(完整版)数字图像处理第三章答案.pdf

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1、3.1 a 为正常数的指数式ear2对于构造灰度平滑变换函数是非常有用的。由这个基本函数开始，构造具有下图形状的变换函数。所示的常数是输入参数，并且提出的变换必须包含这些参数的特定形式（为了答案曲线中的L0不是所要求的参数）。解：由（a）图所示，设earArT2)(,则 在 r=0 时，T(r)=A 在 r=L0时，T(r)=A/2 联立，解得LLa0693.002ln22 则CrLCDrTseK)1)()(220 由（b）图所示，可以由(a)图翻转得到，所以（b）图的表达式 s=)1()(220693.0rLBrTe（c）图是（b）图沿 y 轴平移得到，所以（c）图的表达式 CrLCDrTs

2、eK)1)()(220 3.19(a)在 3.6.2 节中谈到，分布在图像背景上的孤立的亮和暗的像素团块，当它们小于中值滤波器区域的一半时，经过中值滤波器处理后会被滤除（被其邻值同化）。假定滤波器尺寸为nn,n 为奇数，解释这种现象的原因？答：在nn的滤波器中有n2个像素，n 为奇数，中值为，则有2)1(2n个像素小于或者等于，其它的大于或等于。当其中孤立的亮或者暗的像素 A 在像素团块中小于中值滤波器的一半22n时，即使在当所有群集点包含过滤屏蔽的极端情况下，没有足够的在其中任何一个集群点等于中值。如果在区域的中心点是一个群集点，它将被设置为中位数值，而背景的阴影将“淘汰”出集群。这一结论适

3、用于当集群区域包含积分少集群的最大规模的较极端情况下。（b）考虑一副有不同像素团块的图像，假设在一个团块的所有点都比背景凉或者暗（但不是同时既比背景亮又比背景暗），并且每个团块的尺寸不大于22n。试求当 n 符合什么条件时，有一个或多个这样的团块像（a）中所说的那样被分离出来？答：在 A 的结论下，我们考虑的团块的像素个数不可能超过2)1(2n，两个相近的或亮或暗的团块不可能同时出现在相邻的位置。在这个nn的网格里，两个团块的最小距离至少大于)1(2n，也就是说至少在对角线的区域分开跨越（n-1）个像素在对角线上。3.29 CCD 电视摄像机用于每天 24 小时，每月 30 天对同一区域进行长

4、期观测研究。5 分钟拍一次数字图像并传送到中心场所。场景的照明，白天为自然光，晚上为人造光，没有无照明的时间，因此摄像机本身并不需要使用任何补偿装置。另外，使用数字技术对图像进行后处理并归一化，这样就使图像与恒定照明是等效的。对此，设计一种方法。可以在实验室内使用希望的任何方法，但要在设计中明确列出所做的所有假设。答：本题是考虑到范围的照明停留在线性部分的相机的反应范围,但是没有值范围内给出。图像待在线性的范围。唯一的方式,建立一个基准值的照明就是当变量(日光照明已不存在）。让 F0（X，Y）表示图像只有采取人工光照条件下，没有移动的物体（如人或车辆）在现场。这成为标准的所有其他图像将正常化。

5、选择0f各代表子区域(x,y)不可能被遮蔽移动物体，计算他们的平均强度。然后，选择所有个人的平均值，fmin 表示最低目标,fmax 最高目标，处理任何输入图像，f(x,y)，因此，其最低和最大的分别等于 fmin 和 fmax。线性变换函数的形式：byxafyxfout),(),(其中 f 是输出图像。这是很容易验证，输出的图像将有（如果选择所需的最低和最高值）：minmaxminmaxffffa m inm axm inm axm axm inffffffb 在 fmax 和 fmin 是输入图像的最高值与最低值。假设所有的图像的线性范围之内。相机的工作范围内,从而饱和等非线性不是一个问题

