全等三角形的相关模型总结概要.pdf

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1、精选文本.全等的相关模型总结 一、角平分线模型应用 1.角平分性质模型：辅助线：过点 G 作 GE射线 AC （1）.例题应用：如图 1，在中ABC，,cm4,6,900BDcmBCCABADC平分，那么点 D 到直线 AB 的距离是 cm.如图 2，已知，21，43.BACAP平分求证：.图 1 图 2 2 （提示：作 DEAB 交 AB 于点 E）21，PNPM，43，PQPN，BACPAPQPM平分,.(2).模型巩固：练习一：如图 3，在四边形 ABCD 中，BCAB，AD=CD，BD 平分BAC.精选文本.求证：180CA精选文本.图 3 练习二：已知如图 4，四边形 ABCD 中，

2、.,1800BADACCDBCDB平分求证：图 4 练习三：如图 5，,900CABAFDABCDACBABCRt平分，垂足为，中，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F.(1)求证：CE=CF.(2)将图 5 中的ADE 沿 AB 向右平移到EDA的位置，使点E落在 BC 边上，其他条件不变，如图6 所示，是猜想：BE于 CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论.图 5 图 6 精选文本.练习四：如图 7，90AADBC，P 是 AB 的中点，PD 平分ADC 求证：CP 平分DCB精选文本.图 7 练习五：如图 8，ABAC，A 的平分线与 BC 的垂直平分线相交于 D，自 D 作 DEAB

3、，DFAC，垂足分别为 E，F求证：BE=CF 图 8 练习六：如图 9 所示，在ABC 中，BC 边的垂直平分线 DF 交BAC 的外角平分线 AD 于点 D，F为垂足，DEAB 于 E，并且 ABAC。求证：BEAC=AE。练习七：如图 10，D、E、F 分别是ABC 的三边上的点，CE=BF，且DCE 的面积与DBF 的面积相等，求证：AD 平分BAC。BCADEF 2.角平分线+垂线，等腰三角形比呈现A D E C B P 2 1 4 3 FEDCBA图 9 精选文本.辅助线：延长 ED 交射线 OB 于 F 辅助线：过点 E 作 EF射线 OB（1）.例题应用：如图 1 所示，在AB

4、C 中，ABC=3C，AD 是BAC 的平分线，BEAD 于 F。求证：1()2BEACAB 证明：延长 BE 交 AC 于点 F。已知：如图 2，在中ABC，,ADABDBCADBAC且于交的角平分线 )(21.ACABAMMADADCM求证：的延长线于交作精选文本.分析：此题很多同学可能想到延长线段 CM，但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就在于 AB=AD，由此我们可以猜想过 C 点作平行线来构造等腰三角形.证明：过点 C 作 CEAB 交 AM 的延长线于点 E.例题变形:如图，21，的中点为ACB，.,NFBANMFBCM于于 求证：;2BMEF ).(21FNFMFB

5、(3).模型巩固：练习一、如图 3，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，BD 平分ABC 交 AC 于点D，CE 垂直于 BD，交 BD 的延长线于点 E。求证：BD=2CE。精选文本.图 3 练习一变形：如图 4，在ODC中，090DCEOEDCOEC的角平分线，且是，过点E作.之间的关系，并证明与猜想：线段于点交ODEFFOCOCEF 图 4 练习二、如图 5，已知ABC 中，CE 平分ACB，且 AECE，AEDCAE180 度，求证：DEBC 图 5 练习三、如图 6，ADDC，BCDC，E 是 DC 上一点，AE 平分DAB，BE 平分ABC，求证：点E 是 DC 中点。图 6

6、A C D E B A B C D E 精选文本.练习四、如图 7（a），AABCCEBD的外角平分线，过点分别是、作BDAD DEDEEDCEAE:.求证，连接、，垂足分别是，BC)(21ACBCABDE.图 7（a）图 7（b）图 7（c）、如图 7（b），件不变；的内角平分线，其他条分别是、ABCCEBD、如图 7（c），的外角平分线，为的内角平分线，为ABCCEABCBD其他条件不变.则在图7（b）、图 6（c）两种情况下，DE 与 BC 还平行吗？它与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并证明你的结论.(提示：利用三角形中位线的知识证明线平行)练习五、如图 8，在直角三角形

