浙江省绍兴市嵊州中学九年级(上)期中数学试卷(解析版)46.pdf

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1、第 1 页（共 28 页）浙江省绍兴市嵊州中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）1下列事件中，必然事件是（）A掷一枚硬币，正面朝上 Ba 是实数，|a|0 C某运动员跳高的最好成绩是 20.1 米 D从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品 2二次函数 y=2（x1）23 的顶点坐标为（）A（1，3）B（1，3）C（1，3）D（1，3）3已知圆 O 的半径为 4，若 OP=4.5，则点 P 与圆 O 的位置关系为（）A点 P 在圆 O 上 B点 P 在圆 O 内 C点 P 在圆 O 外 D以上都不对 4下列说法正确的是（）A垂直于弦的直线

2、必经过圆心 B平分弦的直径垂直于弦 C平分弧的直径平分弧所对的弦 D同一平面内，三点确定一个圆 5若 A（2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线 y=（x+2）2+3 上的三点，则 y1，y2，y3的大小关系为（）Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy3y1y2 6如图，AB 为O 的直径，点 C、D、E 均在O 上，且BED=30，那么ACD的度数是（）A60 B50 C40 D30 7同时抛掷 A、B 两个均匀的小立方体（每个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6），设两立方体朝上的数字分别为 x、y，并以此确定点 P（x，y），那么点 P 落第 2 页（共 2

3、8 页）在抛物线 y=x2+3x 上的概率为（）A B C D 8如图，已知 AC 是O 的直径，点 B 在圆周上（不与 A、C 重合），点 D 在 AC的延长线上，连接 BD 交O 于点 E，若AOB=3ADB，则（）ADE=EB B DE=EB C DE=DO DDE=OB 9已知二次函数 y=（xh）2+1（h 为常数），在自变量 x 的值满足 1x3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值为 5，则 h 的值为（）A1 或5 B1 或 5 C1 或3 D1 或 3 10如图，直角ABC 中，ACB=90，AC=3，BC=4，以 C 为圆心 BC 为半径画圆交 BA 延长线于点 D，连

4、接 DC 并延长交圆 C 于点 E，过点 B 作 DE 的垂线 BF，垂足为点 F，那么线段 BF 的长度为（）A B3.5 C D 二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）11如图，四边形 ABCD 内接于O，A=120，则C=12已知抛物线的顶点坐标为（1，8），且过点（0，6），则该抛物线的表第 3 页（共 28 页）达式为 13在一个不透明的盒子中装有 8 个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为 14等腰ABC 的顶角BAC=50，以腰 AB 为直径作半圆，交 BC 于点 D，DE 交AC 于点 E，

5、则=15已知半径为 2 的O 中，弦 AB=2，则弦 AB 所对的圆周角P=16对于一个矩形 ABCD 及M 给出如下定义：在同一平面内，如果矩形 ABCD的四个顶点到M 上一点的距离相等，那么称这个矩形 ABCD 是M 的“伴侣矩形”如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y=x3 交 x 轴于点 M，M的半径为 2，矩形 ABCD 沿直线运动（BD 在直线 l 上），BD=2，ABy 轴，当矩形 ABCD 是M 的“伴侣矩形”时，点 C 的坐标为 三、解答题 17已知抛物线 y=x24x+3（1）求该抛物线与 x 轴的交点坐标；（2）当 x 取何值时，y0？18已知某桥的跨径为 40

6、m，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为 8m，求该桥的桥拱圆弧的半径 第 4 页（共 28 页）19在一个口袋中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号 1、2、3、4小明先随机地摸出一个小球不放回，小强再随机地摸出一个小球 记小明摸出球的标号为 x，小强摸出的球标号为 y小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当 xy 时小明获胜，否则小强获胜 用列表法或画树状图的方法，求小明获胜的概率 请问他们制定的游戏规则公平吗？试说明理由 20已知：如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 E，G 是弧 AC 上的任意一点，AG、DC 的延长线相交于点 F 求证：FGC=AGD 21如果抛物线

7、 y=ax2+bx+c，过定点 M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线（1）请你写出一条定点抛物线的一个解析式为 （2）已知定点抛物线 y=x2+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式 22某商场经营某种品牌的玩具，进货单价是 20 元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是 30 元时，销售量是 700 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为 x 元（x30），请你分别用 x 的代数式来表示销售量 y 件和销售该品牌玩具获得利润 w 元，并把结果填写在表格中：销售单价（元）x 销售量 y（件）销售玩具获得利润 w（元）（2）在

