高等数学方明亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解.pdf

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1、高等数学方光亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解 高等数学方光明版第九章 曲线积分与曲面积分习题详解 习题 1 计算以下对弧长的曲线积分：（1）I xds，其中L是圆 2 2 中 到 1 1 之间的一段劣弧；x y A(0,1)B(,)1 L 2 2 解:LAB的参数方程为：x cos,y sin()，于是 4 2 I 2(sin)2 cos2 d cos 4 2 (1 1)cosd 2 4 y A C o x B （2）(x y 1)，其中 L 是极点为O(0,0),A(1,0)及B(0,1)所成三角形的界线；L ds 解:L是分段圆滑的闭曲线，如图 92 所示，依照积分的可加性，y 则有

2、B(0,1)L(x y 1)ds o A(1,0)x (x y 1)ds AB (x y 1)ds(xy1)ds，OA BO 由于OA:y 0，0 x 1，于是 ds(dx)2(dy)2dx 12 02dxdx，dx dx 故 1 3，OA(x y 1)ds0(x 0 1)dx 2 而AB:y1x,0 x1，于是 ds(dx)2(dy)2dx 12(1)2dx 2dx dx dx 故 (x y1)ds 1(1 x)1 2dx 22，x AB 0 同理可知BO:x 0（0y 1），sd xd 2(yd 2 2 2，则()yd 01 ydyd yd yd 高等数学方光亮版第九章曲线积分与曲面积分习

3、题详解 1 3 BO(xy 1)ds 00y 1dy 2 综上所述(xy1)ds 3 3 22 22 3 L 2 2 （3）x2 y2ds，其中L为圆周x2 y2 x；L 解直接化为定积分L1的参数方程为 1 1 1（0 2）,x 2 cos,ysin 2 2 且 ds 2 2 1 x()y()d d 2 于是 x2 y2ds 2 cos 1 d 2 0 L 2 2 y L1 1 ox L （4）x2yzds，其中L为折线段ABCD，这里A(0,0,0)，B(0,0,2),C(1,0,2),L D(1,2,3)；解以以下列图，z 2 2 yzds 2 x 2 yzds B(0,0,2)D(1,

4、2,3)xyzds x xyzds CD L AB BC C(1,0,2)线段 AB的参数方程为 x 0,y 0,z 2t(0 t 1)，则 (dx)2(dy)2(dz)2 A(0,0,0)y ds x dt dt dt 02 02 22dt 2dt，故 x2yzds 1 0 0 2t2dt 0 0 AB 线段 BC 的参数方程为x t,y 0,z 2(0 t 1)，则 ds 12 02 02dt dt,故 x2yzds 1 t2 0 2dt 0，BC 0 线段 CD 的参数方程为x1,y2t,z2t(0t1)，则 高等数学方光亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解 ds022212dt5dt，

5、故 x 2 yzds 1 2 1 t)dt 8 0 12t(2t)5dt25t 5，CD 0 3 因此 2 2 2 2 8 Lxyzds AB xyzdsBC xyzdCsD xy5zds 3 （5）x2ds，L为球面x2 y2 z2 1与平面x yz0的交线。L 解先将曲线L用参数方程表示，由于L是球面 z x2y2z21 与经过球心的平面 xyz0 的交线，以以下列图，因此是空间一个半径为 1 的圆周，它在 xOy 平面上的投影为椭圆，o y x 其方程能够从两个曲面方程中消去 z 而获取，即以 z (x y)代入 x2 y2 z2 1 有x2 xyy2 1，将其化为参 2 数方程，令 3

6、 1 2 x y 1 sint，即有 x cost，即 xcost，2 2 3 2 2 y 1 sint 1 cost，代入 x2 y2 z2 1（或 xy z 0 中）2 6 1 sint 1 cost，进而L的参数方程为 得 z 6 2 x 2cost，y 1sint 1cost，z 1sint 1cost(0 t2)3 2 6 2 6 则 ds 2 y(t)2 2 dt x(t)z(t)2 sin2t(cost sint)2(sint cost)2dt dt,3 2 6 6 2 因此 2 2 2 2 2 xds 3 cos tdt L 0 3 2 2 cos2tdt 0 3 2 设一段曲