7、ABC中，90C，A的平分线交BC于D自C作CGAB交AD于E，交AB于G自D作DFAB于F，求证：CFDE精选文本.GABCDEF12 图 8 练习六、如图 9 所示，在ABC中，ACAB，M为BC的中点，AD是BAC的平分线，若CFAD且交AD的延长线于F，求证12MFACAB MFDCBA 图 9 练习六变形一：如图 10 所示，AD是ABC中BAC的外角平分线，CDAD于D，E是BC的中点，求证DEAB 且1()2DEABAC EDCBA 图 10 练习六变形二：如图 11 所示，在ABC中，AD平分BAC，ADAB，CMAD于M，求证2ABACAM MDCBA 图 11 练习七、如图

8、 12，在ABC中，2BC，BAC的平分线AD交BC与D则有ABBDAC那精选文本.么如图 13，已知在ABC中，3ABCC，12，BEAE求证：2ACABBE精选文本.DCBA 21ECBA 图 12 图 13 练习八、在ABC中，3ABAC，BAC的平分线交BC于D，过B作BEAD，E为垂足，求证：ADDE CEDBA 练习九、AD是ABC的角平分线，BEAD交AD的延长线于E，EFAC交AB于F 求证：AFFB D E CF BA 3.角分线，分两边，对称全等要记全 两个图形的辅助线都是在射线OA上取点B，使OB=OA，从而使OACOBC.（1）.例题应用：精选文本.、在ABC 中，BA

9、C=60，C=40，AP 平分BAC 交 BC 于 P，BQ 平分ABC交 AC 于 Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。精选文本.思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：本题要证明的是 AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过 O 作 BC 的平行线。得ADOAQO。得到 OD=OQ，AD=AQ，只要再证出 BD=OD 就可以了。解答过程：证明：如图（1），过 O 作 ODBC 交 AB 于 D，ADO=ABC=1806040=80，又AQO=C+QBC=80，ADO=AQO，又

10、DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，PBO=DOB，精选文本.又PBO=DBO，DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70，BOP=OBA+BAO=70，BOP=BPO，BP=OB，AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解题后的思考：（1）本题也可以在 AB 上截取 AD=AQ，连 OD，构造全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：如图（2），过 O 作 ODBC 交 AC 于 D，则ADOABO 从而得以解决。精选文本.如图（5），过 P 作 PDBQ 交 AC 于 D，则ABPAD

11、P 从而得以解决。小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。、如图所示，在ABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PBPC与ABAC的大小，并说明理由 精选文本.DPCBA EDPCBA【解析】PBPCABAC，理由如下精选文本.如图所示，在AB的延长线上截取AEAC，连接PE 因为AD是BAC的外角平分线，故CAPEAP

12、 在ACP和AEP中，ACAE，CAPEAP，AP公用，因此ACPAEP，从而PCPE 在BPE中，PBPEBE，而BEBAAEABAC，故PBPCABAC 变形：在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线P是AD上任意一点 求证：ABACPBPC CDBPA ECDBPA【解析】在AB上截取AEAC，连结EP，根据SAS证得AEPACP，PEPC，AEAC 又BEP中，BEPBPE，BEABAC，ABACPBPC（2）、模型巩固：练习一、.如图，在ABC 中，ADBC 于 D，CDABBD，B 的平分线交 AC 于点 E，求证：点E 恰好在 BC 的垂直平分线上。练习二、如图，已知ABC 中

13、，ABAC，A100，B 的平分线交 AC 于 D，求证：ADBDBC 练习三、如图，已知ABC 中，BCAC，C90，A 的平分线交 BC 于 D，求证：ACCDAB E A D B C A C B D A C B D 精选文本.练习四、已知：在ABC中，B的平分线和外角ACM的平分线相交于,D DFBC交AC于,EABF交于求证：EFBFCE 练习五、在ABC中，,2ABAC AD平分BAC，E是AD中点，连结CE，求证：2BDCE 变式：已知：在ABC中，,2BC BD平分ABC，,ADBQD于 求证：12BDAC 练习六、已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC,BC=DC,CF

14、平分BCD,DFAB,BF 的延长线交DC 于点 E.求证：（1）BF=DF；(2)AD=DE.练习七、已知如图，在四边形 ABCD 中，AB+BC=CD+DA，ABC 的外角平分线与CDA 的外角平分线交于点 P.求证：APB=CPD A B C D F E 精选文本.练习八、如图，在平行四边形 ABCD（两组对边分别平行的四边形）中，E，F 分别是 AD，AB 边上的点，且 BE、DF 交于 G 点，BE=DF，求证：GC 是BGD 的平分线。GADBCEF 练习九、如图，在ABC 中，ACB 为直角，CMAB 于 M，AT 平分BAC 交 CM 于 D，交 BC 于T，过 D 作 DEA