8、（1）的条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于45 元，且商场要完成不少于 520 件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多第 5 页（共 28 页）少？23请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理 阿基米德（archimedes，公元前 287公元前 212 年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子 阿拉伯 AlBinmi 的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在 1964 年根据 AlBinmi 译本出版了俄文版阿基米德全集，第一题就是阿基米德折弦定理 阿基米德折弦定理：如图 1，AB 和 BC 是O 的两条弦（即折线 AB

9、C 是圆的一条折弦），BCAB，M 是的中点，则从 M 向 BC 所作垂线的垂足 D 是折弦 ABC的中点，即 CD=AB+BD 下面是运用“截长法”证明 CD=AB+BD 的部分证明过程 证明：如图 2，在 CB 上截取 CG=AB，连接 MA，MB，MC 和 MG M 是的中点，MA=MC 任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图 3，已知等边ABC 内接于O，AB=2，D 为上一点，ABD=45，AEBD 于点 E，则BDC 的周长是 24定义一种变换：平移抛物线 F1得到抛物线 F2，使 F2经过 F1的顶点 A设 F2的对称轴分别交 F1，F2于点 D

10、，B，点 C 是点 A 关于直线 BD 的对称点 第 6 页（共 28 页）（1）如图 1，若 F1：y=x2，经过变换后，得到 F2：y=x2+bx，点 C 的坐标为（2，0），则：b 的值等于 ；四边形 ABCD 为（）A、平行四边形；B、矩形；C、菱形；D、正方形（2）如图 2，若 F1：y=ax2+c，经过变换后，点 B 的坐标为（2，c1），求ABD的面积；（3）如图 3，若 F1：y=x2x+，经过变换后，AC=2，点 P 是直线 AC 上的动点，求点 P 到点 D 的距离和到直线 AD 的距离之和的最小值 第 7 页（共 28 页）2016-2017学年浙江省绍兴市嵊州中学九年级

11、（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）1下列事件中，必然事件是（）A掷一枚硬币，正面朝上 Ba 是实数，|a|0 C某运动员跳高的最好成绩是 20.1 米 D从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品【考点】随机事件【分析】一定会发生的事情称为必然事件依据定义即可解答【解答】解：A、是随机事件，故不符合题意，B、是必然事件，符合题意，C、是不可能事件，故不符合题意，D、是随机事件，故不符合题意 故选 B 2二次函数 y=2（x1）23 的顶点坐标为（）A（1，3）B（1，3）C（1，3）D（1，3）【考点】二次函数的性质 【分析】

12、二次函数的顶点式方程：y=a（xh）2+k，其顶点坐标是 P（h，k）【解答】解：二次函数的顶点式方程是：y=2（x1）23，该函数的顶点坐标是：（1，3）；故选 D 3已知圆 O 的半径为 4，若 OP=4.5，则点 P 与圆 O 的位置关系为（）A点 P 在圆 O 上 B点 P 在圆 O 内 C点 P 在圆 O 外 D以上都不对 【考点】点与圆的位置关系 第 8 页（共 28 页）【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为 d，圆的半径 r，则 dr 时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上；当 dr 时，点在圆内【解答】解：OP=4.5，r=

13、4，OPr，点 P 在圆 O 外 故选 C 4下列说法正确的是（）A垂直于弦的直线必经过圆心 B平分弦的直径垂直于弦 C平分弧的直径平分弧所对的弦 D同一平面内，三点确定一个圆【考点】确定圆的条件；垂径定理【分析】根据垂径定理及推论、确定圆的条件分别对每一项进行分析即可【解答】解：A、根据垂直于弦的直径必经过圆心，故此选项错误；B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故此选项错误；C、平分弧的直径平分弧所对的弦，故此选项正确；D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故此选项错误；故选 C 5若 A（2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线 y=（x+2）2+3 上的三点，则 y1，y2，y

14、3的大小关系为（）Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy3y1y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】分别求出 y1，y2，y3的值，即可解决问题，也可以用图象法解决 【解答】解：x=2 时，y1=3，x=1 时，y2=6，x=2 时，y3=13，y1y2y3，故选 A 第 9 页（共 28 页）6如图，AB 为O 的直径，点 C、D、E 均在O 上，且BED=30，那么ACD的度数是（）A60 B50 C40 D30【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系【分析】连接 BD，DA，由 AB 是圆的直径，则BDA=90，由圆周角定理知，DAB=BED=30，即可求ABD=