7、线ylnx(0axb)上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的 平方，求其质量 解依题意曲线的线密度为 x2，故所求质量为 MLx2ds，其中 L:ylnx(0axb)则L的参数方程为 高等数学方光亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解 x x y(0axb)，lnx 故 dy 2 1 1 ds dx 1 2 1 2dx 1 xdx，dx x x 因此 bx2 1x 2 dx 1 x 2)23 b 1 b 2)23(1a 2)23 M (1 a(1 ax 3 3 3 求八分之一球面x2y2z21(x0,y0,z0)的界线曲线的重心，设曲线的密 度1。解 设曲线在 xOy,yOz,zOx 坐标平面

8、内的弧段分别为 L1、L2、L3，曲线的重心坐标为 x,y,z，则曲线的质量为 M ds3 2 3 由对称性可得重心坐标 ds3 L1 L2L3 L1 4 2 1 xds 1 xds xds xds xyz L1 ML L L M L2 L3 2 1 3 1 xds 0 xds 2 xds M L3 M L1 L1 21 xdx 2 4 M01x2 M 3 故所求重心坐标为 4,4,4 3 3 3 习题 1 设L为 xOy面内素来线 y b（b为常数），证明 Q(x,y)dy 0。L 证明：设 L是直线 y b上从点 (a1,b)到点 (a2 ,b)的一段，其参数方程可视为 yy(x)b，（a

9、1 xa2），于是 高等数学方光亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解 a2 Q(x,y)dyQ(x,b)0dx0。La1 2 计算以下对坐标的曲线积分：（1）xydx，其中 L 为抛物线 y 2 x 上从点 A(1,1)到点 B(1,1)L 的一段弧。解将曲线 的方程 2 y 2 y 1 L y x 视为以 为参数的参数方程 x y，其中参数 从 变到 1。因此 1 1 4dy 4。L xydx y2y(y2)dy2y 1 1 5 （2）(x2 y2)dx(x2 y2)dy，其中L是曲线 y 11x 从对应于x 0时的点到 L x 2时的点的一段弧；解 y L1 L2 o 1 2 x L1的方

10、程为yx(0 x1)，则有 (x2 y2)dx(x2 y2)dy 1 2dx 2 2x L1 0 3 L2的方程为 y 2 x(1 x 2)，则 L2(x2 y2)dx(x2 y2)dy 2 2 2 2 2 2 (2 x 1 x x)dx(2x)(1)dx 1 2 2 2 12(2 x)dx 3 因此(x2 y2)dx(x2 y2)dy 4 L 3 （3）ydxxdyL 是从点 A(a,0)沿上半圆周 x 2 y 2 a 2 到点 B(a,0)的一段弧；,L 解 高等数学方光亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解 y A(a,0)o B(a,0)x 利用曲线的参数方程计算 L的参数方程为:x a

11、cos,y asin，在起点 A(a,0)处 参数值取，在终点 B(a,0)处参数值相应取 0，故 从 到 0则 0 d(acos)acosd(asin)=a 2 0 d0 ydxxdyasin cos2 L （4）xy2dy x2ydx，其中L沿右半圆 x2 y2 a2以点 A(0,a)为起点，经过点 C(a,0)L 到终点 B(0,a)的路径；解利用曲线的参数方程计算 L的参数方程为:xacos,y asin，在起点 A(0,a)处 参数值取，在终点 B(0,a)处参数值相应取，则 2 2 Lxy2dyx2ydx 2acos 2 2 (asin)d(asin)(acos)asin d(ac

12、os)2 2a42sin2cos2d a4。2 4 （）3 2 2 ydz，其中 L 为从点A(3,2,1)到点 B(0,0,0)的直线段 AB；5 xdx3zydy x L 解直线AB的方程为 x y z 3 2 1 化成参数方程得 x3t，y 2t，z t，t从1变到0。因此 x3dx 3zy2dyx2ydz 0 3 3t(2t)22(3t)22tdt (3t)2 L 1 0 3 dt 87。87 t 4 1 （6）I (zy)dx(x z)dy(x y)dz，L为椭圆周 x2 y2 1,且从z轴 L x y z2,正方向看去，L取顺时针方向。高等数学方光亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详

