆 C:22143xy,a=2,因为 AF2x 轴,所以点 A 的横坐标为 1.将 x=1 代入圆 F2的方程(x1)2+y2=16,解得 y=4.因为点 A 在 x 轴上方
13、,所以 A(1,4).又 F1(1,0),所以直线 AF1:y=2x+2.由22()22116yxxy,得256110 xx,解得1x 或115x .将115x 代入22yx,得 125y ,8 因此1112(,)55B.又 F2(1,0),所以直线 BF2:3(1)4yx.由221433(1)4xyxy,得276130 xx,解得1x 或137x.又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点,所以1x.将1x 代入3(1)4yx,得32y .因此3(1,)2E.解法二:由(1)知,椭圆 C:22143xy.如图,连结 EF1.因为 BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以 EF1=EB,从而BF1
14、E=B.因为 F2A=F2B,所以A=B,所以A=BF1E,从而 EF1F2A.因为 AF2x 轴,所以 EF1x 轴.因为 F1(1,0),由221431xxy,得32y .又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点,所以32y .因此3(1,)2E.9 【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.7【2019 年高考浙江卷】如图,已知点(10)F,为抛物线22(0)ypx p的焦点,过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,点 C 在抛物线上,使得ABC的重心 G 在 x 轴上,直线
15、AC 交 x 轴于点 Q,且 Q 在点F 的右侧记,AFGCQG的面积分别为12,S S(1)求 p 的值及抛物线的准线方程;(2)求12SS的最小值及此时点 G 的坐标 【答案】(1)p=2,准线方程为x=1;(2)最小值为312,此时G(2,0)【解析】(1)由题意得12p,即p=2.所以,抛物线的准线方程为x=1.(2)设,AABBccA xyB xyC x y,重心,GGG xy.令2,0Ayt t,则2Axt.由于直线AB过F,故直线AB方程为2112txyt,代入24yx,得 10 222140tyyt,故24Bty ,即2Byt,所以212,Btt.又 由 于11,33GABcG
16、ABcxxxxyyyy及 重 心 G 在 x 轴 上,故220ctyt,得242211222,2,03ttCttGttt.所以,直线AC方程为222ytt xt,得21,0Q t.由于Q在焦点F的右侧,故22t.从而 4224221244242222211|2|322221222211|1|2|23ActttFGytStttttSttQGytttt .令22mt,则m0,122113222134323424SmSmmmmmm.当3m 时,12SS取得最小值312,此时G(2,0)【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.8【
17、2017 年高考全国 III 卷理数】已知抛物线 C:y2=2x,过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A,B 两点,圆 M 是以线段 AB 为直径的圆.(1)证明:坐标原点 O 在圆 M 上;(2)设圆 M 过点4,2P,求直线 l 与圆 M 的方程.【答案】(1)见解析;(2)直线l的方程为20 xy,圆M的方程为223110 xy,或直线l的方程为240 xy,圆M的方程为2291854216xy 11【解析】(1)设1122,A x yB xy,:2l xmy.由22,2xmyyx 可得2240ymy,则124y y .又221212,22yyxx,故2121244y yx x.因此O
18、A的斜率与OB的斜率之积为1212414yyxx,所以OAOB.故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得21212122,424yym xxm yym.故圆心M的坐标为22,mm,圆M的半径2222rmm.由于圆M过点4,2P,因此0AP BP,故 121244220 xxyy,即1 212121242200 x xxxy yyy,由(1)可得12124,4y yx x.所以2210mm,解得1m 或12m .当1m 时,直线l的方程为20 xy,圆心M的坐标为3,1,圆M的半径为10,圆M的方程为223110 xy.当12m 时,直线l的方程为240 xy,圆心M的坐标为91,42,圆M的半
19、径为854,圆M 的方程为2291854216xy.【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系;在解决直线与抛物线的位置关系时,要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题,可以利用“点差法”,但不要忘记验证0或说明中点在曲线内部.9【2017 年高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点分别为1F,2F,离心率为12,两准线之间的距离为 8点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点1F作 12 直线1PF的垂线1l,过点2F作直线2PF的垂线2l (1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线