6、。Y 轴X 轴L0A/2A(a)rs=T(r)Y 轴X 轴L0(b)rs=T(r)B/2BY 轴X 轴L0(c)rs=T(r)CD 3.3 提出一组能够产生 8 比特单色图像所有独立位平面的灰度分成变换（例如，变换函数 T（r）=255，当 r 在0,127范围内时，T(r)=0，而当 r 在128，255范围内，T(r)=255，此时的函数可以产生一幅 8 比特图像的第 7 位平面图像）解：000000000011111101000000011111111000000010111111111111111100000006364127128191255192 01T r 063,1281916

7、4127,192255rrrr 3.10 一幅图像的灰度 PDF,()rpr示于下图。现在对比此图像进行灰度变换，使其灰度表达式为下面右图的z()pz。假设灰度值连续，求完成这一操作的变换（r 到 z）。r()p r21()zp z21 解：由左图可知200()()(22)2rrrsT rp w dwwdwrr 由右图得到：200()2zzrvp z dzwdw z 即：zv 由图可知：zs 故：22zrr 3.20（a）提出一种过程来求一个nnl 领域中值？（b）试提出一种技术，逐像素地移动邻域的中心来更新中值。解：(a)设nn的中值为 m，其中最大值设为 a 则2(1)/2mna(b)一旦

8、值已经被分类一次，我们仅仅是删除在缓慢移动向领域的值，插入首要领域的值到分类排列的最恰当的位置。2.18 在下一章中我们将讨论算子，其函数在一个很小的子图像区 S 计算像素总数。说明这些都是线性算子。答：让 H 表示领域的求和运算符，让 f 和 g 表示两个不同的小子图像领域，让 f+g 表示 f 图像和 g 图像里的相应像素值的总和，H 是在给定一个领域里计算像素值总和的算子，将 f 和g 分别乘以两个常量 a、b，所以)(bgafH表示 f 图像的像素值得 a 倍加上 g 图像的像素值得 b 倍，所以我们可以推导：)()(21,21gpfpbpapbgafH =gpfpbpap2121 =

9、gpfppbpa2121 =)()(gbHfaH 正如式（2.6.1）所示，所以这些计算图像区域像素总数的算子都为线性算子。Prob4:(a)通常，如果将低阶比特面设为零值，对一幅图像的直方图有何影响？答：如果将低阶比特面设为零值，该图像会丢失细节。即不同灰度值的像素个数将减少，这会导致直方图的成分数减少。由于像素个数不会改变，这将在总体上导致直方图峰值高度上升。通常，较低的灰度值变化将减少对比度。(b)如果将高阶比特面设为零值，对直方图有何影响？答：如果将高阶比特面设为零值，该图像会丢失轮廓，即丢手视觉上的很多数据。最明显的影响是使图像非常模糊，根据灰度变换函数，将 0127 之间的所有灰度

10、映射为 0，下降的最高位将限制到 127 的 8 位图像中最亮的水平。由于像素数将保持不变，一些直方图峰值的高度会增加。一般直方图的形状将更高更窄，过去 127 没有直方图组件。Prob21：(a)在识别的应用领域，文本页通过图 3.2（b）所示的阈值变换函数简化为二值图像。这遵循如下过程，即细化字符直到它们成为全“0”背景上的一串“1”。由于有噪声存在，故二值化和细化处理时，导致在连 1 处有缝隙存在，缝隙有13 个像素宽。修复缝隙的一种方法是，对二值图像使用均值掩膜来模糊它，这样会在缝隙间桥连非零像素。试求出能执行该任务的均值掩膜的最小尺寸？答：最极端的情况是，当面具被定位在沿着一条薄段离

11、中心像素 3 像素的差距，在这种情况下，一个 33 掩模将包括一个完全空白的领域。因为这是最大的差距，下一个（奇数）面具的大小应包括一些在薄段的像素。因此，能执行该任务的均值掩膜的最小尺寸为 55。(b)桥连缝隙后，为了转换回二值形式，要进行阈值处理。在（a）中得出的答案里，完成这一任务且不产生断线所要求的最小阈值是什么？答：当面具包含了只有两个像素的片段时将产生最小的平均值。该均值是一个灰色的刻度值，而不是二进制，像片段像素值其余的部分。用minA指代最小平均值，用B指代薄段的像素的二进制值。很明显，minA比B小，那么略高于minA的二值化阈值设置将在掩模中心创建一个二进制像素值 B。T(

