人教版八年级数学上册第十章、实数精品复习资料207.pdf

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1、 第1页 第十章、实数 第一节、考点分析 考点一：实数分类 【例 1】下列说法正确的个数一共有（）.（1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数；（3）有理数都是有限小数；（4）不带根号的数不是无理数；（5）实数与数轴上的点一一对应；（6）实数分为正实数与负实数两种.A.2 B.3 C.5 D.6 【思考与分析】我们解答这类题目的关键是要理解无理数和实数的概念以及实数的分类，比如无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限不循环小数是无理数；另外分类要统一标准，做到不多不漏，比如实数分为正实数、负实数和 0.解：选 A.考点二：平方根及算术平方根的性质 【例 2】（1-）2的平方根

2、是 .【思考与分析】因为（1-）20，所以它的平方根应该有两个：1和（1-）-1.解：1和1.【例 3】化简得（）.A.2 B.-4x+4 C.-2 D.4x4 【思考与分析】要化简本题，就要保证的被开方数都为非负数.由 2x30可得 x，而当 x时 2x10，因此2x1.解：由 2x30 可得 x，因此2x1，则2x1-（2x3）2.因此正确答案为 A.考点三：利用数形结合思想化简求值 【例 4】实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，那么|ab|的结果是（）.第2页 A.2ab B.b C.a D.2a+b 【思考与分析】我们可以先根据数轴判断出实数 a、b 的符号，再进行化简.解：由数轴可

3、知，a0，b0，则 ab0，原式ab+ba.因此选 C.【小结】利用数轴对式子进行化简时，要充分利用数轴的直观性判断出各个数的正负性，然后结合算术平方根或绝对值的非负性解题.【例 5】如图，四边形 ABCD 是正方形，且点 A、B 在数轴上，求点 C 和 D 的坐标.【思考与分析】欲求 C、D 两点的坐标，应该结合正方形在坐标系中的位置及 A、B 两点的坐标而定.由图形可知，C、D 两点的纵坐标相等，等于正方形的边长，两点的横坐标分别等于 B、A 两点的横坐标.解：因为 A 点的坐标为（-，0），B 点坐标为（，0），所以 AB=+，所以 DABC+.又因为 C 在第一象限，D 在第二象限，因

4、此 C 点坐标为（，+），D 点坐标为（，+）.【例 6】（2006厦门市）4 的平方根是（）.A.2 B.-2 C.2 D.16 【思考与解】由平方根的意义知：4 的平方根是2，故应选 C.【小结】一个正数 a 有两个平方根，它们是互为相反数，记作“”.如“”就表示 4 的平方根.即2.一个是用文字语言叙述，另一个是符号语言来记述的，我们应熟练掌握平方根的两种表述方式.【例 7】（2006包头市）9 的算术平方根是（）.A.3 B.-3 C.3 D.9 【思考与解】因为 9 的平方根是3，所以，9 的算术平方根是 3，故应选 C.第3页 【例 8】（2006绵阳市）-8 的立方根是_.【思考

5、与解】-8 的立方根是多少，也就是多少的立方是-8.因为只有-2 的立方是-8，所以-8 的立方根是-2.即填“-2”.【小结】像求（算术）平方根、立方根的题目，我们理解其概念是解题的关键.【例 9】（2006南京市）写出一个有理数和无理数,使它们都是大于-2 的负数_.【思考与解】此题既考查了我们对有理数、无理数、负数意义的理解，又考查了数的大小比较.所以其答案具有开放性.如大于-2 的负有理数可以是：-0.5、-1 等，大于-2 的负无理数可以是：等.【例 10】（2006长沙市）如图，数轴上表示的点是_.【思考与解】因为 134，所以，即 12，因此，选 B.【小结】（1）若能记住1.4