20、1l,2l的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标(注:椭圆22221(0)xyabab的准线方程:2axc)【答案】(1)22143xy;(2)4 7 3 7(,)77【解析】(1)设椭圆的半焦距为 c 因为椭圆 E 的离心率为12,两准线之间的距离为 8,所以12ca,228ac,解得2,1ac,于是223bac,因此椭圆 E 的标准方程是22143xy(2)由(1)知,1(1,0)F,2(1,0)F 设00(,)P xy,因为P为第一象限的点,故000,0 xy 当01x 时,2l与1l相交于1F,与题设不符 当01x 时,直线1PF的斜率为001yx,直线2PF的斜率为001yx 13 因为1
21、1lPF,22lPF,所以直线1l的斜率为001xy,直线2l的斜率为001xy,从而直线1l的方程:001(1)xyxy ,直线2l的方程:001(1)xyxy 由,解得20001,xxxyy,所以20001(,)xQxy 因为点Q在椭圆上,由对称性,得20001xyy,即22001xy或22001xy 又P在椭圆 E 上,故2200143xy 由220022001143xyxy,解得004 73 7,77xy;220022001143xyxy,无解 因此点 P 的坐标为4 7 3 7(,)77【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系,一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组,利用根与系数关
22、系或求根公式进行转化,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上(点的坐标满足曲线方程)等 10【2017 年高考浙江卷】如图,已知抛物线2xy,点 A1 1()2 4,3 9()2 4,B,抛物线上的点13(,)()22P x yx过点 B 作直线 AP 的垂线,垂足为 Q 14 (1)求直线 AP 斜率的取值范围;(2)求|PAPQ的最大值【答案】(1)(1,1);(2)2716【解析】(1)设直线 AP 的斜率为 k,2114122xkxx,因为1322x,所以直线 AP 斜率的取值范围是(1,1)(2)联立直线 AP 与 BQ 的方程110,24930,42kxykxkyk 解得点
23、Q 的横坐标是22432(1)Qkkxk 因为|PA|=211()2kx=21(1)kk,|PQ|=222(1)(1)1()1Qkkkxxk,所以3(1)(1)kkPAPQ 令3()(1)(1)f kkk,因为2()(42)(1)fkkk,所以 f(k)在区间1(1,)2上单调递增,1(,1)2上单调递减,因此当 k=12时,|PAPQ取得最大值2716【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力,通过表达|PA与|PQ的长度,通过函数3()(1)(1)f kkk 求解 15|PAPQ的最大值 11【2018 年高考全国卷理数
24、】设抛物线24Cyx:的焦点为F,过F且斜率为(0)k k 的直线l与C交于A,B两点,|8AB (1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程【答案】(1)1yx;(2)22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy【解析】(1)由题意得(1,0)F,l 的方程为(1)(0)yk xk 设1221(,),(,)AyxyxB,由2(1),4yk xyx得2222(24)0k xkxk 216160k,故122224kxkx 所以122244|(1)(1)xkABAFBFkx 由题设知22448kk,解得1k(舍去),1k 因此 l 的方程为1yx(2)由(1)得 AB
25、的中点坐标为(3,2),所以 AB 的垂直平分线方程为2(3)yx,即5yx 设所求圆的圆心坐标为00(,)xy,则 00220005,(1)(1)16.2yxyxx 解得003,2xy或0011,6.xy 因此所求圆的方程为22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy 12【2018 年高考北京卷理数】已知抛物线 C:2y=2px 经过点P(1,2)过点 Q(0,1)的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A,B,且直线 PA 交 y 轴于 M,直线 PB 交 y 轴于 N(1)求直线 l 的斜率的取值范围;16(2)设 O 为原点,QMQO,QNQO,求证:11为定值【答案】
26、(1)(-,-3)(-3,0)(0,1);(2)见解析.【解析】(1)因为抛物线 y2=2px 经过点 P(1,2),所以 4=2p,解得 p=2,所以抛物线的方程为 y2=4x 由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0,设直线 l 的方程为 y=kx+1(k0)由241yxykx得22(24)10k xkx 依题意22(24)410kk,解得 k0 或 0k1 又 PA,PB 与 y 轴相交,故直线 l 不过点(1,-2)从而 k-3 所以直线 l 斜率的取值范围是(-,-3)(-3,0)(0,1)(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2)由(1)知12224kxxk,1221x xk 直
27、线 PA 的方程为1122(1)1yyxx 令 x=0,得点 M 的纵坐标为1111212211Mykxyxx 同理得点 N 的纵坐标为22121Nkxyx 由=QMQO,=QNQO得=1My,1Ny 所以2212121212122224112()111111=2111(1)(1)11MNkxxx xxxkkyykxkxkx xkk 所以11为定值 13【2018 年高考全国卷理数】设椭圆22:12xCy的右焦点为F,过F的直线l与C交于,A B两点,点M的坐标为(2,0)(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:OMAOMB 17【答案】(1)222yx 或222