12、r)rS =T(r)k暗亮亮暗yx图像原点 3.7 在实际应用中，将输人图像的直方图模型化为高斯概率密度函数，其概率密度函数形 式为:222r1=e2rmPr 其中 m 和 分别是高斯 PDF 的平均值与标准差。具体处理方法是将 m 和 看做给定图像的平均灰度级和对比度，试求出直方图均衡化的变换函数。解：一般直方图均衡化的变换函数为：0s()()rrT rp w dw 高斯密度函数一般-到+，实际不可能实现。一是假设标准偏差足够小，r 对P（r）影响可忽略不计。；二是比例放大值直到区域到尾部可忽略不计，变换函数：22(-m)201()e2wrsT rdw 一般范围取0 255。3.22 以下的

13、三幅图像是分别通过 n=23,25 和 45 的方形均值掩模处理后的模糊图像。图(a)和(c)中左下角的垂直竖条被模糊了，但竖条与竖条之间的分割仍然很清楚。但图(b)中的竖条却已经融人了整幅图像，尽管产生这幅图像的掩模要比处理图像(c)的小得多，请解释这一现象。解：从图可知,垂直线有5个像素宽,100像素高,他们的间隔是20像素。问题是相关的现象与水平之间的间隔线有关,所以我们可以简化问题,考虑一个单一的扫描行通过线的图像。回答这个问题的关键在于实际之间的距离(无像素)开始的线条,下一个(其右面)是25个像素。考虑扫描线，如图，同样显示是一个断面25 x25掩膜。掩膜反应包括的像素是平均的。我

14、们注意到,当一个像素掩膜移动右面,它失去了左边竖线的价值,可是它捡起一个相同的一个在右边,所以反应不会改变。事实上,多少像素属于垂直线和包含在掩膜并不会改变,无论在掩膜的任何地方(只要是包含在线内,而不是在边缘附近线)。这一事实的线像素数量低于掩膜并不会改变是由于特有的线条和分隔线之间的宽度的相当于25像素。这个常数宽度的反应是没有看到白色的差距在问题的声明中图像显示的理由。注意这个常数不发生在23 x23或45 x45的掩膜,因为他们不是同步与线条宽度和将它们分开的距离。520520525像素掩膜反应掩膜中心 MATLAB实现：i=imread(prob3_22.tif);%subplot(

15、2,2,1);%imshow(i);subplot(2,2,2);%imshow(i,30 200);w1=fspecial(average,23 23);%J=imadd(w,100);%g1=imfilter(i,w1,replicate);imshow(g1);subplot(2,2,3);%imhist(i)w2=fspecial(average,25 25);g2=imfilter(i,w2,replicate);imshow(g2);subplot(2,2,4);%imhist(i)w2=fspecial(average,45 45);g3=imfilter(i,w2,replic

16、ate);imshow(g3);效果如下：3.12 有两幅图像 f(x,y)和 g(x,y),其直方图分别为fh和gh。给出能确定直方图的条件，并简述在每种情况下如何的得到直方图（a）y)(x,y)(x,gf（b）y)(x,-y)(x,gf（c）y)(x,y)(x,gf（d）y)(x,y)(x,gf 解：对图像进行重新规整，设作四则运算后图像的像素值为 f，像素值的最大值和最小值,规整后的像素值为 f（a）)/2(f（b）-)/(*255ff （c）*/255f（d）-)/(*255ff 根据 f的分布情况即可得出直方图 3.23 考虑图 3.26 所示的应用，即消除图像中比 q*q 像素大小

17、的方形包围的物体小的目标。假设想要将目标的平均灰度值减少为原来平均灰度值的 1/10.用这种方法，那些目标可以接近背景灰度并用门限法消除。给出平均掩模的最小尺寸（奇数），该掩模仅对整幅图像处理一次就将平均灰度级减少到所希望的程度.解：由掩模定义的nn邻域像素灰度的平均值为91992211riizwzwzwzwr 设一个平均掩膜尺寸为nn，则对于qq大小的物体来说，经过滤波后的灰度)/()(nnqqrs，要等于原来的 1/10，那么qqnn10，边长约为物体的3 倍长，这就是滤波器最小所需的尺寸。3.13 考虑两幅 8 比特图像，它们的灰度覆盖了整个0,255的范围。（e）讨论反复将图像（b）从