6、14，1.732 等这些无理数的近似值,对解答像例 5 这类题目以及实数的取近似值计算是大有裨益的;（2）实数与数轴上的点一 一对应，即是数轴上的任意一个点都表示一个实数;反之，任意一个实数都可以用数轴上的一个点表示.【例 11】（2006陕西省）用计算器比较大小:_0.（填“”、“=”、“”）【思考与解】：我们可以用计算器计算0.122.因此，填“”.【小结】：由0，可知，通过计算两数的差，由差大于 0、小于 0、等于 0的情形来确定两数的大小关系的方法是数（式）比较大小的一种重要方法求差法.【例 12】（2006安徽）计算 2的结果是（）.A.1 B.-1 C.-7 D.5 【思考与解】我

7、们仔细观察题目发现这是一道简单的实数的运算题目，只涉及到开方、减法运算，原式=2-3=-1，故选 B.【小结】实数的运算法则与有理数的运算法则相同，在实数运算中遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数（比要求的精确度多取一位小数）去代替无理数，再进行计算.【例 13】（2006广西贵港市）若无理数 a 满足不等式 1a4,请写出两个符合条件的无理数_，_.【思考与解】此题答案开放，给我们留有充分的思考余地，我们可以从以下几个方面来考虑:（1）平 第4页 方根等；（2）立方根等；（3）特殊意义的数，e 等；（4）固定结构的数2.1010010001（两个

8、 1 之间依次多一个零）等；（5）还可以是组合的,如等.此题较好地检测了考生发散思维能力和估算能力.【例 14】（2006扬州市）大家知道是一个无理数，那么-1 在哪两个整数之间（）.A1 与 2 B2 与 3 C3 与 4 D4 与 5 【思考与解】对无理数作近似估算是新课标所要求的，我们必须掌握“估算法”这种解题方法，以便于在具体的实际问题中能及时作出快速地处理.因为，即 23，1-12，所以选 A.第二节、错题剖析【例 1】判断正误：你认为-25 的平方根是 5，正确吗？错解：这种说法正确.【错因分析】根据平方根的定义可以知道只有非负数 a 才有平方根.正解：这种说法不正确.【例 2】（

9、-2）2的算术平方根是 .错解：2.【错因分析】根据算术平方根的定义“一个正数 x 的平方等于 a，那么 x 叫做 a 的算术平方根”，可以知道，正数 a 的算术平方根只有一个是正的.因此，（-2）2=4，即 4 的算术平方根是 2.正解：2.【例 3】求的算术平方根.错解：由，得的算术平方根是.【错 因 分 析】错 解 将 带 分 数 的 开 方 误 认 为 是 整 数 部 分 和 分 数 部 分 分 别 开 方，很 显 然 正解：【小结】由本例可以总结出：一般地，求一个正的带分数的算术平方根，应先将其化为假分数，再求这个假分数的算术平方根.【例 4】下列说法正确的是（）.A.5 是（5）2

10、的算术平方根 第5页 B.16 的平方根是4 C.2 是4 的算术平方根 D.1 的平方根是它本身 错解：A、C、D.【错因分析】如果对平方根和算术平方根的区别和联系理解不确切，这道题很容易选错.我们来逐项分析一下.因为（5）225，由算术平方根的定义可知5，所以 A 是错误的；因为负数没有平方根，所以 C 是错误的；因为正数的平方根有两个，它们是互为相反数的，所以 D 选项是错误的，根据淘汰法，只有 B 是正确的.正解：B.【例 5】的结果的算术平方根，即 16 的算术平方根的算术平方根，而不是 16 的算术平方根，我们解题时一定要慎重，读懂题目.正解：A.【例 6】（1）求 64 的立方根

11、；（2）求的立方根.错解：（1）4（2）9 【错因分析】对于（1），一个正数的平方根有两个，而立方根只有一个，故 64 的立方根是 4，而没有-4；对于（2），错误的原因是没有全面理解题意，题目中要求的是 729 的算术平方根的立方根.正解：（1）4；（2）3.第三节、思维点拨 分类思想是一种重要的数学思想，使用分类思想解题，要根据已知条件和题意的要求，分不同的情况作出符合题意的解答.对于求之类问题要分类讨论 【例 1】求（x2）2的算术平方根.【思考与分析】本题有些同学可能会习惯地认为 x2 的平方为（x2）2，则（x2）2的算术平方根为 x2，应该注意到一个数的算术平方根一定为非负数，故应

