特殊平行四边形提高训练.pdf

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1、 特殊平行四边形提高训练 一选择题（共 16 小题）1（2016灵璧县一模）如图所示，矩形 ABCD 中，AE 平分 BAD 交 BC 于 E，CAE=15，则下面的结论：ODC 是等边三角形；BC=2AB；AOE=135；S AOE=S COE，其中正确结论有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2（2016鄂州一模）如图，在矩形 AOBC 中，点 A 的坐标（2，1），点 C 的纵坐标是 4，则 B、C 两点的坐标分别是（）A（，）、（，4）B（，3）、（，4）C（，3）、（，4）D（，）、（，4）3（2016石峰区模拟）矩形 ABCD 中，AB=2，AD=1，点 M 在边 CD 上

2、，若 AM 平分 DMB，则 DM 的长是（）A B C D 4（2016姜堰区校级模拟）矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，矩形 CEFG 上的点 G 在 CD 边，EF=a，CE=2a，连接 BD、BF、DF，则 BDF 的面积是（）欢迎下载 2 A32 B16 C8 D16+a2 5（2016灯塔市二模）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，DC=2，O 是 AD 的中点，连接OB、OC，点 E 在线段 BC 上（点 E 不与点 B、C 重合），过点 E 作 EMOB 于 M，ENOC于 N，则 EM+EN 的值为（）A6 B1.5 C D 6（2016肥城市二模）已知一个菱形的周长

3、是 20cm，两条对角线的比是 4：3，则这个菱形的面积是（）A12cm2 B96cm2 C48cm2 D24cm2 7（2015丹东）过矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点 O 作 EFAC，交 BC 边于点 E，交 AD边于点 F，分别连接 AE、CF若 AB=，DCF=30，则 EF 的长为（）A2 B3 C D 8（2016天津一模）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AC=8，BD=6，过点 O 作 OHAB，垂足为 H，则点 O 到边 AB 的距离 OH 等于（）A2 B C D 9（2016和县一模）如图，菱形 ABCD 中，点 O 对角线 AC 的三等分

4、点，连接 OB、OD，且 OB=OC=OD已知 AC=3，那么菱形的边长为（）欢迎下载 3 A B2 C D 10（2016丹东模拟）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 为 BC的中点，则下列等式中一定成立的是（）AAB=BE BAC=2AB CAB=2OE DAC=2OE 11（2015西城区二模）如图，将正方形 OABC 放在平面直角坐标系 xOy 中，O 是原点，若点 A 的坐标为（1，），则点 C 的坐标为（）A（，1）B（1，）C（，1）D（，1）12（2015桐庐县模拟）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC=6，点 P 是对角线 AC 上的一

5、点，过点 P 作 PFAD，PECD，则 PF+PE 的值为（）A3 B3 C2 D6 13（2015本溪二模）如图，在矩形 ABCD 中，AD=2AB，E、F 分别是 AD、BC 的中点，连接 AF 与 BE、CE 与 DF 分别交于点 M、N 两点，则四边形 EMFN 是（）A正方形 B菱形 C矩形 D无法确定 14（2015 春石林县期末）如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE，连接 CE，与对角线 BD 交于 F，则 BFC 为（）欢迎下载 4 A75 B70 C65 D60 15（2015铁力市二模）如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，PEBC

6、于点 E；PFCD 于点 F，连接 EF，给出下列五个结论：AP=EF；APEF；PFE=BAP；PD=EC；PB2+PD2=2PA2，正确的有（）个 A5 B4 C3 D2 16（2015陕西模拟）如图，E 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 BE=BC，P 为 CE 上任意一点，PQBC 于点 Q，PRBE 于点 R，则 PQ+PR 的值是（）A B C D 二解答题（共 11 小题）17（2016咸阳模拟）如图，矩形 ABCD，E、F 在 AB、CD 上，且 EF AD，M 为 EF 的中点，连接 AM、DM，求证：AM=DM 18（2016市南区一模）已知：如