15、90DAB=60，从而得出ACD 的度数【解答】解：连接 BD，DA，AB 是圆的直径，ADB=90，DAB=BED=30，ABD=90DAB=60，ACD=60 故选 A 7同时抛掷 A、B 两个均匀的小立方体（每个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6），设两立方体朝上的数字分别为 x、y，并以此确定点 P（x，y），那么点 P 落在抛物线 y=x2+3x 上的概率为（）A B C D【考点】列表法与树状图法；二次函数图象上点的坐标特征【分析】画出树状图，再求出在抛物线上的点的坐标的个数，然后根据概率公式第 10 页（共 28 页）列式计算即可得解【解答】解：根据题意，画出树状图如下：一

16、共有 36 种情况，当 x=1 时，y=x2+3x=12+31=2，当 x=2 时，y=x2+3x=22+32=2，当 x=3 时，y=x2+3x=32+33=0，当 x=4 时，y=x2+3x=42+34=4，当 x=5 时，y=x2+3x=52+35=10，当 x=6 时，y=x2+3x=62+36=18，所以，点在抛物线上的情况有 2 种，P（点在抛物线上）=故选 A 8如图，已知 AC 是O 的直径，点 B 在圆周上（不与 A、C 重合），点 D 在 AC的延长线上，连接 BD 交O 于点 E，若AOB=3ADB，则（）ADE=EB B DE=EB C DE=DO DDE=OB【考点】

17、圆周角定理【分析】连接 EO，只要证明D=EOD 即可解决问题【解答】解：连接 EO OB=OE，B=OEB，OEB=D+DOE，AOB=3D，第 11 页（共 28 页）B+D=3D，D+DOE+D=3D，DOE=D，ED=EO=OB，故选 D A、错误假设 DE=EB，则EOB 是等边三角形，则AOB=3D=90，OBAD，显然与题目不符 B、错误假设DE=EB，则EOB 是等腰直角三角形，则AOB=3D=67.5，显然与题目不符 C、错误 假设DE=EB，则EOB 是等腰三角形，且底角B=30，则AOB=45，显然不符合题意 9已知二次函数 y=（xh）2+1（h 为常数），在自变量 x

18、 的值满足 1x3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值为 5，则 h 的值为（）A1 或5 B1 或 5 C1 或3 D1 或 3【考点】二次函数的最值【分析】由解析式可知该函数在 x=h 时取得最小值 1、xh 时，y 随 x 的增大而增大、当 xh 时，y 随 x 的增大而减小，根据 1x3 时，函数的最小值为 5可分如下两种情况：若 h1x3，x=1 时，y 取得最小值 5；若 1x3h，当 x=3 时，y 取得最小值 5，分别列出关于 h 的方程求解即可【解答】解：当 xh 时，y 随 x 的增大而增大，当 xh 时，y 随 x 的增大而减小，若 h1x3，x=1 时，y 取得最

19、小值 5，可得：（1h）2+1=5，解得：h=1 或 h=3（舍）；第 12 页（共 28 页）若 1x3h，当 x=3 时，y 取得最小值 5，可得：（3h）2+1=5，解得：h=5 或 h=1（舍）；若 1h3 时，当 x=h 时，y 取得最小值为 1，不是 5，此种情况不符合题意，舍去 综上，h 的值为1 或 5，故选：B 10如图，直角ABC 中，ACB=90，AC=3，BC=4，以 C 为圆心 BC 为半径画圆交 BA 延长线于点 D，连接 DC 并延长交圆 C 于点 E，过点 B 作 DE 的垂线 BF，垂足为点 F，那么线段 BF 的长度为（）A B3.5 C D【考点】相似三角

20、形的判定与性质；垂径定理【分析】连接 BE，由 DE 是C 的直径，得到DBE=90，根据勾股定理得到 AB=5，DE=8，根据相似三角形的性质得到 BE=，由勾股定理得到 BD=，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：连接 BE，DE 是C 的直径，DBE=90，ACB=90，AC=3，BC=4，AB=5，DE=8，CD=CB，D=ABC，第 13 页（共 28 页）ABCEDB，即，BE=，BD=，BFDE，BFEDBE，BF=，故选 D 二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）11如图，四边形 ABCD 内接于O，A=120，则C=60 【考点】圆内接四边形的