18、图像（a）中减去的最终效果。（f）如果把图像的顺序颠倒会得到不同的结果吗？解：（a）做反复减法的过程可用下式表示：Kkkyxbyxayxd1,yxbKyxa,最大数和最小数实行减法的次数以及灰度范围取值可分为两种情况：(1)设整个图像中至少有一个像素值为 255，所以，进行减法不超过-511 的 最大取值 K 为 3，此时，对坐标（s,t）有，a（s,t）=b（s,t）=255.在这 种情况下，差分图像中的值 得可能范围是-511 到 255。取 255 的情况为,对 坐标（s,t）有，a（s,t）=255,b（s,t）=0。(2)K 能取的最小值为 2，对坐标（s,t）有，a（s,t）=0,

19、b（s,t）=255。在 这种情况下，差分图像中的值得可能范围是-510 到 255。取 255 的情况为,对坐标（s,t）有，a（s,t）=255,b（s,t）=0。（b）做反复减法的过程可用下式表示：Kkkyxayxbyxd1),(),(),(),(),(yxaKyxb 最大数和最小数实行减法的次数以及灰度范围取值可分为两种情况：(1)设整个图像中至少有一个像素值为 255，所以，进行减法不超过-511 的 最大取值 K 为 3，此时，对坐标（s,t）有，b（s,t）=a（s,t）=255.在这 种情况下，差分图像中的值 得可能范围是-511 到 255。取 255 的情况为,对 坐标（s

20、,t）有，b（s,t）=255,a（s,t）=0。(2)K 能取的最小值为 2，对坐标（s,t）有，b（s,t）=0,a（s,t）=255。在 这种情况下，差分图像中的值得可能范围是-510 到 255。取 255 的情况为,对坐标（s,t）有，b（s,t）=255,a（s,t）=0。3.24 在给定的应用中，一个均值掩模被用于输入图像以减少噪声，然后再用一个拉普拉斯掩模来增强图像中的小细节，如果将这两个步骤交换一下，结果是否会相同？解：交换步骤结果相同。1）),(/1),(),(),(),(1yxgkyxgyxyxfyxgkii 因为0),(yx，所以),(),(yxfyxg，),(4)1,

21、()1,(),1(),1(2yxfyxfyxfyxfyxff，)1,()1,(),1(),1(),(5),(),(2yxfyxfyxfyxfyxffyxfyxg 2）由 1）中知道 先用拉普拉斯掩模结果为 22),(),(),(fyxyxfyxg )1,()1,(),1(),1(),(5)1,()1,(),1(),1(),(5yxyxyxyxyxyxfyxfyxfyxfyxf 再用均值掩模为：),(/1),(1yxgkyxgkii 因为),(yx以及),1(yx等的均值都为零，所以进行均值掩模后 原式)1,()1,(),1(),1(),(5yxfyxfyxfyxfyxf 15证明式 3.4.4

22、 和 3.4.5 的正确性。证明：一副将噪声加入到原始图像 f(x,y)中所形成的带有噪声的图像 g(x,y),即g(x,y)=f(x,y)=(x,y),我们通过累加一组噪声图像来减少噪声，即有 g（x,y）=1K1(,)Kiig x y 那么 Eg(x,y)=f(x,y)22(,)(,)1g x yn x yK 其中，在所有坐标点（x,y）上，Eg(x,y)是 g 的期望值，2(,)g x y与2(,)n x y分别是 g与 n 的方差，在平均图像中，任何一点的标准差为：(,)(,)1g x yn x yK 故原式得以证明。25 证明拉普拉斯变换是各向同性的（旋转不变），需要下列轴旋转角的坐