7、图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 BC上，且 AE=CF，作 EG FH，分别与对角线 BD 交于点 G、H，连接 EH，FG（1）求证：BFH DEG；（2）连接 DF，若 BF=DF，则四边形 EGFH 是什么特殊四边形？证明你的结论 欢迎下载 5 19（2016 春南京校级月考）已知：如图，BE、BF 分别是 ABC 与它的邻补角 ABD 的平分线，AEBE，垂足为点 E，AFBF，垂足为点 F，EF 分别交边 AB、AC 于点 M 和 N 求证：（1）四边形 AFBE 是矩形；（2）MN=BC 20（2016安徽模拟）如图，在 ABC 中，D 是 BC 边

8、的中点，F，E 分别是 AD 及其延长线上的点，CF BE，连结 BF，CE（1）求证：四边形 BFCE 是平行四边形；（2）当边 AB、AC 满足什么条件时，四边形 BECF 是菱形？并说明理由 21（2016十堰模拟）已知：如图，在菱形 ABCD 中，F 为边 BC 的中点，DF 与对角线 AC交于点 M，过 M 作 MECD 于点 E，1=2（1）若 CE=2，求 BC 的长；（2）求证：ME=AMDF 22（2016东平县一模）如图，在 ABC 中，ABC=90，BD 为 AC 的中线，过点 C 作CEBD 于点 E，过点 A 作 BD 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，在 AF

9、的延长线上截取FG=BD，连接 BG、DF（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形 BDFG 为菱形；欢迎下载 6（3）若 AG=13，CF=6，求四边形 BDFG 的周长 23（2016南岗区模拟）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在对角线 AC 上，点 F 在边 BC上，连接 BE、DF，DF 交对角线 AC 于点 G，且 DE=DG（1）求证：AE=CG；（2）试判断 BE 和 DF 的位置关系，并说明理由 24（2016景德镇校级二模）如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，对角线 BD 平分 ABC，P 是 BD 上一点，过点 P 作 PMAD，PNCD，垂足分别为 M，N（

10、1）求证：点 A 与 C 关于直线 BD 对称（2）若 ADC=90，求证四边形 MPND 为正方形 25（2015滕州市模拟）已知：如图，正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 的延长线上，AE 分别交 DC，BD 于 F，G，点 H 为 EF 的中点 求证：（1）DAG=DCG；（2）GCCH 26（2016 春丹阳市校级月考）如图，已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 AC 上的一点，过点 A 作 AGBE，垂足为 G，AG 交 BD 于点 F（1）试说明 OE=OF；欢迎下载 7（2）当 AE=AB 时，过点 E 作 EHBE 交 AD 边于 H，找出与 A

11、HE 全等的一个三角形加以证明，（3）在（2）的条件下若该正方形边长为 1，求 AH 的长 27（2015荆州）如图 1，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 BD 上的一点，点 E 在 AD 的延长线上，且 PA=PE，PE 交 CD 于 F（1）证明：PC=PE；（2）求 CPE 的度数；（3）如图 2，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD，其他条件不变，当 ABC=120时，连接CE，试探究线段 AP 与线段 CE 的数量关系，并说明理由 欢迎下载 8 特殊平行四边形提高训练 参考答案与试题解析 一选择题（共 16 小题）1（2016灵璧县一模）如图所示，矩形 ABCD 中，AE 平分

12、 BAD 交 BC 于 E，CAE=15，则下面的结论：ODC 是等边三角形；BC=2AB；AOE=135；S AOE=S COE，其中正确结论有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据矩形性质求出 OD=OC，根据角求出 DOC=60即可得出三角形 DOC 是等边三角形，求出 AC=2AB，即可判断，求出 BOE=75，AOB=60，相加即可求出 AOE，根据等底等高的三角形面积相等得出 S AOE=SCOE【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，BAD=90，OA=OC，OD=OB，AC=BD，OA=OD=OC=OB，AE 平分 BAD，DAE=45，CAE=15，DAC=30

13、，OA=OD，ODA=DAC=30，DOC=60，OD=OC，ODC 是等边三角形，正确；四边形 ABCD 是矩形，AD BC，ABC=90 DAC=ACB=30，AC=2AB，ACBC，2ABBC，错误；AD BC，DBC=ADB=30，AE 平分 DAB，DAB=90，DAE=BAE=45，AD BC，DAE=AEB，欢迎下载 9 AEB=BAE，AB=BE，四边形 ABCD 是矩形，DOC=60，DC=AB，DOC 是等边三角形，DC=OD，BE=BO，BOE=BEO=（180 OBE）=75，AOB=DOC=60，AOE=60+75=135，正确；OA=OC，根据等底等高的三角形面积相