28、yx;(2)见解析.【解析】(1)由已知得(1,0)F,l 的方程为 x=1 由已知可得,点 A 的坐标为2(1,)2或2(1,)2,所以 AM 的方程为222yx 或222yx(2)当 l 与 x 轴重合时,0OMAOMB 当 l 与 x 轴垂直时,OM 为 AB 的垂直平分线,所以OMAOMB 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时,设 l 的方程为(1)(0)yk xk,1221(,),(,)AyxyxB,则122,2xx,直线 MA,MB 的斜率之和为212122MAMBxxyykk 由1122,ykkxykxk得121212(23()42)(2)MAMBx xxxkkxxkkk 将(1)
29、yk x代入2212xy得2222(21)4220kxk xk 所以21221222422,2121xxxkkkxk,则3131322244128423()4021kkkkkkkkkx xxx 从而0MAMBkk,故 MA,MB 的倾斜角互补,所以OMAOMB 综上,OMAOMB 14【2018 年高考全国卷理数】已知斜率为k的直线l与椭圆22143xyC:交于A,B两点,线段AB的中点为10Mmm,(1)证明:12k ;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且FPFAFB 0证明:FA,FP,FB成等差数列,并求该数列的公差 18【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】(1)设1221(
30、,),(,)AyxyxB,则222212121,14343yxyx 两式相减,并由1221yxykx得1122043yxykx 由题设知12121,22xyxym,于是34km 由题设得302m,故12k (2)由题意得(1,0)F,设33(,)P xy,则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)yxxyxy 由(1)及题设得3321213()1,()20yyxxyxm 又点 P 在 C 上,所以34m,从而3(1,)2P,3|2FP 于是222211111|(1)(1)3(1)242xxFAxxy,同理2|22xFB,所以121|4()32FAFBxx,故2|FPFAFB,即|,|,|
31、FAFPFB成等差数列 设该数列的公差为 d,则1122212112|()422FBFAxxxxx xd 将34m 代入34km 得1k ,所以 l 的方程为74yx ,代入 C 的方程,并整理得2171404xx,故121212,28xxx x,代入解得3 21|28d,所以该数列的公差为3 2128或3 2128 15【2018 年高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点1(3,)2,焦点12(3,0),(3,0)FF,圆 O 的直径为12FF(1)求椭圆 C 及圆 O 的方程;(2)设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,
32、求点 P 的坐标;直线 l 与椭圆 C 交于,A B两点若OAB的面积为2 67,求直线 l 的方程 19 【答案】(1)椭圆C的方程为2214xy,圆O的方程为223xy;(2)(2,1);53 2yx 【解析】(1)因为椭圆C的焦点为12()3,0,(3,0)FF,可设椭圆C的方程为22221(0)xyabab 又点1(3,)2在椭圆 C 上,所以2222311,43,abab,解得224,1,ab 因此椭圆 C 的方程为2214xy 因为圆 O 的直径为12FF,所以其方程为223xy(2)设直线 l 与圆 O 相切于0000(),(00)P xyxy,则22003xy,所以直线 l 的
33、方程为0000()xyxxyy,即0003xyxyy 由220001,43,xyxyxyy 消去 y,得222200004243640()xyxx xy(*)因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,所以222222000000()()(24)(4 4364820)4xxyyyx 因为00,0 xy,所以002,1xy因此点 P 的坐标为(2,1)20 因为三角形 OAB 的面积为2 67,所以21 267AB OP,从而4 27AB 设1122,()(),A x yB xy,由(*)得2200022001,22448(2)2(4)xyxxxy,所以2222121()()xByyxA222
34、000222200048(2)(1)(4)xyxyxy 因为22003xy,所以22022016(2)32(1)49xABx,即42002451000 xx,解得22005(202xx舍去),则2012y,因此 P 的坐标为102(,)22 综上,直线 l 的方程为53 2yx 16【2018 年高考浙江卷】如图,已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点,抛物线 C:y2=4x 上存在不同的两点A,B 满足 PA,PB 的中点均在 C 上 (1)设 AB 中点为 M,证明:PM 垂直于 y 轴;(2)若 P 是半椭圆 x2+24y=1(xb0)的左焦点为 F,上顶点为 B已知椭圆的离心率
35、为53,点 A 的坐标为(,0)b,且6 2FBAB(1)求椭圆的方程;(2)设直线 l:(0)ykx k与椭圆在第一象限的交点为 P,且 l 与直线 AB 交于点 Q 若5 2sin4AQAOQPQ(O 为原点),求 k 的值【答案】(1)22194xy;(2)111228或 22【解析】(1)设椭圆的焦距为 2c,由已知有2259ca,又由 a2=b2+c2,可得 2a=3b 由已知可得,FBa,2ABb,由6 2FBAB,可得 ab=6,从而 a=3,b=2,所以椭圆的方程为22194xy(2)设点 P 的坐标为(x1,y1),点 Q 的坐标为(x2,y2)由已知有 y1y20,故12s