15、B 交 BC 于 E，求证：CT=BE.DACBMTE 练习十、如图所示，已知ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上DECD，EFAC 求证：EFAB FACDEB 精选文本.【补充】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EFAD交CA的延长线于点F，交AB 于点G，若BGCF，求证：AD为BAC的角平分线 FGEDCBA 4.中考巡礼：（1）.如图 1，OP 是AOB 的平分线，请你利用图形画一对以 OP 为所在直线为对称轴的全等三角形，请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。、如图 2，在ABC 中，ACB 是直角，B=600，AD、CE 是BAC、BCA 的

16、角平分线，相交于点 F，请你判断并写出 EF 与 DF 之间的数量的关系。、如图 3，在ABC 中，ACB 不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，（1）中的结论是否任然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由。A O M N E F 图 1 A B C D E F 图 2 A B C D E F 图 3 精选文本.（2）.如图，在平面直角坐标系中，B（-1，0），C（1，0）D 为 y 轴上的一点，点 A 为第二象限内一动点，且BAC=2BDO，过点 D 作 DMAC 于 M，、求证：ABD=ACD；、若点 E 在 BA 的延长线上，求证：AD 平分CAE；、当点 A 运动时，（AC-A

17、B）/AM 的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请精选文本.说明理由。二、等腰直角三角形模型 1.在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1）.将ABD 逆时针旋转090，使ACMABD，从而推出ADM 为等腰直角三角 形.（但是写辅助线时不能这样写）（2）.过点 C 作BCMC，连 AM 导出上述结论.2.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：DOxyEBCAM精选文本.操作过程：连 AD.（1）.使 BF=AE（AF=CE），导出BDFADE.（2）.使EDF+BAC=0180，导出BDFADE.（1）、例题应用：精选文本.解析：方法一：过点 C 作，方法二：.证明：方法一

18、：连接AM，证明MDEMAC.特别注意证明MDE=MAC.精选文本.方法二：过点M作MNEC交EC于点N，得出MN为直角梯形的中位线，从而导 出MEC为等腰直角三角形.（2）、练习巩固：已知：如图所示，RtABC 中，AB=AC，90BAC，O为BC中点，若M、N分别 在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM.、是判断OMN的形状，并证明你的结论.、当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？思路：两种方法：精选文本.在正方形 ABCD 中，BE=3，EF=5，DF=4，求BAE=DCF为多少度.提示如右图：3.构造等腰直角三角形 （1）、利用以上的 1 和 2

19、 都可以构造等腰直角三角（略）；（2）、利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角.如下图：精选文本.图 3-1 图 3-2 操作过程：在图 3-2 中，先将ABD以BD所在的直线为对称轴作对称三角形，再将此三角形沿 水平方向向右平移一个正方形边长的长度单位，使A与M，D与E重合.精选文本.例题应用：已知：平面直角坐标系中的三个点，3,01201CBA，求OCA+OCB的 度数.4.将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：图 4-1 图 4-2 例题应用：精选文本.精选文本.思路：构造正方形ACBM，可以构造出等边APM，从而造出，又根据，可得，再由于，故而得到从而得 证.例题拓展：若ABC 不

20、是等腰直角三角形，即，而是，其他条件不变，求证：2=21.练习巩固：在平面直角坐标系中，A（0,3），点B的纵坐标为 2，点C的纵坐标为 0，当A、B、C 三点围成等腰直角三角形时，求点B、C的坐标.（1）、当点B为直角顶点：图 1 图 2 （2）、当点A为直角顶点：精选文本.图 3 图 4（3）、当点C为直角顶点：图 5 图 6 三、三垂直模型（弦图模型）.由ABEBCD 导出 由ABEBCD 导 由ABEBCD 导出 ED=AE-CD 出 EC=AB-CD BC=BE+ED=AB+CD 精选文本.1.例题应用：例 1.已知：如图所示，在ABC中，AB=AC，90BAC，D为AC中点，AFB

21、D于E，交精选文本.BC于F，连接DF.求证：ADB=CDF.思路：方法一:过点C作MCAC交AF的延长线于点M.先证ABDCAM，再证 CDF CMF即可.方法二：过点A作AMBC分别交BD、BC于H、M.先证ABHCAF，再证 CDF ADH即可.方法三：过点A作AMBC分别交BD、BC于H、M.先证 RtAMF RtBMH，得出 精选文本.HFAC.由M、D分别为线段AC、BC的中点，可得MD为ABC的中位线 从而推出MDAB，又由于90BAC，故而MDAC，MDHF，所以MD为 线段HF的中垂线.所以1=2.再由ADB+1=CDF+2，则精选文本.ADB=CDF.例 1 拓展（1）：已