14、等得出 S AOE=SCOE，正确；故选 C 2（2016鄂州一模）如图，在矩形 AOBC 中，点 A 的坐标（2，1），点 C 的纵坐标是 4，则 B、C 两点的坐标分别是（）A（，）、（，4）B（，3）、（，4）C（，3）、（，4）D（，）、（，4）【分析】如过点 A、B 作 x 轴的垂线垂足分别为 F、M过点 C 作 y 轴的垂线交 FA、根据 AOF CAE，AOF BCN，ACE BOM 解决问题【解答】解：如图过点 A、B 作 x 轴的垂线垂足分别为 F、M过点 C 作 y 轴的垂线交 FA、点 A 坐标（2，1），点 C 纵坐标为 4，AF=1，FO=2，AE=3，EAC+OAF

15、=90，OAF+AOF=90，EAC=AOF，E=AFO=90，AEC OFA，欢迎下载 10 EC=，点 C 坐标（，4），AOF BCN，AEC BMO，CN=2，BN=1，BM=MNBN=3，BM=AE=3，OM=EC=，点 B 坐标（，3），故选 C 3（2016石峰区模拟）矩形 ABCD 中，AB=2，AD=1，点 M 在边 CD 上，若 AM 平分 DMB，则 DM 的长是（）A B C D【分析】由矩形的性质得出 CD=AB=2，AB CD，BC=AD=1，C=90，由平行线的性质得出 BAM=AMD，再由角平分线证出 BAM=AMB，得出 MB=AB=2，由勾股定理求出 CM，

16、即可得出 DM 的长【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，CD=AB=2，AB CD，BC=AD=1，C=90，BAM=AMD，AM 平分 DMB，AMD=AMB，BAM=AMB，BMB=AB=2，CM=，DM=CDCM=2；故选：D 4（2016姜堰区校级模拟）矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，矩形 CEFG 上的点 G 在 CD 边，EF=a，CE=2a，连接 BD、BF、DF，则 BDF 的面积是（）欢迎下载 11 A32 B16 C8 D16+a2【分析】根据两个矩形面积之和加上三角形 DGF 面积，减去 ABD 面积与 BEF 面积，求出 BDF 面积即可【解答】解：根据题意得

17、：BDF 的面积=84+2aa+2a（4a）84 a（2a+8）=32+2a2+4aa216a24a=16；故选：B 5（2016灯塔市二模）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，DC=2，O 是 AD 的中点，连接OB、OC，点 E 在线段 BC 上（点 E 不与点 B、C 重合），过点 E 作 EMOB 于 M，ENOC于 N，则 EM+EN 的值为（）A6 B1.5 C D【分析】连接 OE，由矩形的性质得出 CD=AB=3，AD=BC=2，A=D=90，由勾股定理得出 OB=OC=，由 OBE 的面积+OCE 的面积=OBC 的面积，即可得出结果【解答】解：连接 OE，如图所示：四边形

18、 ABCD 是矩形，CD=AB=3，AD=BC=2，A=D=90，O 是 AD 的中点，AO=DO=1，OB=OC=，OBE 的面积+OCE 的面积=OBC 的面积，OBEM+OCEN=BCAB，（EM+EN）=23，解得：EM+EN=；欢迎下载 12 故选：D 6（2016肥城市二模）已知一个菱形的周长是 20cm，两条对角线的比是 4：3，则这个菱形的面积是（）A12cm2 B96cm2 C48cm2 D24cm2【分析】先求出菱形的边长，然后设菱形的两对角线分别为 8x，6x，根据菱形的对角线垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出 x，从而得到对角线的长，然后根据菱形的面积等

19、于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解【解答】解：菱形的周长是 20cm，边长为 204=5cm，两条对角线的比是 4：3，设菱形的两对角线分别为 8x，6x，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，则对角线的一半分别为 4x，3x，根据勾股定理得，（4x）2+（3x）2=52，解得 x=1，所以，两对角线分别为 8cm，6cm，所以，这个菱形的面积=86=24cm2 故选：D 7（2015丹东）过矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点 O 作 EFAC，交 BC 边于点 E，交 AD边于点 F，分别连接 AE、CF若 AB=，DCF=30，则 EF 的长为（）A2 B3 C D【分析】