21、性质【分析】根据圆内接四边形的对角互补可得答案【解答】解：四边形 ABCD 内接于O，A=120，C=60 故答案为：60 第 14 页（共 28 页）12已知抛物线的顶点坐标为（1，8），且过点（0，6），则该抛物线的表达式为 y=2（x+1）28 【考点】待定系数法求二次函数解析式【分析】设函数的解析式是 y=a（x+1）28，把（0，6）代入函数解析式即可求得 a 的值，则函数的解析式即可求得【解答】解：设函数的解析式是 y=a（x+1）28 把（0，6）代入函数解析式得 a8=6，解得：a=2，则抛物线的解析式是 y=2（x+1）28 13在一个不透明的盒子中装有 8 个白球，若干个黄

22、球，它们除颜色不同外，其余均相同 若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为 4 【考点】概率公式【分析】根据白球个数除以小球总数进而得出得到白球的概率，进而得出答案【解答】解：在一个不透明的盒子中装有 8 个白球，从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，设黄球有 x 个，根据题意得出：=，解得：x=4 故答案为：4 14等腰ABC 的顶角BAC=50，以腰 AB 为直径作半圆，交 BC 于点 D，DE 交AC 于点 E，则=50 【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质 第 15 页（共 28 页）【分析】连接 AD，由 AB 为直径可得出 ADBC，由 AB=AC 利用等腰三角形的三

23、线合一即可得出BAD=CAD=BAC=25，再根据圆周角定理即可得出的度数【解答】解：连接 AD，如图所示 AB 为直径，ADBC AB=AC，BAD=CAD=BAC=25 的度数=2EAD=50 故答案为：50 15已知半径为 2 的O 中，弦 AB=2，则弦 AB 所对的圆周角P=45或135 【考点】圆周角定理【分析】连接 OA、OB，如图，利用勾股定理的逆定理可证明OAB 直角三角形，AOB=90，再利用圆周角定理得到APB=45，接着根据圆内接四边形的性质得APB=135，从而得到弦 AB 所对的圆周角【解答】解：连接 OA、OB，如图，OA=OB=2，AB=2，OA2+OB2=AB

24、2，OAB 直角三角形，AOB=90，APB=AOB=45，APB=180ACB=135，即弦 AB 所对的圆周角为 45或 135 第 16 页（共 28 页）故答案为 45或 135 16对于一个矩形 ABCD 及M 给出如下定义：在同一平面内，如果矩形 ABCD的四个顶点到M 上一点的距离相等，那么称这个矩形 ABCD 是M 的“伴侣矩形”如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y=x3 交 x 轴于点 M，M的半径为 2，矩形 ABCD 沿直线运动（BD 在直线 l 上），BD=2，ABy 轴，当矩形 ABCD 是M 的“伴侣矩形”时，点 C 的坐标为（，）或（，）【考点】圆的综

25、合题【分析】根据“伴侣矩形”的定义可知：圆上的点一定在矩形的对角线交点上，因为只有对角线交点到四个顶点的距离相等，由此画出图形，先求出直线与 x 轴和y 轴两交点的坐标，和矩形的长和宽；有两种情况：矩形在 x 轴下方时，作辅助线构建相似三角形得比例式，分别求出 DG 和 DH 的长，从而求出 CG 的长，根据坐标特点写出点 C 的坐标；矩形在 x 轴上方时，也分别过 C、B 两点向两坐标轴作垂线，利用平行相似得比例式，求出：C（，）【解答】解：如图所示，矩形在这两个位置时就是M 的“伴侣矩形”，根据直线 l：y=x3 得：OM=，ON=3，第 17 页（共 28 页）由勾股定理得：MN=2，矩

26、形在 x 轴下方时，分别过 A、D 作两轴的垂线 AH、DG，由 cosABD=cosONM=，=，AB=，则 AD=1，DGy 轴，MDGMNO，DG=，CG=+=，同理可得：，=，DH=，C（，）；矩形在 x 轴上方时，同理可得：C（，）；故答案为：（，）或（，）第 18 页（共 28 页）三、解答题 17已知抛物线 y=x24x+3（1）求该抛物线与 x 轴的交点坐标；（2）当 x 取何值时，y0？【考点】抛物线与 x 轴的交点【分析】（1）将抛物线解析式转化为两点式方程，可以直接写出答案；（2）根据抛物线的性质解答【解答】解：（1）y=x24x+3=（x1）（x3），该抛物线与 x 轴