13、解 解L的参数方程为 x cost，y sint，z2 cost sint，t从2 变到0，I(zy)dx(x z)dy(x y)dz L 0 2t sin2t 2sint 2cost)dt 2 (3cos。2 3 设z轴与重力的方向一致，求质量为m的质点从位置(x1,y1,z1)沿直线移到 (x2,y2,z2)时重力所作的功。解由于力 F(0,0,mg)因此 z2 Wmgdzmg(z2z1)。z1 习题 1.利用曲线积分求以下平面曲线所围成图形的面积:(1)星形线 x acos3t,(0 t 2)；）y asin3t,解A 1 xdy ydx 1 4 2acos3t3asin2tcost a

14、sin3t3acos2t(sint)dt 2L 2 0 6a 2 4 tsin 2 sin 4 2 6a 2 2 tdt 2 3 2。2cos t tcos tdt 2costsin 8 a 0 0 (2)圆x2 y2 2by，（b 0）；解设圆的参数方程为x bcost,y b bsint,t从0变到2.那么 A 1 xdy ydx 1 2 (b bsint)b(sint)dt 2 2 bcostbcost L 0 b2。1b2 2(1sitnd)t 2 0 （3）双纽线(x2 y2)2 a2(x2 y2)，（b 0）。解把双纽线的参数方程代入到公式 A 1 xdy ydx即可求得所要求的面

15、积a2。2 L 高等数学方光亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解 2 利用格林公式计算以下曲线积分:(1)(y x)dx(3x y)dy，其中L是圆(x 1)2(y 4)2 9，方向是逆时针 L 方向；解设闭曲线L所围成闭地区为D，这里 Pyx，Q 3xy，Q 3，P 1，x y 由格林公式，得 (y x)dx(3x y)dy(3 1)dxdy L D 2 dxdy 18。D (2)ydx(3siny x)dy，其中L是依次连结 A(1,0),B(2,1),C(1,0)三点的折线 L 段，方向是顺时针方向。解 令 P(x,y)y，Q(x,y)3siny x，则 Q P 11 2，且线段 CA:

16、y 0，x y x 由 1 变化到-1，故有 Lydx(3 sinyx)dy y B(2,1)ABCA ydx (3siny x)dy ydx(3siny x)dy CA o C(1,0)x A(1,0)(2)dxdy 1 dx 2 dxdy 2 0 D 1 D 其中D为 ABCA所围成的闭地区 (3)(x sin )(x cos )，其中m为常数，L 为圆 2 2 e y mydx e y mdy x y2ax L 上从点A(a,0)到点O(0,0)的一段有向弧；解如右图所示，设从点O到点A的有向直线段的方程为 OA:y0，x从0变到2a。y 则OA与曲线L组成一闭曲线，设它所围成闭地区为

17、D，令 P x，Q x m，0(0,0)A(2a,0)x esinymy ecosy o Q excosy，P excosy m，x y 由格林公式，得 (exsinymy)dx(excosym)dy mdxdy LOA D 高等数学方光亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解 mdxdy1ma2。D2 而 (exsiny my)dx(excosy m)dy 2a(exsin0m0)(excos0 m)0dx 0 OA 0，故 (exsiny my)dx(excosym)dy L OA(exsiny my)dx(excosy m)dy L (xsin y)(x cos y )OA e mydx e

18、 mdy 1ma2 0 1ma2。2 2 (4)xdy ydx，其中L为椭圆4x2 y2 1，取逆时针方向；L x2 y2 解令 P(x,y)y，x2 x，则当(x,y)(0,0)时，P Q y2 x2，x2 y2 Q(x,y)y2 y x (x2 y2)2 但积分曲线L所围地区包含点(0,0)，P(x,y),Q(x,y)在该点不 y 拥有连续的偏导数，因此不能够直策应用格林公式计算，需要将 奇点(0,0)去掉，为此作半径足够小的圆 C:x2 y2 2，使C c o x 位于L的内部，如图右所示 C的参数方程为 x cos，y sin，0,2 ，C 取逆时针方向于是 xdy ydx xdy y

19、dx xdy ydx，Lx2 y2 LC x2 y2 C x2 y2 其中 C 表示C的负方向由格林公式则有 xdy ydx dxdy 0 LC x 2 y 2 0，D 其中D为L与C所围成的闭地区故 xdy ydx xdy ydx xdy ydx Lx2 y2 C x2 y2 Cx2 y2 2 cos d(sin )sin d(cos)0 2 2 2 sin 2 cos 2 2 d 0 (5)uds，其中u(x,y)x2 y2，L为圆周x2 y2 6x取逆时针方向，u是 L n n u沿L的外法线方导游数。高等数学方光亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解 解由于u ucos(,x)ucos(