36、inPQAOQyy 又因为2sinyAQOAB,而OAB=4,故22AQy 由5 2sin4AQAOQPQ,可得 5y1=9y2 由方程组22194ykxxy,消去 x,可得12694kyk 易知直线 AB 的方程为 x+y2=0,由方程组20ykxxy,消去 x,可得221kyk 由 5y1=9y2,可得 5(k+1)=23 94k,两边平方,整理得25650110kk,解得12k,或1128k 所以 k 的值为111228或 18【2017 年高考全国 I 理数】已知椭圆 C:22221()0 xyabab,四点 P1(1,1),P2(0,1),P3(1,32),P4(1,32)中恰有三点
37、在椭圆 C 上(1)求 C 的方程;(2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A,B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1,证明:l 过定点 23【答案】(1)2214xy;(2)见解析.【解析】(1)由于3P,4P两点关于 y 轴对称,故由题设知 C 经过3P,4P两点 又由222211134abab知,C 不经过点 P1,所以点 P2在 C 上 因此222111314bab,解得2241ab,故 C 的方程为2214xy(2)设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1,k2,如果 l 与 x 轴垂直,设 l:x=t,由题设知0t,且|2t,可得 A,B 的坐标
38、分别为(t,242t),(t,242t)则22124242122ttkktt,得2t,不符合题设,从而可设 l:ykxm(1m)将ykxm代 入2214xy得222(41)8440kxkmxm,由 题 设 可 知2216(41)0km 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2841kmk,x1x2=224441mk 而12121211yykkxx121211kxmkxmxx1212122(1)()kx xmxxx x 由题设121kk,故1212(21)(1)()0kx xmxx,即222448(21)(1)04141mkmkmkk,解得12mk,当且仅当1m 时0,于是 l
39、:12myxm,即11(2)2myx ,所以 l 过定点(2,1)【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质,判断点是否在椭圆上,可以通过这一方法进行判 24 断;证明直线过定点的关键是设出直线方程,通过一定关系转化,找出两个参数之间的关系式,从而可以判断过定点情况另外,在设直线方程之前,若题设中未告知,则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况,其通法是联立方程,求判别式,利用根与系数的关系,再根据题设关系进行化简 19【2017 年高考全国 II 理数】设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C:2212xy上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足2NPNM(1)求点 P 的轨
40、迹方程;(2)设点 Q 在直线3x 上,且1OP PQ 证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F 【答案】(1)222xy;(2)见解析.【解析】(1)设00(,),(,)P x y M xy,0(,0)N x,则00(,),(0,)NPxxy NMy 由2NPNM得002,2xx yy 因为00(,)M xy在 C 上,所以22122xy 因此点 P 的轨迹方程为222xy(2)由题意知(1,0)F 设(3,),(,)QtP m n,则(3,),(1,),33OQtPFmn OQ PFmtn ,(,),(3,)OPm n PQm tn 由1OP PQ得2231mmtn
41、n,又由(1)知222mn,故3 30mtn 所以0OQ PF,即OQPF 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ,所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线l过 C 的左焦点 F【名师点睛】求轨迹方程的常用方法:(1)直接法:直接利用条件建立 x,y 之间的关系 F(x,y)0(2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程(3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程 25(4)代入(相关点)法:动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x0,y0)的变化而运动,常利用代入法求动点 P(x,y)的轨迹方程 20【2017 年高考北京卷理数】已知抛物线 C:y
42、2=2px 过点 P(1,1).过点(0,12)作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M,N,过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP,ON 交于点 A,B,其中 O 为原点.(1)求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A 为线段 BM 的中点.【答案】(1)抛物线 C 的方程为2yx,焦点坐标为(14,0),准线方程为14x ;(2)见解析.【解析】(1)由抛物线 C:22ypx过点 P(1,1),得12p.所以抛物线 C 的方程为2yx.抛物线 C 的焦点坐标为(14,0),准线方程为14x .(2)由题意,设直线 l 的方程为12ykx(0k),l 与抛物线