12、分情况讨论.解：（x2）2的算术平方根为 当 x2 时，第6页 故当 x2 时，（x2）2的算术平方根为 x2，当 x2 时，（x2）2的算术平方根为 2x.【小结】分类讨论的数学思想已经逐渐成为各地近年来中考命题的热点，我们在使用分类思想解数学题时，要根据已知条件和题意的要求，分不同的情况作出符合题意的解答.分类讨论一般应遵循以下原则：（1）对问题中的某些条件进行分类，要遵循同一标准.（2）分类要完整，不重复，不遗漏.（3）有时分类并不是一次完成，还须进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准一定要统一.【例 2】已知（x1）2，求 x 的值.【思考与分析】等式的右边化简后为 9，即原等式化

13、为（x1）29，如果我们把 x1 看作一个整体，这道题就转化为求 x1 的平方根，而 9 的平方根是3，要求 x 的值，就需要分 x13 和 x13 两种情况进行讨论解题，这就用到了分类思想.解：原方程化简得（x1）29，所以 x13.当 x13 时，x4；当 x13 时，x2.【小结】我们用分类思想解题时，分类要全面、准确、严谨，不能出现漏解的情况.比如本题中，不能只出现 x13 而丢掉 x1-3 的情况，一定要使解题完整，这样也有利于我们养成严谨的解题态度.【例 3】比较实数 a，有意义，所以 a0.在这个范围内，我们把 a 的取值分为 0a1（a 为小数），a1 和 a1 三种情况.解：

14、由有意义可知 a0，我们分三种情况讨论 a 的取值.在认识有理数时，我们学习了如何比较两个有理数的大小，你还记得吗？今天我们来一起研究一下如何比较实数的大小，下面给出几种方法供大家参考.1.求值比较法 【例 4】比较和4的大小.解：因为16.58，416.49，所以0，b0，且 ab，则.解:由 所以 76.第7页 3.作差比较法 【例 5】比较的大小.解:由 5.4.平方比较法 【例 6】比较与的大小.【思考与分析】由于两式中所含根式完全不同，不便于直接比较大小.5.倒数比较法 【例 7】比较下列各数的大小：【思考与分析】根据这组数的特点，我们采用倒数比较法较简单.解：因为3，所以，所以 【

15、小结】实数的大小比较是一类综合性较强的题目，一道题可以采用多种方法，我们要善于根据不同题目的特点恰当地选择最佳的方法.第四节、竞赛数学【例 1】已知1.414，14.14，若4.472，不用计算器计算，你能求出的值约为（）.A.0.1414 B.0.4472 C.14.14 D.44.72 【思考与分析】我们仔细观察题目的条件发现：和的被开方数相差 100 倍，而它们的值相 第8页 差 10 倍，由此我们可以推测，若被开方数 0.2 的小数点向右移动两位，则的值的小数点向右移动一位，反之亦然，据此我们就可以求出的值.解：选 B.【小结】（1）被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的结果的

16、小数点相应的向右移动一位，反之，被开方数的小数点每向左移动两位，其算术平方根的结果的小数点相应的向左移动一位.（2）被开立方数的小数点每向右移动三位，其立方根的结果的小数点相应的向右移动一位，反之被开立方数的小数点每向左移动三位，其立方根的结果的小数点相应的向左移动一位.【例 2】借助计算器求出下列各式的值：仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想 .【思考与分析】这是一道借助计算器探索规律的创新题，我们先用计算器算出各式的值，再通过观察、对比、猜想，即可得出规律.通过观察以上结果发现：n 个 3 组成的数的平方与 n 个 4 组成的数的平方的和的算术平方根等于 n 个 5组成的数.所以 【例 3