27、的交点坐标是（1，0）和（3，0）；（2）由（1）知，该抛物线与 x 轴的交点坐标是（1，0）和（3，0）y=x24x+3=（x2）21，该抛物线的顶点坐标是（2，1），且抛物线的开口方向向上，大致图象如图所示：当 x1 或 x3 时，y0 18已知某桥的跨径为 40m，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为 8m，求该桥的桥拱圆弧的半径 【考点】垂径定理的应用【分析】首先得到 ODAB，根据勾股定理列出股定理得：R2=202+（R8）2，第 19 页（共 28 页）求出 R 即可解决问题【解答】解：由题意得：ODAB，CD=8；则 AD=BD=20，OD=R8；由勾股定理得：R2=202+（R8

28、）2，解得：R=29，即桥拱的半径 R 为 29m 19在一个口袋中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号 1、2、3、4小明先随机地摸出一个小球不放回，小强再随机地摸出一个小球 记小明摸出球的标号为 x，小强摸出的球标号为 y小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当 xy 时小明获胜，否则小强获胜 用列表法或画树状图的方法，求小明获胜的概率 请问他们制定的游戏规则公平吗？试说明理由【考点】游戏公平性；列表法与树状图法【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与小明获胜的情况，继而利用概率公式即可求得答案，注意此题属于不放回实验；利用中所求，进而得出两人获胜的概率【解答

29、】解：画树状图得：共有 12 种等可能的结果，小明获胜的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）共 6 种情况，小明获胜的概率为：=；第 20 页（共 28 页）他们制定的游戏规则公平，小明和小强获胜的概率都为，他们制定的游戏规则公平 20已知：如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 E，G 是弧 AC 上的任意一点，AG、DC 的延长线相交于点 F 求证：FGC=AGD 【考点】圆周角定理；垂径定理【分析】连接 AD，根据垂径定理得到=，根据圆周角定理得到ADC=AGD，根据圆内接四边形的性质证明即可【解答】证明：连接 AD，弦 CDAB，=，ADC=

30、AGD，四边形 ADCG 是圆内接四边形，ADC=FGC，FGC=AGD 21如果抛物线 y=ax2+bx+c，过定点 M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线 第 21 页（共 28 页）（1）请你写出一条定点抛物线的一个解析式为 y=x22x+2 （2）已知定点抛物线 y=x2+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式【考点】二次函数图象上点的坐标特征【分析】（1）根据顶点式的表示方法，结合题意写一个符合条件的表达式则可；（2）根据顶点纵坐标得出 b=1，再利用最小值得出 c=1，进而得出抛物线的解析式【解答】解：（1）依题意，选择点（1，1）作为抛物线的顶点，二次项系数是 1

31、，根据顶点式得：y=x22x+2；故答案为 y=x22x+2；（2）定点抛物线的顶点坐标为（b，c+b2+1），且1+2b+c+1=1，c=12b，顶点纵坐标 c+b2+1=22b+b2=（b1）2+1，当 b=1 时，c+b2+1 最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时 c=1，抛物线的解析式为 y=x2+2x 22某商场经营某种品牌的玩具，进货单价是 20 元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是 30 元时，销售量是 700 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为 x 元（x30），请你分别用 x 的代数式来表示销售量 y 件和销售该品牌

32、玩具获得利润 w 元，并把结果填写在表格中：销售单价（元）x 销售量 y（件）10 x+1000 销售玩具获得利润 w（元）10 x2+1200 x20000 （2）在（1）的条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于 45 元，且商场要完成不少于 520 件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【考点】二次函数的应用【分析】（1）根据销售量与销售单价之间的变化关系就可以直接求出 y 与 x 之间第 22 页（共 28 页）的关系式；根据销售问题的利润=售价进价就可以表示出 W 与 x 之间的关系；（2）根据销售单价不低于 45 元，销售量不少于 520 件建立不等式组，求出

33、其解即可【解答】解：（1）由题意得 y=70010（x30），y=10 x+1000，W=（10 x+1000）（x20），w=10 x2+1200 x20000 故答案为：10 x+1000，10 x2+1200 x20000（2）根据题意，得 解之得：45x48，w=10 x2+1200 x20000=10（x60）2+16000，a=100，对称轴是直线 x=60，当 45x48 时，w 随 x 增大而增大 当 x=48 时，W最大值=14560（元）答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为14560 元 23请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理 阿基米德（archimede