20、,y)2xcos 2ycos，其中,是在曲线L上点 n x y (x,y)处的切线的方向角，故 u(2xcos 2ycos)ds依照两类曲线积分之间的 ds L n 联系及格林公式，有 u ds(2ycos 2xcos)ds (2y)dx 2xdy 4dxdy L Ln L D 由于L为圆周 x2 y2 6x，因此L所围成的圆的面积 9，因此 u 4 4 36。dsdxdy L n D 3 证明以下曲线积分在整个xOy面内与路径没关，并计算积分值:(2,1)y)dx(x 2y)dy；(1)(2x (0,0)解令P 2x y，Q x 2y，则 P 1 Q在整个 y y x xOy面内恒建立，因此

21、，曲线积分(2,1)y)dx(x2y)dy B(2,1)(2x (0,0)在整个xOy面内与路径没关。为了计算该曲线积分，取如右图 O A(2,0)x 所示的积分路径，则有 (2,1)(x 2y)dy (2xy)dx (0,0)(2xy)dx(x 2y)dy(2xy)dx(x 2y)dy OA AB 2(2x 0)(x 1(2 2 y)0(2 2y)dy 0 20)0dx 0 4 1 5。(x,y)y2sinx)dx(2ycosx x2siny)dy；(2)(2xcosy (0,0)解令P 2xcosy y2sinx，Q 2ycosx x2siny，则P Q在整个xOy面内恒建立，因 y 2(

22、ysinx xsiny)B(x,y)y x (x,y)y2sinx)dx(2ycosx x2siny)dy在整 此，(2xcosy A(x,0)x(0,0)O 个xOy面内与路径没关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有 高等数学方光亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解 (x,y)y2sinx)dx(2ycosx x2siny)dy (0,0)(2xcosy (2xcosy y2sinx)dx(2ycosx x2siny)dy OA (2xcosy y2sinx)dx(2ycosx x2siny)dy AB x 02sinx)(20cosx x2sin0)0dx (2xcos0 0

23、 y y2sinx)0(2ycosx x2siny)dy (2xcosy 0 x y 2siny)dy 2xdx (2ycosxx 0 0 x2(y2cosx x2cosy x2)x2cosy y2cosx。（3）(1,2)(x)dx (y)dy，其中 (x)和(y)为连续函数。(2,1)解令P (x)，Q (y)，则 P 0 Q在整个xOy面内恒建立，因此，曲线 y x (1,2)(x)dx(y)dy在整个xOy面内与路径没关。为了计算该曲线积分，取如右图 积分(2,1)所示的积分路径，则有 yC(1,2)(1,2)(x)dx (y)dy (2,1)()dx()dy()()dy B(1,1)

24、A(2,1)AB x y xdx y BC 1 2(y)dy。O x(x)dx 1 2 4 考证以下P(x,y)dx Q(x,y)dy在整个xOy面内为某一函数 u(x,y)的全微分，并求 出这样的一个u(x,y)：（1）(2x siny)dx xcosydy；y B(x,y)解令P 2x siny，Q xcosy Q cosy，P cosy x y 原式在全平面上为某一函数的全微分，取 O A(x,0)x (x0,y0)(0,0)，u(x,y)(x,y)Pdx x y xsiny (0,0)Qdy=2xdx xcosydy=x2 0 0 高等数学方光亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解 （2

25、）(x2 2xy y2)dx(x2 2xy y2)dy；解由于Px2 2xy y2，Q x2 2xy y2，因此 Q 2x 2y P在整个 x y xOy面内恒建立，因此，：在整个xOy面内，(x2 2xyy2)dx(x2 2xy y2)dy是某 一函数u(x,y)的全微分，即有 (x2 2xyy2)dx(x2 2xyy2)dydu。于是就有 u x2 2xy y2 （4）x u x2 2xy y2 （5）y 由（4）式得 u(x,y)(x2 2xy y2)dx 1x3 x2yxy2(y)（6）将（6）式代入（5）式，得 3 x2 2xy (y)x2 2xy y2 （7）比较（7）式两边，得