20、求出 ACB=DAC，然后利用“角角边”证明 AOF 和 COE 全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形AECF是菱形，再求出 ECF=60，然后判断出 CEF 是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得 EF=CF，根据矩形的对边相等可得 CD=AB，然后求出 CF，从而得解 欢迎下载 13【解答】解：矩形对边 AD BC，ACB=DAC，O 是 AC 的中点，AO=CO，在 AOF 和 COE 中，AOF COE（ASA），OE=OF，又 EFAC，四边形 AECF 是菱形，DCF=30，ECF=9030=60，CEF 是等边三角

21、形，EF=CF，AB=，CD=AB=，DCF=30，CF=2，EF=2 故选 A 8（2016天津一模）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AC=8，BD=6，过点 O 作 OHAB，垂足为 H，则点 O 到边 AB 的距离 OH 等于（）A2 B C D【分析】因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出 OH 的长【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，AC=8，BD=6，BO=3，AO=4，AOBO，AB=5 OHAB，AOBO=ABOH，欢迎下载 14 OH=，故选 D 9（2016和县一模）如图，菱形 ABCD 中，点 O 对角线 AC 的三

22、等分点，连接 OB、OD，且 OB=OC=OD已知 AC=3，那么菱形的边长为（）A B2 C D【分析】由菱形的性质得出 AB=BC，得出 BAC=ACB，由已知条件得出 OB=OC=AC=1，由等腰三角形的性质得出 BOC ABC，得出对应边成比例，即可求出菱形的边长【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，AB=BC，BAC=ACB，点 O 对角线 AC的三等分点，OB=OC=AC=1，BAC=ACB=OBC，BOC ABC，所以，即，BA2=3，BA=；故选：A 10（2016丹东模拟）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 为 BC的中点，则下列等式中一定成

23、立的是（）AAB=BE BAC=2AB CAB=2OE DAC=2OE【分析】由菱形的性质以及三角形中位线定理逐项分析即可【解答】解：点 E 为 BC 的中点，CE=BE=BC，AB=BC，AB=2BE，故选项 A 错误；欢迎下载 15 在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AO=CO=AC，OE 是 ABC 的中位线，OE=AB，故选项 C 正确；ACABBC，AC2AB2OE，故选项 B，D 错误，故选 C 11（2015西城区二模）如图，将正方形 OABC 放在平面直角坐标系 xOy 中，O 是原点，若点 A 的坐标为（1，），则点 C 的坐标为（）A（，1）B（1，）

24、C（，1）D（，1）【分析】作 AD轴于 D，作 CEx 轴于 E，则 ADO=OEC=90，得出 1+2=90，由正方形的性质得出 OC=AO，1+3=90，证出 3=2，由 AAS 证明 OCE AOD，OE=AD=，CE=OD=1，即可得出结果【解答】解：作 AD轴于 D，作 CEx 轴于 E，如图所示：则 ADO=OEC=90，1+2=90，点 A 的坐标为（1，），OD=1，AD=，四边形 OABC 是正方形，AOC=90，OC=AO，1+3=90，3=2，在 OCE 和 AOD 中，OCE AOD（AAS），OE=AD=，CE=OD=1，点 C 的坐标为（，1）；故选：C 欢迎下载

25、 16 12（2015桐庐县模拟）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC=6，点 P 是对角线 AC 上的一点，过点 P 作 PFAD，PECD，则 PF+PE 的值为（）A3 B3 C2 D6【分析】由正方形的性质得出 PAF=PCE=45，证出 APF 和 CPE 是等腰直角三角形，得出 PF=AP，PE=PC，即可得出结论【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，BAD=BCD=90，PAF=PCE=45，PFAD，PECD，APF 和 CPE 是等腰直角三角形，PF=AP，PE=PC，PF+PE=（AP+PC）=AC=3；故选：A 13（2015本溪二模）如图，在矩形 ABCD 中，

