对称性在积分计算中的应用.pdf

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1、倉名曇淀战人曇历教有 毕业论文（设计）题 目：对称性在积分计算中的应用 学生姓名：王秋颖 层次:专升本 所学专业：数学与应用数学 班级：函数本074 指导老师：吴洽洲 职称：讲师 2009年8月20日 指 导 教 师 评 语 评定等级：签 名：年 月 日 评 阅 教 师 评 语 评定等级：签 名：年 月 日 答 辩 小 组 意 见 评定等级：_ 组长签名：年 月 日 答 辩 委 员 会 综 合 评 价 评定等级:答辩委员会主任签名：年 月 日 茂名学院成人学历教育 毕业论文任务书 发给学员 王秋颖 1、毕业论文题目：对称性在积分中的应用 _ 2、学员完成论文时间：2009 年 8 月 20 日

2、 3、毕业论文课题要求：（1）论文题目可以根据所研究的内容确定;_ （2）内容要求：在写论文过程中，应使自己具有综合运用知识的能力，调查研究，收 集资料，使用技术资料的能力。在参考资料的同时应在论文上体现自己的创新思维和独 特见解。就本题而言，先构思一个大体的框架，对不够清楚的知识点和运用，应积极查 找资料和询问指导老师，做到对论文涉及的所有内容熟识掌握，透彻理解；同时应体现 专业特色有一定的学术价值或实用价值。（3）思路要清晰，论证要有据，条理要清楚，层次要分明;（4）按学院的统一部署和安排的时间完成;（5）关键词不宜过多，一般三五个词或短语，把论文的精髓概括出来。格式规范，要 求交打印稿，

3、格式按学院的统一要求，字数不少于八千字。4、实验（上机、调研）部分要求内容：文中所叙事例可以是同行的研究成果,更好是自己的实践经验或研究成果。5、文献查阅要求：引用别人的观点要标注，参考文献的顺序应与文章引用一一对应;参考文献应该是与论题密切关系的理论著作、时间上应尽量引用近5年内的，数量不得 少于5篇。6、发出日期：2009 年 7 月 5日 7、学员完成日期：2009 _ 年_月 20日 系（教研室）意见：_ 签名：_ 指导教师签名：学生签名：原创承诺书 我承诺所呈交的毕业论文（设计）对称性在积分计算中的应用 是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注

4、和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。若本论文（设计）及资料与以上承 诺内容不符，本人愿意承担一切责任。毕业论文（设计）作者签名：_ 日期：2009年8月20日本文给出定积分计算中的对称性定理及推论，并结合具体例子说明利用对称性可简化 大量积分计算。积分区域的对称性和被积函数的奇偶性不仅体现了数学美，而且可以使积 分的计算变得简单乂方便。本文通过对积分区域的对称性和被积函数的奇偶性的讨论，从 积分区域关于坐标平面、坐标轴和坐标原点对称出发，建立了简化各类积分计算的常见公 式，并用例子展示了公式的有效性。关键词：定积分对称性奇函数 偶函数摘要.VI 1、.弓I言 1 2

5、、.对称性在定积分中的应用 2 2.1.积分区域关于原点对称,被积函数为奇（偶）函数的情形.2 2.2.积分区域关于原点对称，而被积函数是非奇非偶函数的情形.3 23积分区域关于原点不对称，但被积函数是奇（偶）函数的情形.4 2.4积分区域关于原点不对称，且被积函数是非奇非偶的悄形.5 3、.对称性在二重定积分计算中的应用 7 4、对称性在三重定积分计算中的应用 9 41积分区域关于某个空间坐标面对称，被积函数是奇（偶）函数的情形 .9 4.2积分区域关于其中两个空间坐标面对称，被积函数是奇（偶）函数的情.10 5、.结束语 12 6、.参考文献 13对称性在积分计算中的应用 1 V引言 利用