26、(y)y2 于是 (y)1y3C（其中C是任意常数）代入（6）式便得所求的函数为 3 u(x,y)1x3 x2yxy2 1y3 C。3 3 （3）ex(1 siny)dx (ex 2siny)cosydy。解 令 P(x,y)ex(1 siny)，Q(x,y)(ex 2siny)cosy，则在全平面上有 Q P x x y ecosy，知足全微分存在定理的条件，故在全平面上，ex(1siny)dx(ex 2siny)cosydy 是全微分 下面用三种方法来求原函数：高等数学方光亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解 解法1 运用曲线积分公式，为了计算简单，如图 910 y M(x,y)所示，可取

27、定点 O(0,0)，动点 A(x,0)与 M(x,y)，于是原函数 为 u(x,y)(x,y)(ex 2siny)cosydy ex(1siny)dx A(x,0)x (0,0)取路径:OA AM，得 xx y x x x 2 u(x,y)0e(1 0)dx0(e 2siny)cosydy e1e siny sin y 解法 2 从定义出发，设原函数为 u(x,y)，则有 u P(x,y)ex(1 siny)，两边对 x 积 x 分（y此时看作参数），得 u(x,y)ex(1siny)g(y)（*）u 待定函数 g(y)作为对 x 积分时的任意常数，上式两边对y求偏导，又 Q(x,y)，于是

28、y excosyg(y)(ex2siny)cosy，即 g(y)2sinycosy，进而 g(y)sin2yC（C为任意常数），代入（*）式，得原 函数 u(x,y)exexsinysin2yC 5 可微函数f(x,y)应知足什么条件时，曲线积分 f(x,y)(ydxxdy)L 与路径没关？解令P yf(x,y)，Q xf(x,y)，则 P f(x,y)yfy(x,y)，Q f(x,y)xfx(x,y)。y x 当P Q，即 f(,y)yfy(,)f(x,y)xfx(x,y)或yfy(x,y)xfx(x,y)在整个 y x x xy xOy面内恒成马上，曲线积分 f(x,y)(ydx xdy)

29、在整个xOy面内与路径没关。L 高等数学方光亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解 习题 1 当为xOy面内的一个闭地区时,曲面积分 f(x,y,z)dS与二重积分有什么关系?答当 为xOy面内的一个闭地区 D时，在xOy面上的投影就是 D，于是有 f(x,y,z)dS f(x,y,0)dxdy。D 2 计算曲面积分 (x2 y2)dS，其中 是 （1）锥面z x2 y2 及平面z 1所围成的地区的整个界线曲面；解锥面z x2 y2与平面z1的交线为x2 y2 1，即锥面在xOy面上的投影区 域为圆域Dxy(x,y)x2 y2 1。而 z x，z y，x x2 y2 y x2 y2 z 2 2

30、x2 y2 1 z 1 2，x y x2 y2 x2 y2 因此 (x2 y2)dS 2(x2 y2)dxdy 1(x2 y2)dxdy Dxy Dxy (2 1)(x2 y2)dxdy(2 2 1 1)d r2rdr 0 0 Dxy 1 2 1)。(2 （2）yOz面上的直线段 z y(0 z1)绕 z 轴旋转一周所获取的旋转曲面。x 0 解 旋转曲面为z x2 y2(0 z 1)，故 dS z2 z2 1 x 2(y 2，1()()dxdy ()dxdy2dxdy x y x2 y2 x 2 y2 因此 2 2 2 2(x y)dS 2(x y)dxdy，Dxy 其中Dxy(x,y)|x2

31、y21是在 xOy 坐标面上的投影地区，利用极坐标计算此二重积分，高等数学方光亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解 于是 (x 2 y 2)dS 2 1 2 rdr 2。2d r 2 0 0 3 计算以下曲面积分:(1)dS，其中 是抛物面在xOy面上方的部分：z 2(x2 y2),z 0；解 抛物面 z 2(x2 y2)在xOy面上方的部分 在 xOy 面上的投 影 Dxy为圆域 x2 y2 2,z 2x,z 2y,故 x y dS 1(2x)2(2y)2dxdy 1 4(x2 y2)dxdy Dxy Dxy 2 2 14r rdr 13.0 2 3 (2)(x y z)dS，其中 是上半球