26、AD=2AB，E、F 分别是 AD、BC 的中点，连接 AF 与 BE、CE 与 DF 分别交于点 M、N 两点，则四边形 EMFN 是（）A正方形 B菱形 C矩形 D无法确定【分析】利用矩形的性质与判定方法得出四边形 EMFN 是矩形，进而利用等腰直角三角形的性质得出 AM=ME，BM=MF=AM，则 ME=MF，进而求出即可【解答】解：四边形 ABCD 为矩形，AD BC，AD=BC，EAB=ABF=BCD=CDA=90，又 E，F 分别为 AD，BC 中点，AD=2AB，AE BF，ED CF，AE=BF=DE=CF=AB=DC，欢迎下载 17 ABE=AEB=DEC=DCE=DFC=4

27、5，BEN=90，又 DEBF，AEFC，四边形 EMFN 是矩形，AMBE，BMAF，AM=ME，BM=MF=AM，ME=MF，四边形 EMFN 是正方形 故选：A 14（2015 春石林县期末）如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE，连接 CE，与对角线 BD 交于 F，则 BFC 为（）A75 B70 C65 D60【分析】由于四边形 ABCD 是正方形，ADE 是正三角形，由此可以得到 CD=DE，接着利用正方形和正三角形的内角的性质即可求解【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，ADC=90，AD=DC，又 ADE 是正三角形，CD=DE，ADE=60，CDE 是等腰

28、三角形，CDE=90+60=150，ECD=DEC=15，BDC=45，CFD=1801545=120，BFC=60，故选 D 15（2015铁力市二模）如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，PEBC 于点 E；PFCD 于点 F，连接 EF，给出下列五个结论：AP=EF；APEF；PFE=BAP；PD=EC；PB2+PD2=2PA2，正确的有（）个 欢迎下载 18 A5 B4 C3 D2【分析】根据正方形的性质与正方形关于对角线对称可得所给选项的正误【解答】解：正确，连接 PC，可得 PC=EF，PC=PA，AP=EF；正确；延长 AP，交 EF 于点 N，则 EPN=B

29、AP=PCE=PFE，可得 APEF；正确；PFE=PCE=BAP；错误，PD=PF=CE；正确，PB2+PD2=2PA2 故选 B 16（2015陕西模拟）如图，E 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 BE=BC，P 为 CE 上任意一点，PQBC 于点 Q，PRBE 于点 R，则 PQ+PR 的值是（）A B C D【分析】连接 BP，利用面积法求解，PQ+PR 的值等于 C 点到 BE 的距离，即正方形对角线的一半【解答】解：连接 BP，过 C 作 CMBD，S BCE=S BPE+S BPC=BCPQ+BEPR =BC（PQ+PR）=BECM，BC=BE，PQ

30、+PR=CM，欢迎下载 19 BE=BC=1，且正方形对角线 BD=BC=，又 BC=CD，CMBD，M 为 BD 中点，又 BDC 为直角三角形，CM=BD=，即 PQ+PR 值是 故选：D 二解答题（共 11 小题）17（2016咸阳模拟）如图，矩形 ABCD，E、F 在 AB、CD 上，且 EF AD，M 为 EF 的中点，连接 AM、DM，求证：AM=DM 【分析】由矩形的性质得出 AE DF，BAD=90，再由 EF AD，证出四边形 AEFD 是矩形，得出 AE=DF，AEM=DFM=90，由 SAS 证明 AEM DFM，得出对应边相等即可【解答】证明：四边形 ABCD 是矩形，

31、AE DF，BAD=90，EF AD，四边形 AEFD 是矩形，AE=DF，AEM=DFM=90，M 为 EF 的中点，EM=FM，在 AEM 和 DFM 中，AEM DFM（SAS），AM=DM 18（2016市南区一模）已知：如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 BC上，且 AE=CF，作 EG FH，分别与对角线 BD 交于点 G、H，连接 EH，FG（1）求证：BFH DEG；（2）连接 DF，若 BF=DF，则四边形 EGFH 是什么特殊四边形？证明你的结论 欢迎下载 20 【分析】（1）由平行四边形的性质得出 AD BC，AD=BC，OB=OD，由平行线

32、的性质得出 FBH=EDG，OHF=OGE，得出 BHF=DGE，求出 BF=DE，由 AAS 即可得出结论；（2）先证明四边形 EGFH 是平行四边形，再由等腰三角形的性质得出 EFGH，即可得出四边形 EGFH 是菱形【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AD BC，AD=BC，OB=OD，FBH=EDG，AE=CF，BF=DE，EG FH，OHF=OGE，BHF=DGE，在 BFH 和 DEG 中，BFH DEG（AAS）；（2）解：四边形 EGFH 是菱形；理由如下：连接 DF，如图所示：由（1）得：BFH DEG，FH=EG，又 EG FH，四边形 EGFH 是平行四边