6、对称性可以方便地讣算一些积分。有关利用对称性计算积分的研究已经有有了不 少的结果。文献1,2,4,11,13,17,18,23,25中研究了对称性在定积分中的应 用，主要介绍了以下四种情况:积分区域关于原点对称，被积函数为奇（偶）函数的情形;积分区域关于原点对称，而被积函数是非奇非偶函数的悄形；积分区域关于原点不对 称但被积函数是奇（偶）函数的情形；积分区域关于原点不对称且被积函数是非奇非偶 的情形。文献6,11,12,21中主要介绍对称性在二重积分计算中的应用，分成这五种悄 况：积分区域关于X轴对称，被积函数有奇偶性；积分区域关于y轴对称，被积函数 有奇偶性；积分区域关于原点对称，被积函数有

7、奇偶性；积分区域关于*轴和y轴都 对称，被积函数有奇偶性积分区域关于y=x对称，被积函数有奇偶性这五种情况。在文献6,8,11,12,27,28介绍了如何利用对称性和奇偶性来计算三重积 分，主要介绍三重积分的积分区域分别关于xoy面，yoz面或者mz面对称三种情况时的 积分计算。本文总结近10年来有关用对称性来计算积分的结果，并作了进一步的推广，讨论了 用对称性来计算积分，以达到简化积分讣算、提高解题速度，进而丰富利用对称性解定积 分的这一理论.在本文中主要对前人利用对称性和奇偶性在各种积分中的应用的一个概括 主要分为三大部分，第一部分：对称性在定积分计算中的应用；第二部分：对称性在二重 积分

8、计算中的应用；第三部分：对称性在三重积分计算中的应用，并且推广到空间积分区 域关于两个坐标面对称的如何计算，给出其定理，并证明之。2、对称性在定积分中的应用 2丄积分区域关于原点对称,被积函数为奇(偶)函数的情形 a a 定理1若/(x)在-/R 可积，且/(对为偶函数时，则J f(x)dx=2fMdx;-a 0 a 若/(x)在-a,a可积,且/(x)为奇函数时，则j*f(x)dx=0.+cos2 x)sin2 xclx.例1计算Jf 分析:由于 Z 心是-个奇函数，C。吐是-个偶函数，并且积分区域于評 于原点对称,因此可用定理1来计算。解山定理1得 原式=JX sin2 AYZV+JJCO

9、S2 XSUI2 xdx=0+PT(1-sin2 x)sin2 xdx 8 例2 计算 JX A/COSX cos3 xdx.分析：由于畅E7是-个偶函数,并且积分区域子冷关于原点对称,因此可 cosx cos xdx.x _ =22 sinxy/cosxdx Jo K 丄 JQ2 COS2 COSX cosLlf 3 22积分区域关于原点对称，而被积函数是非奇非偶函数的情形 当积分区域对称，而被积函数是非奇偶函数时，有时可以通过适当的换元或拆项方法 化为被积函数为奇函数或偶函数定积分，再利用定理1进行计算。定理2冏 设函数/在区间-R 上可积，则有f(x)dx=/(x)+f(-x)dx 例3

10、 计算 jj;7(cos x+sin xdx V 分析：由于(cosx+sinx)2既不是奇函数也不是偶函数，而积分区域兀，是关于原点 2 2 对称，因此可以先将(cosx+sin x)2 化为 cos x+sin2 x+2cosxsinx,则 cos2 x,sin2 x 为偶函 数，2cosxsinx为奇函数，再根据定理1解题。解：原式=jX(cos，x+sirT x+2cosxsin%X/x=JX(1+2cosxsin x)dx=j7 dx+卜 cosxsin xdx=”+0=兀 例4计算 J+e 分析:在此题中积分区域是关于原点对称的，但被积函数是一个非奇非偶函数，此时可通 用定理1来计

11、算。解山定理1得=2J：Jcosx(l cos2 x)clx 过构造法来化该函数为一个奇函数与偶函数的和。1 )COS2 AzZv+JXcos2 xdx 2 T 由于上式中COS2 X是偶函数，易知(匕匚)COS?X为奇函数,1+0 因此 匡(-)cos2 xclx+H.CQS xdx 2吟1+严 2 J亍 N=0+-R-COS xclx（兀+2）23.积分区域关于原点不对称，但被积函数是奇（偶）函数的情形 对于积分区域不对称但被积函数是奇偶函数的这类定积分，可以首先用代换法将积分 区域变换成对称的，再对被积函数作相应的变换，再利用数学中的一个重要结论：“任一函 数可表示成一个奇函数与一个偶函