23、标方程：X=x cos-y sin Y=x sin+y cos 其中（x,y）为非旋转坐标，而（x,y）为旋转坐标。解：拉普拉斯变换：2f=2222ffxy 旋转变换：2f=2222ffxy 而已知：X=x cos-y sin Y=x sin+y cos cossinffxfyffxx xy xxy 2222222cos()sincos()sincosfffffxxxyyxy2sin 代入计算得，cossinffxfyffyx yyyxy 而22222222sin()cossin()cossincosffffyxxyyxy 22222222ffffxyxy 可见拉普拉斯变换是旋转不变的。3.1

24、6在工业应用中，X光摄影法用来检查组合铸件的内部结构。其目的是发现铸件内部是否有缝隙.这些缝隙在图像中一般表现为小气泡。但是，由于铸件材料的性质以及我们使用的X线能量，较高的噪声常会导致检查困难，所以我们决定使用图像均值处理来减小噪声和改进视觉对比度。在计算均值的过程中，为减少时间，在成像中保留固定分块以尽可能保持小的图像数量非常重要。经过数次实践，发现块数为10时噪声的方差明显地减小了。如果成像装置每秒产生30幅图像，那么在成像时保持固定块数而想达到预先要求的铸件噪声方差的减小量需要多少时间?假设图像中的噪声为非相关的且其均值为O。解：当i=1(不平均),则有 g(1)=g1 且2 g(1)

25、=2 当i=k时，有 g（k）=1/k*gi 且2g（k）=1/k*2 依题意可知要使：2 g(1)=10*2g（k）即有 k=10 成像装置每秒产生30幅图像，所以在成像时保持固定块数而又想达到预期的铸件噪声方差的减小量需要1/3 秒。3.26试求一个3*3的反锐化掩模来对一幅图像进行一次掩模处理。解：由式3.7.11可得如下两种掩模：11111-7111-1-1-1-1-19-1-1-1 Prob17.线性空间滤波处理要求在整幅图像中移动掩模的中心点，在每个处理区域中，计算掩模系数与该区域相应像素值乘积的总和。在低通滤波器中，所有系数和为 1，我们使用所谓的盒式滤波法或移动均值算法（这种方

26、法一次只更新掩模计算的一部分，并从一部分到另一部分顺次进行）。（g）对一个 nn 的滤波器公式化这样一个算法，说明涉及的计算规律，以及围绕图像移动掩模时所用的扫描序列。（h）使用大规模处理的运算量与盒式滤波算法执行的运算量的比值称为“计算优势”。在本例中求出计算优势并作为 n 的函数，其中 n1。由于这两种处理方法的标定系数都是 1/n2,因此在获得计算优势时根本不用考虑他的影响。假设图像有为 0 的外部轮廓，这个轮廓足够厚，完全可以忽略它在处理过程中的影响。解：（a）如图所示33的掩模：R=w(-1,-1)f(x-1,y-1)+w(-1,0)f(x-1,y)+.+w(0,0)f(x,y)+.

27、+w(1,0)f(x+1,y)+w(1,1)f(x+1,y+1)以 33 的掩模可推得：由于所有系数为 1，则该低通滤波器掩模响应是将模板下的每个像素的灰度值相加所得。当模板向右移动一个像素的时候获得新的一列计算得：CCRRoldnew31 其中，C1 是模板移动之前所对应的列像素总和，C3 是移动之后的列像素总和。C3 是由 2 次相加所得，然后一次相加和相减得到Rnew，移动一次进行 4 次运算。扫描图像需要进行递归，即当一排的所有像素扫描完成后将向下移动一个像素然后又向相反的方向扫描。同理：对于nn 的模板，C3 需要由（n-1）次相加所得，那么每次移动需要（n+1）次运算得到Rnew。

28、所以每次移动需要（n2-1）次加法运算。(b)令“计算优势”为 A 则11)1)(1(112nnnnnAn A 为 n 的线性函数，且 n=2 时，A=1。Prob27.使用式（3.7.4）给出的拉普拉斯变换的定义，证明将一幅图像减去其相应的拉普拉斯图像等同于对图像进行反锐化掩模处理。解：式 3.7.4 为),(4)1,()1,(),1(),1(2yxfyxfyxfyxfyxff 所以 ),(),(2.1 5),()1,()1,(),1(),1(),(6),(5)1,()1,(),1(),1(),(2yxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxffyxf 其中)