32、面x2 y2 z2 a2,z 0；解上半球面z a2 x2 y2在 xOy 面上的投影 Dxy为圆域 x2 y2 a2,z x ,z y ,x a2 x2 y a2 x2 y2 y2 dS 1(z)2(z)2dxdy x y 2 2 1 x y dxdy a ,故 2 x 2 y 2 2 2 2 2 2 2 a a x y a x y (x y z)dS x y a2 x2 y2 a2 a dxdy Dxy x2 y2 2 a rcos rsin 1 r2 a rdr.d 0 0 1 r2 2 a r2(cos sin)r dr a d 1 r2 0 0 2 sin)d a r2 dr 2 a

33、 a(cos r2 a d rdr 0 0 1 0 0 0 a3 a3.高等数学方光亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解 （3）(x 3y z)dS，其中 为平面x y z 1 在第一卦限的部分；2 2 2 3 4 解 将曲面的方程改写为:z 4(1 x y)，则 z 2 3 z 2,z 4，进而 o Dxy x y 3 y x dS 1(z)2(z)2dxdy 61 dxdy，x y 3 图 912 在 xOy 上的投影地区为 Dxy(x,y)|0 x 2,0 y 3 3 故 x,2 I (x 3y z 3 2(1 x y 61 )dS x y )dxdy 2 2 Dxy 2 2 3 3 6

34、1 2 3 3x 5y)dy 761 2 3 0 0 6 6 （4）x 2 1 2 dS，其中 是柱面x2 y2 R2被平面z 0z H所截得的部分.y 解 将曲面 分成丙个曲面:1:x R2 y2 和 2:x R2 y2，1 2在 yOz 面上的投影地区都为 Dyz(y,z)R y R,0 z H,先算 1 dS.由于 x2 y2 1 x y,x 0，y R2 y2 z 进而 dS 1(x)2(x)2dydz1(R2 y)2 02dydz y z y2 R dydz，R2 y2 1 dS 1 R dydz 1 R 1 dy H dz H 1x2 y2 Dyz R2 R2 y2 R R R2

35、y2 0 R.同理可求得 1 dS H x2 y2 R.2 因此 高等数学方光亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解 1 2dS 1 2dS 1 2dS 2H x 2 y x 2 y x 2 y.1 R 2 4 求抛物面壳解在抛物面壳 z 1(x2 y2)（0 z 1）的质量，此壳的密度为 z。2 z 1(x2 y2)（0 z 1）上取一小块渺小曲面 dS,其质量dmzdS 2 整 个 抛物面壳的 质量为 m zdS.在xOy 面上的投影 Dxy 为圆域 x2 y2 2,z x,z y,故 x y m zdS 1(x2 y2)1(x2 y2)dxdy Dxy 2 1 2 2 2 3 2 20d

36、0 1r r dr 15(631).习题 1 当为xOy面内的一个闭地区时,曲面积分R(x,y,z)dxdy与二重积分有什么关系?答当为xOy面内的一个闭地区时,的方程为z0。若在xOy面上的投影地区 为 Dxy，那么 R(x,y,z)dxdy R(x,y,0)dxdy，Dxy 当取上侧时，上式右端取正号;当取下侧时，上式右端取负号。2 计算以下对坐标的曲面积分 :(1)(xy)dydz(yz)dzdx(z x)dxdy，其中 是以坐标原点为中心，边长为 2 的 立方体整个表面的外侧；解把 分成下面六个部分:1:z 1(1 x 1,1y 1)的上侧；2:z 1(x 1,0 1y 1)的下侧；3

37、:x1(1y1,1z1)的前侧；高等数学方光亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解 4:x 1(1y 1,1z 1)的后侧；5:y 1(1x 1,1z 的1右)侧；6:y 1(1x 1,1z 1)的左侧.由于除34处,其余四片曲面在 yOz 面上的投影都为零,故有 (xy)dydz(x y)dydz(xy)dydz 3 4 (1+y)dydz(-1+y)dydz Dyz Dyz 4(4)8；同理可得 (yz)dzdx8；(zx)dxdy8.于是所求的曲面积分为 (xy)dydz(yz)dzdx(zx)dxdy24.（2）(z2 x)dydz zdxdy，其中 为旋转抛物面 z 1(x 2 y 2