12、数之和将被积函数变成奇函数与偶函数的和”，最后利 用定理1问题即可迎刃而解。例5计算I二in:厶 J）1+cos X 分析：被积函数/（A）=r vsiny dx,积分下限为o,积分上限为兀，不对称，但被积函数 Jo 1+COS，X 为偶函数，因此首先想办法将其儿分区域变成对称的，再对其被积函数表示成奇偶函数的和的 形式最后利用定理一解决问题。解)cos2 xclx!T(+/)COSf/=F _ 埠 l+sin2r 7t(4 cost f(4 tcost f 靑话g五?7 7 7T T 2.4.积分区域关于原点不对称，且被积函数是非奇非偶的情形 定积分积分区域不对称且被积函数是非奇非偶时，可通

13、过对积分区域变换与函数的构造。定理沪)设函数y=f(x)的定义域是D,则尸/(x)的函数关于点A(h,O)成中心对称 的充分且必要条件是：对任意的xeD,都有2/z-xeD,且/(x)=-/(2力-x).定理羊231设函数/在区间h-h+a(a 0)可积，且有/(x)=-/(2/7-x),则有匸丁厶=0 例6计算积分厲幵治血 分析：被积函数6少，积分下限为1，积分上限为5。设力-G=1M+G=5,e+e 从而 2h=(/?-a)+(h 4-a)=6,即 h=3,则 f(2h-x)=f(6-x)6-x _ 6-x _ 6 e+e e+e e+e 所以/(x)H-/(2“-x)也就是说，曲线y=/

14、(x)不关于点(3,0)成中心对称但注意f(x)和/(2/7-A)的分母都是，即二者的分母相同.由此试想能否根据函数fX)构造个函数 g(x),使g(x)的图像关于点(3,0)成中心对称呢?事实上利用/(X)在x=h=3处连续可知，要使 曲线y=g(x)关于点(3,0)对称，则函数g(x)满足：g(h)=-g(h),即g=-g(3)那么g(3)=0.所以令g(x)=_l二二即可。e+e 解 构造函数 g(x)=，设 h a=Ji+a=5.e+edt 原式=(+J/则 2h=(h+a)+(/?a)=6,h=3.所以(2_x)=g(6_x)=Ifu e+e 则函数g(x)的图像在1,5上关于点(3

15、,0)成中心对称据定理2,有:g(x“x=f=0所以 0).分析:在计算这个积分时，由于被积函数中含有根号，所以绝大多数同学都会用三角代换 x=a+ashU来去掉根号这种常规的计算方法，因为我们对这种方法最熟悉，它也最直观.但 这种方法的计算量大，因此我们常常不能把它的正确结果计算出来在这里我们可以利用定积 分的对称性和儿何意义来简化计算。解利用对称性 令r=x-a1 宀严 dx=0+3f,(x_3)+3 x-3 dx+3 lx =tla2-t2dt+ala2-t2dt J-a J-n _ a7t 2 对称性不仅在一重定积分适用，在多重定积分中也是适用的。3、对称性在二重定积分计算中的应用 定

16、理5即 设/(_“)在有界闭区域D上连续,(1)若D关于y轴对称，则 0,当/(X,y)=-f(x,刃时”J(X,y)dxdy=2”/(0).(2)若D关于；i轴对称，则 0,当几一俎刃=一/(兀)时 Jj*i(x，yYixdy=0.(3)若D关于原点对称，则 JjV(x,y)dxdy=0).(4)若D关于x轴，y轴均对称，对于任意(x,y)eZ),且/(x,y)关于变量x和y均为偶函数,则 JJ/Uo*Wy=4 D Dj o,】#(一兀一刃=一/(九y)时=2“(a2 arc sin 其中 9 是D 在第一象限的部分：D=(x,y)l(x,y)eD,x0,y0.(5)若D关于x=y对称，则