17、】观察下列各式及其验证过程：第9页 按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证.【思考与分析】我们可以先根据两个等式及其验证过程，找到规律，然后再猜想的变形结果，再进行验证.【小结】我们解这类题目时，关键是对题目中所给材料进行细心地对比和观察，找出它们之间的异同点，进而进行猜想寻找规律.第五节、本章测试 基础训练题 一、选择题（每小题 2 分，共 32 分）1.下列各式中，正确的是（）.A.-3 B.=2 C.=2 D.=-2 2.下列运算中正确的是（）.A.a2a3=a6 B.=2 C.|（3-）|=3 D.32=-9 3.下列计算结果正确的是（）.第10页 A.（-

18、2）22=-4 C.（-2）2=4 D.=3 4.-8 的立方根与 4 的算术平方根的和是（）.A.0 B.4 C.-4 D.0 或-4 5等式成立的条件是（）.A.a 是任意实数 B.a0 C.ab2，则 a=b 8下列四个命题中，正确的是（）.A.绝对值等于它本身的实数只有零 B.倒数等于它本身的实数只有 1 C.相反数等于它本身的实数只有零 D.算术平方根等于它本身的实数只有 1 9.下列各组数中，互为相反数的是（）.A.0 与 2 B.-2 与 2 10.在下列式子中，正确的是（）.11.下列五个命题：只有正数才有平方根；2 是 4 的平方根；5 的平方根是；都是3 的平方根；（2）2

19、的平方根是2.上述命题中正确的命题是（）.A B C D 12.的算术平方根是（）.A8 B8 C2 D2 13在实数范围内，|2-6没有平方根 D.6 是（-6）2的算术平方根 15的平方根是（）.第11页 A.3 B.3 C.D.，-2，0.7070070007中，无理数的个数是（）.A2 B3 C4 D5 二、填空题（每小题 2 分，共 32 分）1.的算术平方根是 .2 的平方根是 ；它的算术平方根是.3 如果一个数的平方根等于它的立方根，则这个数是.4 若 x 的立方根等于 4，则 x 的平方根是.5 4 的平方根是 .6.若|x-2|+=0，则 xy=.7.有意义时，x 的取值范围

20、是_.8.当 x 满足_条件时，在实数范围内有意义.9已知|a|的算术平方根等于 8，则 a 的立方根等于.10的立方根等于.11如果2，那么（mn）2.12若 5 是的算术平方根，则 a=.13把2=(1.21)2，则 x=_.16.若 a2（-5）2，b3（-5）3则 a+b 的值是.三、解答题（共 56 分）1.求下列各式的值（每小题 0.5 分，共 4 分）2.求下列各式中的 x 的值（每小题 0.5 分，共 3 分）（1）x2（-6）2；（2）x3（-2）6；（3）（x2）2（x+2）2；（4）（x-3）327；第12页 （5）（x1）3-64；（6）x2 3.求下列各数的平方根,算

21、术平方根（每小题 1 分，共 5 分）（1）121；（2）0.0049；（5）|a|2；4 求下列各式中的 x 值（共 3 分）（1）=11；（2）（5x+2）3-125=0；（3）=2；5.（5 分）如果+|6y-5|=0，求（xy）2的算术平方根.6.（5 分）已知互为相反数，求 a，b 的值.7.（5 分）实数 a、b、c 在数轴上的位置如图：化简|ab|+|bc|-|ca|.8（5 分）若（x-y+5）2与为相反数,求 x，y 的值.9.（4 分）计算：-22+（-2）2+10.（5 分）一个正数 x 的两个平方根分别是 a+1 和 a-7，求 a 和 x 的值.11.（5 分）已知

22、y求 x，y 的值.12.（7 分）如图所示，表示 1、的对应点分别为 A、B，点 B 关于点 A 的对称点为 C，设点 C 所表示的数为 x，求 x+的值.答案 一、1.C 2.B 3.A 4.A 5.D 6.D 7.D 8.C 9.B 10.A 11.D 12.D 13.C 14.D 15.C 16.B 二、1.2.，3.0 4.8 5.2 6.6 7.x2 8.第13页 x0 9.4 10.2 11.16 12.624 13.有理数集合：；无理数集合：，0.5050050005；实数集合：，0.5050050005 14.由题意，得m，所以 m，|m|.15.1.21 16.-10 或