33、形，BF=DF，OB=OD，EFBD，EFGH，四边形 EGFH 是菱形 19（2016 春南京校级月考）已知：如图，BE、BF 分别是 ABC 与它的邻补角 ABD 的平分线，AEBE，垂足为点 E，AFBF，垂足为点 F，EF 分别交边 AB、AC 于点 M 和 N 求证：（1）四边形 AFBE 是矩形；欢迎下载 21（2）MN=BC 【分析】（1）由 BE、BE 是角平分线可得 EBF 是 90，进而由条件中的两个垂直可得两个直角，可得四边形 AEBF 是矩形；（2）由矩形的 F 质可得 2=5 进而利用角平分线的性质可得 1=5，可得 ME BC，进而可得 N 为 AC 中点，根据三角

34、形中位线性质求出即可【解答】证明：（1）BE、BF 分别是 ABC 中 B 及它的外角的平分线，1=2，3=4，1+2+3+4=180，2+3=90，AEBE，E 为垂足，AFBF，F 为垂足，AFB=AEB=90，四边形 AEBF 为矩形；（2）四边形 AEBF 为矩形，BM=MA=ME，2=5，2=1，1=5，ME BC，M 是 AB 的中点，N 为 AC 的中点，MN=BC 欢迎下载 22 20（2016安徽模拟）如图，在 ABC 中，D 是 BC 边的中点，F，E 分别是 AD 及其延长线上的点，CF BE，连结 BF，CE（1）求证：四边形 BFCE 是平行四边形；（2）当边 AB、

35、AC 满足什么条件时，四边形 BECF 是菱形？并说明理由 【分析】（1）由已知各件，据 AAS 很容易证得：BDE CDF；（2）连接 BF、CE，由 AB=AC，D 是 BC 边的中点，可知 ADBC，易证得 BFD CFD，可得 BF=CF；又因为（1）中 BDE CDF 得 ED=FD，所以 EF、BC 互相垂直平分，根据菱形的性质，可得四边形 BECF 是菱形【解答】（1）证明：在 ABC 中，D 是 BC 边的中点，BD=CD，CF BE，CFD=BED，在 CFD 和 BED 中，CFD BED（AAS），CF=BE，四边形 BFCE 是平行四边形；（2）解：当 AB=AC 时，

36、四边形 BECF 是菱形；理由如下：AB=AC，D 是 BC 边的中点，ADBC，EFBC，四边形 BECF 是菱形 21（2016十堰模拟）已知：如图，在菱形 ABCD 中，F 为边 BC 的中点，DF 与对角线 AC交于点 M，过 M 作 MECD 于点 E，1=2（1）若 CE=2，求 BC 的长；（2）求证：ME=AMDF 欢迎下载 23 【分析】（1）根据菱形的性质可得 CB=CD，AB CD，然后再证明 2=ACD，根据等角对等边可得 MC=MD，根据等腰三角形三线合一的性质可得 CD=2CE=4，进而可得 BC=4（2）延长 DF，BA 交于 G，首先证明 CEM CFM 可得

37、ME=MF，然后再证明 CDF BGF 可得 DF=GF，然后证明 1=G，根据等角对等边可得 GM=CM，利用线段的和差关系可得结论【解答】（1）解：四边形 ABCD 是菱形，CB=CD，AB CD，1=ACD 1=2，2=ACD，MC=MD MECD，CD=2CE=4，BC=CD=4；（2）证明：如图，延长 DF，BA 交于 G，四边形 ABCD 是菱形，BCA=DCA BC=2CF，CD=2CE，CE=CF 在 CEM 和 CFM 中，CEM CFM（SAS），ME=MF AB CD，2=G，GBF=BCD，F 为边 BC 的中点，CF=BF，在 CDF 和 BGF 中，CDF BGF（