38、)介于 z 0,z 2 之间部 2 分的下侧。解由两类曲面积分之间的联系，可得 (z2 x)dydz (z2 x)cos dS (z2 x)cos dxdy，cos 在曲面 上，有 cos x ,cos 1 。1 x2 y2 1 x2 y2 故 (z2 x)dydz zdxdy (z2 x)(x)zdxdy。再依对坐标的曲面积分的计算方法，得 (z2 x)dydz zdxdy 1 x2 y2 2 1 x2 y2 dxdy。x(x)Dxy 4 2 注意到 1 x 2 y 2 2 dxdy 0，x Dxy 4 故 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 。x)dydz zdxdy x x y

39、dxdy d cos d(z 2 2 8 Dxy 0 0 高等数学方光亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解 （3）xdydzydxdzzdxdy，其中为x2y2z2a2，z0的上侧；解 在 yOz 面上的投影为半圆域 y2 z2 a2，z 0，x a2 y2 z2 xdydz=a2 y2 z2dydz(Dyz a2 x2 y2dydz)Dyz =2 a2 y2 z2dydz=2 d a 2 r2rdr 2 a3 Dyz a 0 0 3 2 2 由对称性ydxdz=a3，zdxdy=a3 3 3 原式=2 a33=2a3 3 （4）xydydzyzdxdzzxdxdy，其中是由平面x0，y0，z

40、0，x yz1所围成的周围体的表面的外侧。解如右图所示，由于闭曲面取外侧，因此 1取下侧，2取后侧，3取左侧，4取上 侧。于是 xydydzyzdxdzzxdxdy xydydzyzdxdzzxdxdy z 4 1 xydydz yzdxdz zxdxdy 3 2 o y 2 x 1 xydydz yzdxdz zxdxdy 3 xydydz yzdxdz zxdxdy 4 0dxdy 0dydz 0dzdx Dxy Dyz Dzx x(1x y)dxdy y(1z y)dydz z(1 xz)dzdx Dxy Dyz Dzx 由于 Dxy，Dyz和 Dzx都是直角边为 1 的等腰直角三角形地

41、区，故 xydydzyzdxdz zxdxdy 3x(1 xy)dxdy 1 1 x 1。30 xdx0(1x y)dy Dxy 8 3 把对坐标的曲面积分 P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy 化成对面积的曲面积分，这里为平面3x2y23z6在第一卦限的部分的上侧。高等数学方光亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解 解平面 的上侧的法向量为(3,2,2 3)，其方向余弦是 cos 3 2 2 ,cos,cos 3,5 5 5 于是 P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy P(x,y,z)cos Q(x,y,z)cos R(x

42、,y,z)cosdS 3 P(x,y,z)2Q(x,y,z)23R(x,y,z)dS 5 5 5 习题 1 利用高斯公式计算以下曲面积分：（1）(xy)dxdyx(y z)dydz，其中 为柱面x2 y2 1及平面 围成的空间闭地区 的整个界线曲面的外侧。（高等数学 P170 例 1）解这里 P x(y z)，Q 0，R xy，由高斯公式得 (xy)dxdy x(yz)dydz P Q R (y)dxdydz x z (y 2 1 3 9。z)dxdydz drdr(rsin z)dz 0 0 0 2 （2）(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy，其中为曲面z z 0zh(h0)所围

43、成的空间地区的整个界线的外侧。解这里 P yz，Qzx，Rx y，用高斯公式来计 z 算，得 (y z)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy Pdydz QdzdxRdxdy (P Q R)dv(000)dv0，x x y z 其中 是曲面z x2 y2 及平面 z h(h 0)所围成的空间闭地区 z0及z3所 x2y2及平面 zh oy 高等数学方光亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解 （3）(x2cosy2cosz2cos)dS，其中为锥面x2y2z2介于平面 z0z h(h 0)之间的部分的下侧，cos cos cos 是 在点(x,y,z)处的法 向量的方向余弦。解这里 P x 2

44、，Qy2，R z2，由高斯公式得 (x2cos y2cos z2cos)dS(P Q R)dxdydz x y z 2(xy z)dxdydz 2 d h h rsin z)dz h 3。2 rdr(rcos 0 0 0 2 利用高斯公式计算三重积分 (xyyzzx)dxdydz，其中是由x0，y0，0z1及x2y21所 z 确定的空间闭地区。解以以下列图所示，的界线由闭曲面 2 12345 所围成，取的外侧。令 PQRxyz,那么由高斯公式得 43 5 O (xyyzzx)dxdydz y 1 xyzdydz xyzdzdxxyzdxdy。x xyzdydzxyzdydzxyzdydzxyz