23、0 三、1.（1）110；（2）-0.6；（3）0.3；（4）；（5）-13；（6）0.02；2.（1）6；（2）4；（3）0；（4）6；（5）-3；（6）2 （4）要先把带分数化成假分数，即 （5）|a|2的平方根是a，算术平方根为|a|.4（1）两边平方得 x=121.（2）解:因为（5x+2）3=125，所以 5x+2=，所以 5x+2=5，所以 x=3/5 （3）解:因为 x-1=23，所以 x-1=8，所以 x=9.5.x=1/3，y=5/6，（x-y）2=1/4，算术平方根为 1/2.6.解：a1，b7.7.|ab|+|bc|-|ca|=ab+bc+ca=0.9.1/3 10.3，

24、16 12.由题意得：AB-1，因为 AC=AB，所以 AC=-1.所以 x1-（-1）2-.提高训练题 1.比较和与-2与4-5的大小.5.比较下列各数的大小：的大小.第14页 8.比较 2a2+4a+5 和 a2+4a+5 的大小.9.一个数的平方根是 a1 和 a+3，求这个数.10.一个数的平方根是3a1 的平方根是2，2ab1 的算术平方根是 3，求 a、b的值.12.如果 A为 a3b 的算术平方根，B 为 a2-1 的立方根，求 A+B 的立方根和平方根.13.下列说法中正确的是（）.A.带根号的数是无理数 B.无限小数都是无理数 C.无理数都是开方开不尽的数 D.无理数都是无限

25、小数 14.下列说法：无限小数都是无理数；无理数都是无限小数；有理数都是有限小数；不带根号的数都是有理数；实数有正实数与负实数两种；实数和数轴上的点是一一对应的；答案 8.2a2+4a+5a2+4a+5.9.1 10.3 12.1；1（提示：a+3b1，1-a20）.13.D 14.B 强化训练题 1.已知（x2）2，求 x 的值.2.已知（x3）2，求 x 的值.3.已知（x1）2（ba10），求 x 的值.第15页 4.比较实数 的大小.5.下列数中哪些是有理数？哪些是无理数？6.（1-）3的立方根是多少？7.化简式子:8.实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，那么|ab|化简的结果是多少

26、？9.实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，那么|a+b|+化简的结果是多少？10.如图，在坐标系中的四边形 ABCD 是正方形，其中点 A、B 的坐标分别为（，）、（，），求点 C 和 D 的坐标.答案 1.2 2.5 或 1 3.1 或 1（提示：ab0 或 a8，b4）4.当 0a1 时，；当 a1 时，5.有理数：-5.2，10，-10.3，0.121121121，无理数：，0.1010010001 6.-1 7.4 8.0 9.0 10.C（，），D（，）综合训练题 一、精心选一选（每题 2 分，共 24 分）1.下列语句正确的是（）第16页 A.16 的平方根是 4 B.16 的平

27、方根是3 C.一个数的平方等于 25，则这个数一定是 5 D.8 是一个数的平方根，这个数一定是 64 2.若成立，则 a 是一个（）A.有理数 B.正实数 C.负实数 D.非正实数 3.下列各组数的比较，错误的是（）4.若=-a，则实数 a 在数轴上的对应点一定在（）.A.原点左侧 B.原点右侧 C.原点或原点左侧 D.原点或原点右侧 5.在实数范围内，下列判断正确的是（）6.若 a0，化简等于（）7.下列各式运算结果正确的是（）8.若 a、b、c 是ABC 的三边，则化简得（）A.2a2b B.2b2a C.2c D.0 9.下列命题正确的是（）.A.在实数中没有绝对值最小的数 B.最小的