17、Jj/(兀 y)dxdy=x)dxdy.D D 例 8 计算 JJ(x2-2sin3x+3yW其中 D.x2+y2 a2 D 分析：山于D关于X轴，y轴都对称，且，是关于偶函数x,2sii?x是关于x的奇函数,3，是关于y的奇函数，山定理5得。解 JJ(-2 sin U+3ylxdy=0,D JJ x2dxdy=j d0 r3 D 0 0 4 2/T=j(1+cos 20)&*o an 所以 JJ(/一 2sin x+3ydxdy=D 例 9 计算 Jj(x2 一 2x+3y+2W)其中 D:x2+y2 a2 D 分析:积分区域是圆域x2+y2 Z)=一/(也”Z)时 jpF(x,y,zMb=

18、z)时；2）空间区域=+&且二与工2关于平面s对称，三元函数Fg”z）关于y具有 奇偶性时，则 0,当/(&-”z)=-/(兀”乙)时 JJJ F(x,zk/b=|2|jj F(x,y,z)6 当(/(x,-y,z)=/(x,y,z)时.例 10 计算 JJJXy+b+zMMydz,其中 s：x2+y2+2 0.分析：由于工关于wz坐标面，“Z坐标面对称，且x)关于x为偶函数，关于y为奇 函数，b 关于，为奇函数，由定理6得 解 JU(y+zMdydz =4d0 d(p r cos(psin(pdr 下面将以上结论推广 4.2积分区域关于其中两个空间坐标面对称，被积函数是奇(偶)函数的情形 推

19、论1：空间区域E=E,+E2+E3且L与2关于平面my对称，二与乙关于平面mz 对称，三元函数F(x,y,z)关于z和y都具有奇偶性时有 若 F(x,”一 Z)=F(x,y,z),且 F(x-y,z)=F(x,y,Z)则 fJJ 尺如”zMs=4jJJ F(x,y,z)ds 若 F(x,y-z)=-F(x,y,z),且 F(x-y,z)=F(x,y,z)或者若F(x,y,-z)=F(x,y,z),且 F(x-y,z)=-F(x,y,z)则 JIJ 尸(血 y,zM=2 JJJ F(x,y,z)ds 若 F(x,”一乙)=-F(圮 y,z),且F(x-y,z)=一F(x,y9z)证明：由于工i与

20、2关于平面my对称，设其中工i：z=z(x，y)no，2：?=-z(x)设工“X2在xoy面上的投影为z(x,刃与z=-z(x,y)是Q上的单值函数，由于洛与二关于平 面xoz对称，同理设5：y=y(x,z)X0,2：y=-心,2)设爲，工2在尤血面上的投影为 Dm,y=y(x,z)与y=-y(x,z)是几上的单值函数.则 A x,”zyls=JJJ F(x,y,zls+JJj F(x、y,z)ds+JJJ F(x,y,zls z 厶 乙 厶 若 F(x,y-z)=F(x,y,z),且 F(x-y,z)=F(x,y,z)则 JJJ F(x,y,Z)ds=4|JJ F(x,y,込)ds Z E

21、若 F(x,y-z.)=-F(x,y,z),且 F(x-y,z)=F(x9y,z)或者若F(x,y,-z)=F(x,y,z),且 F(x-y,z)=一 F(x,y,z)则 JJJ 尺匕”zls=2jJJ F(x,y,z/s Z Z.若 F(x,y-z)=-F(x.y,z),且 F(x-y,z)=一 F(x,y,z)则JJJ尸(如”zls=0 z 例11求山曲而(P+y2+z)2=a七(a 0)所|曲成的立体的体积.分析:设所围立体的体积为V，即V=JJJjv,E：U2+b+?)2=(出0)所围成.”J F(x,y,z(x,yRp+l+ll屮/砂+=”JF(x,y,Z(X,y)+F(x,y,-z