34、s，公元前 287公元前 212 年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子 阿拉伯 AlBinmi 的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在 1964 年根据 AlBinmi 译本出版了俄文版阿基米德全集，第一题就是阿基米德折弦定理 阿基米德折弦定理：如图 1，AB 和 BC 是O 的两条弦（即折线 ABC 是圆的一条折弦），BCAB，M 是的中点，则从 M 向 BC 所作垂线的垂足 D 是折弦 ABC的中点，即 CD=AB+BD 下面是运用“截长法”证明 CD=AB+BD 的部分证明过程 证明：如图 2，在 CB 上截取 CG=AB，连接 MA，MB，M

35、C 和 MG 第 23 页（共 28 页）M 是的中点，MA=MC 任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图 3，已知等边ABC 内接于O，AB=2，D 为上一点，ABD=45，AEBD 于点 E，则BDC 的周长是 2+2 【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质【分析】（1）首先证明MBAMGC（SAS），进而得出 MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出 BD=GD，即可得出答案；（2）首先证明ABFACD（SAS），进而得出 AF=AD，以及 CD+DE=BE，进而求出 DE 的长即可得出答案【解答】（1）证明：如图 2，在 CB 上截取 CG=AB

36、，连接 MA，MB，MC 和 MG M 是的中点，MA=MC 在MBA 和MGC 中，MBAMGC（SAS），MB=MG，又MDBC，BD=GD，DC=GC+GD=AB+BD；（2）解：如图 3，截取 BF=CD，连接 AF，AD，CD，第 24 页（共 28 页）由题意可得：AB=AC，ABF=ACD，在ABF 和ACD 中，ABFACD（SAS），AF=AD，AEBD，FE=DE，则 CD+DE=BE，ABD=45，BE=，则BDC 的周长是 2+2 故答案为：2+2 24定义一种变换：平移抛物线 F1得到抛物线 F2，使 F2经过 F1的顶点 A设 F2的对称轴分别交 F1，F2于点 D

37、，B，点 C 是点 A 关于直线 BD 的对称点 第 25 页（共 28 页）（1）如图 1，若 F1：y=x2，经过变换后，得到 F2：y=x2+bx，点 C 的坐标为（2，0），则：b 的值等于 ；四边形 ABCD 为（）A、平行四边形；B、矩形；C、菱形；D、正方形（2）如图 2，若 F1：y=ax2+c，经过变换后，点 B 的坐标为（2，c1），求ABD的面积；（3）如图 3，若 F1：y=x2x+，经过变换后，AC=2，点 P 是直线 AC 上的动点，求点 P 到点 D 的距离和到直线 AD 的距离之和的最小值【考点】二次函数综合题【分析】（1）已知 F2的解析式，把已知坐标代入即可

38、得出 b 的值；（2）在（1）的基础上求出 SABD；（3）要分情况讨论点 C 在点 A 的左边还是右边，作 PHAD 交 AD 于点 H，则PD+PH=PB+PH，是 PB+PH 值最小可求出 h 的最小值【解答】解：（1）2；D；（2）F2：y=a（x2）2+c1，而 A（0，c）在 F2上，可得 a=DB=（4a+c）（c1）=2，SABD=2；（3）当点 C 在点 A 的右侧时（如图 1），设 AC 与 BD 交于点 N，第 26 页（共 28 页）抛物线 y=x2x+，配方得 y=（x1）2+2，其顶点坐标是 A（1，2），AC=2，点 C 的坐标为（1+2，2）F2过点 A，F2解

39、析式为 y=（x1）2+1，B（1+，1），D（1+，3）NB=ND=1，点 A 与点 C 关于直线 BD 对称，ACDB，且 AN=NC 四边形 ABCD 是菱形 PD=PB 作 PHAD 交 AD 于点 H，则 PD+PH=PB+PH 要使 PD+PH 最小，即要使 PB+PH 最小，此最小值是点 B 到 AD 的距离，即ABD 边 AD 上的高 h DN=1，AN=，DBAC，DAN=30，故ABD 是等边三角形 h=AD=最小值为 当点 C 在点 A 的左侧时（如图 2），同理，最小值为 综上，点 P 到点 D 的距离和到直线 AD 的距离之和的最小值为 第 27 页（共 28 页）第 28 页（共 28 页）2017 年 5 月 3 日