29、,(yxf表示（x,y）点所在像素和其上下左右 4 个像素),(yxf的平均值。),(),(),(),(2yxfyxfyxfyxf 与反锐化掩模处理表示相同，即证得将一幅图像减去相应的拉普拉斯图像等同于对图像进行反锐化掩模处理。3.18 讨论用一个3*3低通空间滤波器反复对一幅数字图像处理的结果，可以不考虑边界的影响。看一个空间滤波器的反复应用的最简单的方法之一是使用 superProblem 位置，让 f(x,y)和 h(x,y)分别表示该图象和滤波功能。假设正方形图像大小为 NxN，为方便起见，我们可以表达 F（X，Y）为在大多数2n幅图像的总和，其中每个只有一个非零像素（最初我们假设 N

30、 可以是无限的）。然后，可以运行 H（X，Y）的过程中，超过 F（X，Y）下 面 的 卷 积 表 示 为：),(.),(),(*),(),(*),(221yxfyxfyxfyxhyxhyxfn 假 设 用 于 说 明 目 的，连 接（X，Y）在 其 中 心 具 有 价 值1，而 其 他 像 素 值0，如 上 所 述（见 图。P 3.1 8 a）。如 果h（X，Y）是3掩 模 1/9zs（图 P3.18b），然后卷积 H（X，Y）连接（X，Y），将产生一个图像 3x3，在其中心和 0zs 别处 1/9zs 阵列，如图 P3.18（c）所示。如果 h（X，Y）现在这个形象，将产生的图像如图 P3.

31、18（D）所示，需要注意的是两个非零像素总和为零。P3.18（c）及（d）是相同的，等于原像素值。因此，它是直观明显，连续应用的 H（X，Y）会扩散 fi（X，Y）的非零值（这一点也不意外因为 H（X，Y）是一个模糊的过滤器）。因为结果保持不变，非零元素的值会变得越来越小，作为申请过滤器的数目增加。总的结果是加入卷积).2,1(),(2nkyxfk 因此连续应用低通空间的净效应滤波器 h（X，Y），其结果越来越模糊，每个像素值之间重新分配。因此模糊图像的平均价值将与 F（X，Y）的平均值相同。据悉，每一个迭代模糊进一步从起点向外扩散。在极限情况，其值将得到无限小，但因为平均值保持不变，这将需要

32、一个无限的空间比例的图象。这个交界处就是重要的边界条件，虽然它不是必需的问题的陈述，它是指导课堂上讨论 H（X，Y）连续应用的影响有限比例的图像。净效应定义是图像的边界值无法向外扩散，分母平均值最终击败像素值的连续应用，使得图像极限为零。一个简单的例子，这是图 P3.18(e)，显示了一个大小为 1x7 的阵列，连续应用 1x3 掩模，我们可以看到，只要模糊值可以化解，总和 S 所产生的像素是 1。然而边界满足时，则必须在如何处理边境上的掩模操作。在这里，我们使用常用假设，即过去的边界像素值是 0，但是掩模操作不超越边界。在这个例子中，我们看到连续应用时像素值的总和开始下降，。在极限情况下，周

33、期n)31(压倒的像素值的总和，产生的s,0阵列。3.28（a）证明式（3.7.13）给出的梯度值是一种各项同性的操作过程（见习题3.25.（b）证明如果梯度用式（3.7.14）进行计算，将使其失去各向同性的性质。（a）从题 3.25 可知：sincos,yfxfxf 并且：cossin,yfxfyf 从中可知：222,2)()()()(yfxfyfxf 或者 2122212,2,)()()()(yfxfyfxf 所以，我们可以的吃（3.7.13）给出的梯度值是一种各项同性的操作过程。（b）从式（3.7.12）（3.7.14）以及前面推导的结果可得：xfGX yfGy 并且：sincos,yfxfxfGx cossin,yfxfyfGy 很明显 yxyxGGGG,所以将失去各向同性的性质。