22、,(x,y)Jl+吟F+吟认心 若要画出2的图像来确定积分限是很困难的，因此先讨论工的对称性，因此(x,y,z)e工 时，都冇(x,-y,z),(-故工关于xoz,yoz坐标面对称，乂因为(x2+r+z2)20,z0,所以只需求第一卦限的体积再四倍即可.解由球面坐标知 同理空间区域=&+&且石与乙关于平面Z对称,石与為关于平面yo攣 称，三元函数F(x,y,z)关于z和y都具有奇偶性时也有类似的结论成立，也有类似的结果.5、结束语 积分的运算要求技巧性比较强,有一些积分不是很容易计算利用对称性能够比较方便地 解决一些积分计算问题，因此我们应当熟知各种积分如何利用对称性来简化讣算，以达到事半 功

23、倍的效果.0 0 0 sin(pclr=7tn 3 参考文献 1 孟赵玲.利用对称性进行积分计算的问题J.北京印刷学院学报,1997,5(2):72-80;2 方文波巧用对称性优化积分计算J.高等函授学报(自然科学版),1999,4：15-16;3 张庶萍.利用对称性简化曲面积分的汁算J.张家口职业技术学院学报,2001,14(1):48-52;李久平.广义对称性在积分计算中的应用J.工科数学,2001,17(3):97-100;李军英第二型曲线曲而纠纷的对称性讨论数学理论与应用,2001,21(4):17-19;6 曲春平.利用积分区域的对称性求重积分值.辽宁省交通髙等专科学校学报,2001

24、,3(4):5-7;7 周海清.对称性在曲面积分计算中的应用J.青海大学学报(自然科学版),2002,20(6):55-57;8 倪传京.利用函数的奇、偶性与积分区域的对称性求三重积分的值J.淮南职业技术学院学 报,2002,2(3):81-85;9 沈传锦.谈对称性、奇偶性在积分计算中的应用J.闽西职业大学学报,2002,2(3):42-43;10 张云艳.轮换对称性在积分计算中的应用.毕节师范高等专科学校学报,2002,20(3):90-92;11 王宪杰对称区域上二重积分和三重积分的计算J.牡丹江师范学院学报(自然科学版)，2007,60(4):65-66;12 于信，李秀珍.对称性在多

25、元函数积分中的应用J1.山东商业职业技术学院学 报,2004,4(4):75-79;13 马致祥.用对称性计算积分及错解分析J.重庆职业技术学院学报,2004,13(2):172-173;14 纪荣芳，娄本平.对称性在曲线积分及曲而积分计算中的应用J.泰山学院学 报,2004,26(3):10-13;15 李晔，王莲花，张香伟，侯金超.积分对称性的研究及其应用J.河南教冇学院学报(自然科学 版),2004,13(2):1-3;16 沈良生.曲线、曲而积分对称性的应用J.安庆师范学院学报(自然科学版),2005,11(2):82-84;17 张晓英.对称性及其在左积分中的应用J.南通纺织职业技术

26、学院学报(综合版),2005,5(1):18-19;18 程希旺.对称性在泄积分计算中的应用J.青海师范专学报(教冇科学),2005,6:23-25;19 斯彩英.对称性在积分中的妙用J.温州职业技术学院学报,2005,5(1):36-38;20 刘富贵，鲁凯生.利用对称性汁算第二类曲线积分与曲面积分方法.武汉理工大学学报(交通科 学 与工程版),2006,30(6):1069-1072;21 豆俊梅.利用对称性求左积分与二重枳分J.科技资讯,2007,25;22 孙建武，宋扣兰.积分计算的对称性怎理的推广及英应用J.淮阴师范学院学报(自然科学 版)，2006,5(3):190-193;23 郭芳，刘志勇.函数的中心对称性及其在左积分中的应用J.保左师范专科学校学报,2007,20(2):2-5;24 张霞.关于曲而积分对称性的研究刀.安庆师范学院学报(自然科学版),2007,13(2):83-86;25 苏海军.对称性在泄积分中的应用J.四川文理学院学报(自然科学版)，2007,17(5):10-12;26 曹吉利.轮换对称性在积分计算中的举例.陕四工学院学报；27 陈琼.积分区域的对称性和被积函数的奇偶性在积分计算中的应用J.2007,17(3):38-40;28 刘涛.利用对称性、奇偶函数求积分J.