45、dydzxyzdydzxyzdydz 12345 在 yOz 面上，只有3和5的投影面积不为零，其余都为零。故 xyzdydz xyzdydz xyzdydz0，1 2 4 而 xyzdydz 0yzdydz 0，3 Dyz xyzdydz 1y2 1 1y2 1 1，yzdydz yzdz Dyz 0 0 6 5 故 xyzdydz1。6 高等数学方光亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解 同理可得 xyzdzdx 1，xyzdxdy 1。6 3 因此 (xy yzzx)dxdydz 1 1 1 11。6 6 3 24 3 利用斯托克斯公式计算以下曲线积分：（1）(y2 z2)dx(z2 x2

46、)dy(x2 y2)dz，其中L为平面xy z1与三个 L 坐标面的交线，其正向为逆时针方向，与平面x yz1上侧的法向量之间符合右手规则；解由斯托克斯公式得 2 2 2 2 2 2 L(y z)dx(z x)dy(x)ydz (2y 2z)dydz(2z 2x)dzdx(2x 2y)dxdy 其中 是平面 xy z1(x 0,y 0,z 0)，取上侧。由曲面积分的计算法，得 (2y 2z)dydz(2y 2z)dydz 1 1 y 2z)dz 0，0 dy(2y Dyz 0 (2z 2x)dzdx(2z 2x)dzdx 1 1 z 2x)dx 0，dz(2z Dzx 0 0 (2x 2y)d

47、xdy(2x 2y)dxdy 1 1 x 2y)dy 0，0 dx(2x 0 Dxy 故 (y2z2)dx(z2x2)dy(x2y2)dz0。L （2）()dx(x)(y)dz，其中 L 为以点A(a,0,0)B(0,a,0)L zy zdy x C(0,0,a)为极点的三角形沿 ABCA的方向。解由斯托克斯公式得 L(z y)dx(x)zdy(y)xdz 2dydz 2dzdx 2dxdy 其中 是平面 x y za (x 0,y 0,z 0)，取上侧。由曲面积分的计算法，得 2dydz 2dydz2 1 a2 a2，Dyz 2 高等数学方光亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解 2dzdx

48、2dzdx 2 1 a2 a2，Dzx 2 2dxdy 2dxdy 2 1 a2 a2，Dxy 2 故 L(y 2 z 2 2 2 2 x 2。a )dx(z x)dy()ydz3 习题 1 若球面上每一点的密度等于该点到球的某必然直径的距离的平方，求球面的质量。）解法 1 设球面方程为 x2 y2 z2 a2，定直径选在z轴，依题意，球面上点 P(x,y,z)的密度为(x,y,z)x2 y2，进而球面的质量为 M (x2 y2)dS由对称性可知 M (x2 y2)dS2(x2 y2)dS，1 其中 1为上半球面z a2 x2 y2，z a2 x ，z a2 y，故 x x2 y2 y x2

49、y2 dS 1(x )2(y)2 dxdy a dxdy，a2 x2 a2 x2 a2 x2 y2 y2 y2 其中Dxy(x,y)|x2 y2 a2是 1在 xOy 坐标面上的投影地区，利用极坐标计算此二重积 分，于是得 M(x2 y2)dS 2a 2 d a r 2 rdr =4a r 3 dr，a 0 0 a2 r2 0 a2 r2 a r3 dr 是一个无界函数的失态积分，按失态积分的计算方法可得 a2 0 r2 a r 3 dr 2a 3 ，0 a2 r2 3 故 a 3 4 r dr 8a。M4a r2 0 a2 3 高等数学方光亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解 解法 2 设球

50、面方程为 x2 y2 z2 a2，定直径在 z轴上，依题意得球面上点 P(x,y,z)的密度为(x,y,z)x2 y2，进而得球面的质量为 M(x2 y2)dS，由轮换对称性可知：x2dS y2dS z2dS，故有 M 2(x2 y2 z2)dS 2a2 dS 2a24a2 8a4 3 3 3 3 2 设某流体的流速为(yz,zx,xy)，求单位时间内从圆柱：x 2 y 2 2 h）a（0z 的内部流向外侧的流量（通量）。解通量 yzdydzzxdzdxxydxdy0dxdydz0。3 求向量场(x2 yz,y2 zx,z2 xy)的散度。解这里 Px2 yz,Q y2 zx,R z2 xy，