38、AAS），DF=GF 1=2，G=2，1=G，AM=GM=MF+GF=DF+ME，欢迎下载 24 即 ME=AMDF 22（2016东平县一模）如图，在 ABC 中，ABC=90，BD 为 AC 的中线，过点 C 作CEBD 于点 E，过点 A 作 BD 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，在 AF 的延长线上截取FG=BD，连接 BG、DF（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形 BDFG 为菱形；（3）若 AG=13，CF=6，求四边形 BDFG 的周长 【分析】（1）先可判断四边形 BGFD 是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得 BD=FD；（2）由邻边相等可判断四

39、边形 BGFD 是菱形；（3）设 GF=x，则 AF=13x，AC=2x，在 Rt ACF 中利用勾股定理可求出 x 的值【解答】（1）证明：ABC=90，BD 为 AC 的中线，BD=AC，AG BD，BD=FG，四边形 BGFD 是平行四边形，CFBD，CFAG，又 点 D 是 AC 中点，DF=AC，BD=DF；（2）证明：BD=DF，四边形 BGFD 是菱形，（3）解：设 GF=x，则 AF=13x，AC=2x，在 Rt ACF 中，CFA=90，AF2+CF2=AC2，即（13x）2+62=（2x）2，解得：x=5，四边形 BDFG 的周长=4GF=20 欢迎下载 25 23（201

40、6南岗区模拟）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在对角线 AC 上，点 F 在边 BC上，连接 BE、DF，DF 交对角线 AC 于点 G，且 DE=DG（1）求证：AE=CG；（2）试判断 BE 和 DF 的位置关系，并说明理由 【分析】（1）先证 AED=CGD，再证明 ADE CDG，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；（2）先证明 AEB CGD，得出对应角相等 AEB=CGD，得出 AEB=EGF，即可证出平行线【解答】解：（1）证明：在正方形 ABCD 中，AD=CD，DAE=DCG，DE=DG，DEG=DGE，AED=CGD 在 AED 和 CGD 中，AED CGD（A

41、AS），AE=CG（2）解法一：BE DF，理由如下：在正方形 ABCD 中，AB CD，BAE=DCG 在 AEB 和 CGD 中，AEB CGD（SAS），AEB=CGD CGD=EGF，AEB=EGF，BE DF 解法二：BE DF，理由如下：在正方形 ABCD 中，AD FC，欢迎下载 26=CG=AE，AG=CE 又 在正方形 ABCD 中，AD=CB，=又 GCF=ECB，CGF CEB，CGF=CEB，BE DF 24（2016景德镇校级二模）如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，对角线 BD 平分 ABC，P 是 BD 上一点，过点 P 作 PMAD，PNCD，垂足分别为

42、M，N（1）求证：点 A 与 C 关于直线 BD 对称（2）若 ADC=90，求证四边形 MPND 为正方形 【分析】（1）首先根据角平分线的定义求出 ABD=CBD，然后在 ABD 和 CBD 中，根据 SAS 证明两个三角形全等，进而得到 ADB=CDB，AD=CD，根据等腰三角形的性质可得 BD 垂直平分 AC，进而可得点 A 与 C 关于直线 BD 对称；（2）首先证明四边形 PMDN 是矩形，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PM=PN，进而可得四边形 MPND 为正方形【解答】证明：（1）连接 AC，BD 平分 ABC，ABD=CBD，在 ABD 和 CBD 中，ABD C

43、BD（SAS），ADB=CDB，DA=DC，BD 垂直平分 AC，点 A 与 C 关于直线 BD 对称；（2）PMAD，PNCD，PMD=PND=90，ADC=90，欢迎下载 27 四边形 PMDN 是矩形，ADB=CDB，BD 平分 ADC，PMAD，PNCD，PM=PN，四边形 MPND 为正方形 25（2015滕州市模拟）已知：如图，正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 的延长线上，AE 分别交 DC，BD 于 F，G，点 H 为 EF 的中点 求证：（1）DAG=DCG；（2）GCCH 【分析】（1）要证明 DAG=DCG，需把两角放到两三角形中，证明两三角形 ADG 与 CDG 全