28、实数是 0 C.64 的立方根是4 第17页 D.当 a|a|0 时，a 为非负数 10.对于任何一个实数，总可以进行（）.A.开平方运算 B.开立方运算 C.取倒数运算 D.以上答案都不对 11.m 为实数，则 m 等于（）.A.3 B.2 C.3 或2 D.以上都不对 12.一个自然数 a 的算术平方根为 x，则 a1 的立方根是（）.二、用心填一填（每空 2 分，共 40 分）1.的相反数是 ，绝对值是 .2.点 A 在数轴上和原点距离个单位，点 B 在数轴上和原点距离 2 个单位，则 A、B 两点之间的距离为 .3.化简：4.大于而小于的整数有 .5.写出两个你比较喜欢的无理数，使它们

29、的和为 0：.6.计算 7.若矩形的长，宽分别为 时，有意义；a 时，有意义；当 a 时，+有意义，它的值是 .9.在数轴上与表示5 的点距离 3 个单位长度点所表示的数是 .10.写出一个无理数，使它与的积是一个有理数：.第18页 11.若 12+x 是 225 的算术平方根的相反数，则 x 的立方根是 的点与表示-的点间的线段长等于 .三、细心算一算（本题共 56 分）1.化简（共 6 分）2.计算下列各题（共 8 分）（保留三个有效数字）3.如图，在图中填上适当的数，使每一行，每一列，每一对角线上的三个数的和为 0.（6 分）4.已知在平面直角坐标系中，A（1，2）、B（2，0）、C（，

30、0），请你求出三角形 ABC 的面积.（6 分）5.根据爱因斯坦的相对论，当地球上过去 1s 时，宇宙飞船内只经过s（公式内的 c 指光速：3105km/s，v 指宇宙飞船的速度）.假定有一对 25 岁和 28 岁的亲兄弟，哥哥乘坐以光速 98的速度飞行的宇宙飞船，做了 5 年科学考察后回到地球，这个 5 年指地面上的 5 年，所以弟弟的年龄已是 30岁.请你用上述公式推导一下，哥哥在这段时间内长了几岁？此时哥哥的年龄是多少？（6 分）6.如图，平面上有四个点，它们的坐标分别是 A（2，2）、B（5，2）、C（5，）、D（2，）.（1）顺次连接 A、B、C、D，围成的四边形是什么图形？（2）求

31、这个四边形的面积是多少？（3）将这个四边形向上平移个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？（8 分）第19页 7.如图，由 4 个图 2 中的小正方形拼成了图 1 中的大正方形，根据拼图的启示解决下列问题.（8 分）8.某位老师在讲“实数”时，画了一个图，即以“数轴的单位长线段为边作一个正方形，然后以 O 为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧交 x 轴上一点 A”，作这样的图是用来说明 .（2 分）（1）A 点表示的数 x 是 ，x24 .（2 分）（2）试比较 x 与 1.4 的大小.（2 分）（3）动手试一试，你能用类似的方法在数轴上找出表示的点吗？（2 分）答案 一、精心选一选 1.D 2.

32、D 3.C 4.C 5.D 6.C 7.B 8.B 9.D 10.B 11.C 12.D 二、用心填一填 第20页 5.这是一道开放性试题，我们要选择两个互为相反数的无理数，如 =2=1.8.1；1；1，0 9.-8 或-2 10.（符合题意即可）11.-3 12.2 三、细心算一算 1.解：2.解：（1）180 （2）8 （3）0.2 （4）-0.577.3.解：4.2+5.解：地球上经过 1s 时，宇宙飞船内只经过了0.2s.因此地球上经过 5 年，宇宙飞船上只经过了 0.251 年.因此哥哥在这段时间内长了 1 岁，此时哥哥的年龄为 29 岁.6.解：（1）围成的四边形 ABCD 是长方形.（2）3（3）A（2，），B（5，），C（5，0），D（2，0）7.解：（1）小正方形的边长为，大正方形的边长为，而大正方形的边长等于小正方形边长的 2 倍，因此3；第21页 （2）按照以上思路，面积为 8 的正方形的边长为，面积为 32 的正方形的边长为，因此36；8.解：实数与数轴上的点一一对应 （1），2 （2）x1.4 （3）可以利用类似的方法在数轴上找出表示、的点，方法如下：