22、知：如图所示，在ABC中，AB=AC，AM=CN，AFBM于E，交 BC于F，连接NF.求证：ADB=CDF.BM=AF+FN 思路：同上题的方法一和方法二一样.拓展（2）：其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，求证：PM=PN,PBPF+AF.思路：同上题的方法一和方法二一样.例 2.如图 2-1，已知ADBC，ABE和CDF 是等腰直角三角形，EAB=CDF=90，AD=2，BC=5，求四边形AEDF的面积.精选文本.图 2-1 解析：如图 2-2，过点E、B分别作ENDA，BMDA交DA延长线于点N、M.过点F、C分别作 FPAD，CQAD交AD及AD延长线于点 P、Q.FPA

23、DENADSSSADFAEDEAFD2121四边形 FPENAD21 ABE和CDF 是等腰直角三角形，EAB=CDF=90，AE=AB，DF=CD.ENDA，BMDA，FPAD，CQAD，NMB=ENA=FPD=DQC=90.ENA=MBA，FDP=QCD.ENAABM，FPDDQC.NE=AM，PF=DQ.NE+PF=DQ+AM=MQ-AD.ADBC，CQBM，BMN=90，四边形BMQC是矩形.BC=MQ AD=2，BC=5 NE+PF=5-2=3 .33221EAFDS四边形 图 2-2 精选文本.2.练习巩固：（1）、如图（1）-1，直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90，l是A

24、D的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB为边做正方形ABFE，EPl于点P.求证：2EP+AD=2CD.精选文本.（1）-1 （1）-2 （2）、如图，在直角梯形ABCD中，ABC=90，ADBC，AB=AC，E 是 AB 的中点，CEBD.求证：BE=AD；求证：AC是线段ED的垂直平分线；BCD是等腰三角形吗？请说明理由.四、手拉手模型 1.ABE和ACF均为等边三角形 精选文本.精选文本.结论：（1）.ABFAEC（2）.BOE=BAE=060（“八字模型证明”）（3）.OA平分EOF 拓展：条件：ABC和CDE均为等边三角形 结论：（1）、AD=BE （2）、ACB=AOB （3）、PC

25、Q为等边三角形 （4）、PQAE（5）、AP=BQ （6）、CO平分AOE（7）、OA=OB+OC （8）、OE=OC+OD （7），（8）需构造等边三角形证明）2.ABD和ACE均为等腰直角三角形 结论：（1）、BE=CD （2）BECD 3.ABEF和ACHD均为正方形 精选文本.结论：（1）、BDCF （2）、BD=CF 变形一：ABEF和ACHD均为正方形，ASBC交FD于T，求证：M为FD的中点.ADFABCSS 方法一：方法二：方法三：精选文本.变形二：ABEF和ACHD均为正方形，T为FD的中点，求证：ASBC 4当以 AB、AC 为边构造正多边形时，总有：1=2=n360180

26、.PFEDIHGBCA 21PGFEDKJIHACB 五、双垂直+角平分线模型精选文本.结论：AE=AF 拓展：若AP平分BAD，其他条件不变，求证：APCF 六、半角模型 条件：.180210且 思路：（1）、延长其中一个补角的线段 （延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF ）精选文本.结论：MN=BM+DN ABCCMN2 AM、AN分别平分BMN和DNM（2）、对称（翻折）思路:分别将ABM和ADN以AM和AN 为对称轴翻折，但一定要证明 M、P、N三点共线.（B+D=0180且AB=AD）例题应用：例 1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上

27、移动，且满 足MN=BM+DN，求证：.MAN=45 .ABCCMN2 .AM、AN分别平分BMN和DNM.精选文本.思路同上略.例 1 拓展：在正方形ABCD中，已知MAN=45，若M、N分别在边CB、DC 的延长线上移动，.试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系.求证：AB=AH.提示如图：例 2.在四边形ABCD中，B+D=180，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD 且 上，满足EF=BE+DF.求证：.21BADEAF 精选文本.提示：练习巩固：如图，在四边形ABCD中，B=D=90，AB=AD，若E、F分别 在边BC、CD 上的点，且.21BADEAF.求证：EF=BE+DF.提示：感谢您的支持与配合，我们会努力把内容做得更好！