44、等得到，全等的方法是：由ABCD 为正方形，得到 AD与DC相等，ADB 与 CDB相等，再加上公共边 DG，利用“SAS”得到全等，利用全等三角形的对应角相等得证；（2）要证明 GC 与 CH 垂直，需证 GCH=90，即 FCH+DCG=90，方法是：由正方形的对边 AD 与 BE 平行，根据两直线平行，内错角相等得到 DAF 与 E 相等，由（1）得到的 DAG 与 DCG 相等，等量代换得到 E 与 DCG 相等，再由 CH 为直角三角形 ECF斜边上的中线，得到 CH 与 HE 相等都等于斜边 EF 的一半，根据“等边对等角”得到 E 与 HCE 相等，又 FCH+DCG 等于 90

45、，等量代换得到 FCH+DCG=90，即 GCH=90，得证【解答】证明：（1）ABCD 为正方形，AD=DC，ADC=90，ADB=CDB=45，又 DG=DG，ADG CDG，DAG=DCG；（2）ABCD 为正方形，AD BE，DAG=E，又 DAG=DCG，E=DCG，欢迎下载 28 H 为直角三角形 CEF 斜边 EF 边的中点，CH=HE=EF，HCE=E，DCG=HCE，又 FCH+HCE=90，FCH+DCG=90，即 GCH=90，GCCH 26（2016 春丹阳市校级月考）如图，已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 AC 上的一点，过点 A 作

46、AGBE，垂足为 G，AG 交 BD 于点 F（1）试说明 OE=OF；（2）当 AE=AB 时，过点 E 作 EHBE 交 AD 边于 H，找出与 AHE 全等的一个三角形加以证明，（3）在（2）的条件下若该正方形边长为 1，求 AH 的长 【分析】（1）根据正方形性质得出 ACBD，OA=OB，求出 FAO=EBO，根据 ASA 推出 AFO BEO 即可；（2）根据正方形性质得出 ACB=DAC=45，ABE+EBC=90，求出 CBE=AEH，AE=AB=BC，证 BCE EAH；（3）根据全等三角形的性质推出 CE=AH，即可得出答案【解答】（1）解：四边形 ABCD 是正方形，AC

47、BD，OA=OB，AOF=BOE=90，AGBE，FGB=90，OBE+BFG=90，FAO+AFO=90，AFO=BFG，FAO=EBO，在 AFO 和 BEO 中，AFO BEO（ASA），OE=OF 欢迎下载 29 （2）BCE EAH，证明：四边形 ABCD 是正方形，ACB=DAC=45，ABE+EBC=90，EHBE，AEH+AEB=90，AE=AB，ABE=AEB，CBE=AEH，AE=AB=BC，在 BCE 和 EAH 中，BCE EAH（ASA）；（3）解：BCE EAH，CE=AH，AB=BC=1，AC=，AE=AB=1，AH=CE=ACAE=1 27（2015荆州）如图

48、1，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 BD 上的一点，点 E 在 AD 的延长线上，且 PA=PE，PE 交 CD 于 F（1）证明：PC=PE；（2）求 CPE 的度数；（3）如图 2，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD，其他条件不变，当 ABC=120时，连接CE，试探究线段 AP 与线段 CE 的数量关系，并说明理由 欢迎下载 30【分析】（1）先证出 ABP CBP，得 PA=PC，由于 PA=PE，得 PC=PE；（2）由 ABP CBP，得 BAP=BCP，进而得 DAP=DCP，由 PA=PC，得到 DAP=E，DCP=E，最后 CPF=EDF=90得到结论；（3）借助（

49、1）和（2）的证明方法容易证明结论【解答】（1）证明：在正方形 ABCD 中，AB=BC，ABP=CBP=45，在 ABP 和 CBP 中，ABP CBP（SAS），PA=PC，PA=PE，PC=PE；（2）由（1）知，ABP CBP，BAP=BCP，DAP=DCP，PA=PE，DAP=E，DCP=E，CFP=EFD（对顶角相等），180 PFC PCF=180 DFE E，即 CPF=EDF=90；（3）在菱形 ABCD 中，AB=BC，ABP=CBP=60，在 ABP 和 CBP 中，ABP CBP（SAS），PA=PC，BAP=BCP，PA=PE，PC=PE，DAP=DCP，PA=PC，DAP=AEP，DCP=AEP CFP=EFD（对顶角相等），180 PFC PCF=180 DFE AEP，即 CPF=EDF=180 ADC=180120=60，EPC 是等边三角形，PC=CE，AP=CE 欢迎下载 31