43、C 的交点为11(,)M x y,22(,)N xy.由212ykxyx,得224(44)10k xkx.则1221kxxk,12214x xk.因为点 P 的坐标为(1,1),所以直线 OP 的方程为yx,点 A 的坐标为11(,)x y.直线 ON 的方程为22yyxx,点 B 的坐标为2112(,)y xxx.因为21122112112222y xy xy xx xyxxx 122112211()()222kxxkxxx xx 122121(22)()2kx xxxx 22211(22)42kkkkx 0,所以211122y xyxx.故 A 为线段 BM 的中点.26【名师点睛】本题考
44、查了直线与抛物线的位置关系,考查了转化与化归能力,当看到题目中出现直线与圆锥曲线时,不需要特殊技巧,只要联立直线与圆锥曲线的方程,借助根与系数的关系,找准题设条件中突显的或隐含的等量关系,把这种关系“翻译”出来即可,有时不一定要把结果及时求出来,可能需要整体代换到后面的计算中去,从而减少计算量.(1)代入点P求得抛物线的方程,根据方程表示焦点坐标和准线方程;(2)设直线 l 的方程为12ykx(0k),与抛物线方程联立,再由根与系数的关系,及直线 ON 的方程为22yyxx,联立求得点B的坐标为2112(,)y xxx,再证明1211220 x yyxx.21【2017 年高考天津卷理数】设椭
45、圆22221(0)xyabab的左焦点为F,右顶点为A,离心率为12 已知A是抛物线22(0)ypx p的焦点,F到抛物线的准线l的距离为12(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D若APD的面积为62,求直线AP的方程【答案】(1)椭圆的方程为22413yx,抛物线的方程为24yx;(2)3630 xy或3630 xy【解析】(1)设F的坐标为(,0)c 依题意,12ca,2pa,12ac,解得1a,12c,2p,于是22234bac 所以,椭圆的方程为22413yx,抛物线的方程为24yx(2)设
46、直线AP的方程为1(0)xmym,与直线l的方程1x 联立,可得点2(1,)Pm,故2(1,)Qm 将1xmy与22413yx 联立,消去x,整理得22(34)60mymy,解得0y 或2634mym 27 由点B异于点A,可得点222346(,)3434mmBmm 由2(1,)Qm,可得直线BQ的方程为22262342()(1)(1)()03434mmxymmmm,令0y,解得222332mxm,故2223(,0)32mDm,所以2222236|13232mmADmm 又因为APD的面积为62,故221626232|2mmm,整理得232 6|20mm,解得6|3m,所以63m 所以,直线A
47、P的方程为3630 xy或3630 xy【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考中都是较有难度的压轴题,本题中第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点,列方程组,求出椭圆和抛物线的方程,第二步联立方程组求出点的坐标,写出直线的方程,利用面积求直线方程,利用代数的方法解决几何问题,即坐标化、方程化、代数化,这是解题的关键(1)由于A为抛物线焦点,F到抛物线的准线l的距离为12,则12ac,又椭圆的离心率为12,求出,c a b,得出椭圆的标准方程和抛物线的方程;(2)设直线AP的方程为1(0)xmym,解出,P Q两点的坐标,把直线AP的方程和椭圆方程联立解出B点坐标,写出BQ所在直线的方
48、程,求出点D的坐标,最后根据APD的面积为62,解方程求出m,可得直线AP的方程 22【2017 年高考山东卷理数】在平面直角坐标系xOy中,椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为22,焦距为 2.(1)求椭圆的方程;E 28(2)如图,动直线13:2l yk x交椭圆 E 于 A,B 两点,C 是椭圆上一点,直线 OC 的斜率为,且1224k k,是线段延长线上一点,且|:|2:3MCAB,的半径为,是的两条切线,切点分别为,求的最大值,并求取得最大值时直线 的斜率.【答案】(1)2212xy;(2)的最大值为3,取得最大值时直线 的斜率为122k .【解析】(1)由题意知2,222
49、ceca,所以 c=1,所以2,1ab,因此椭圆的方程为2212xy.(2)设,联立方程2211232xyyk x,得,由题意知0,且1121222112 31,212 21kxxx xkk,E2kMOCMMC,OS OTM,S TSOTlSOTlE1122,A x yB xy2211424 310kxk x 29 所以221121122111 8|1221kkABkxxk.由题意可知圆M的半径r为22112111 82 2321kkrk,由题设知,所以,因此直线的方程为.联立方程2211224xyyxk,得2221221181,1414kxykk,因此2221211 8|14kOCxyk.由题意可知1sin|2|1SOTrOCrOCr,而21212211211 814|11 82 2321kkOCrkkk 212211123 24141kkk,令,则,因此222|3313112221121119224OCtrttttt,当且仅当,即时等号成立,此时,1224k k 2124kkOC124yxk2112tk 11,0,1tt112t2t 122k 30 所以,因此26SOT,所以的最大值为3.综上所述:的最大值为3,取得最大值时直线 的斜率为122k .1sin22SOTSOTSOTl
限制150内